[2014-2018]北京高考数学真题分类汇编 专题九 解析几何

1．（2018.7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

2．（2018.12）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是　   　．

3．（2018.14）已知椭圆M：1（a＞b＞0），双曲线N：1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　   　；双曲线N的离心率为　   　．

4．（2018.19）已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点，λ，μ，求证：为定值．

5．（2017.4）若x，y满足，则x+2y的最大值为（　　）

A．1    B．3    C．5    D．9

6．（2017.9）若双曲线x21的离心率为，则实数m＝　   　．

7．（2017.18）已知抛物线C：y2＝2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A为线段BM的中点．

8.（2016.13）双曲线1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝　   　．

9. （2016.19）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．

10. （2015.10）已知双曲线y2＝1（a＞0）的一条渐近线为x+y＝0，则a＝　   　．

11. （2015.19）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；

（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．

12.（2014.6）若x，y满足，且z＝y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（　　）

A．2    B．﹣2    C．    D．

13. （2014.11）设双曲线C经过点（2，2），且与x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为　   　；渐近线方程为　   　．

14.（2014.19）已知椭圆C：x2+2y2＝4，

（1）求椭圆C的离心率

（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2＝2的位置关系，并证明你的结论．

专题九 解析几何

答案部分

1. 解：由题意d，

tanα，

∴当sin（θ+α）＝﹣1时，

dmax＝13．

∴d的最大值为3．

故选：C．

2. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：

设z＝2y﹣x，则yxz，

平移yxz，

由图象知当直线yxz经过点A时，

直线的截距最小，此时z最小，

由得，即A（1，2），

此时z＝2×2﹣1＝3，

故答案为：3

3. 解：椭圆M：1（a＞b＞0），双曲线N：1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），

解得e．

同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，

可得：，即，

可得双曲线的离心率为e2．

故答案为：；2．

4. 解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px经过点

P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，

设过点（0，1）的直线方程为y＝kx+1，

设A（x1，y1），B（x2，y2）

联立方程组可得，

消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，

∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，

且k≠0，x1+x2，x1x2，

又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，

故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；

（Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），

则（0，yM﹣1），（0，﹣1）

因为λ，所以yM﹣1＝﹣yM﹣1，故λ＝1﹣yM，同理μ＝1﹣yN，

直线PA的方程为y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1），

令x＝0，得yM，同理可得yN，

因为2，

∴2，∴为定值．

5. 解：x，y满足的可行域如图：

由可行域可知目标函数z＝x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），

目标函数的最大值为：3+2×3＝9．

故选：D．

6. 解：双曲线x21（m＞0）的离心率为，

可得：，

解得m＝2．

故答案为：2．

7. 解：（1）∵y2＝2px过点P（1，1），

∴1＝2p，

解得p，

∴y2＝x，

∴焦点坐标为（，0），准线为x，

（2）证明：设过点（0，）的直线方程为

y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），

∴直线OP为y＝x，直线ON为：yx，

由题意知A（x1，x1），B（x1，），

由，可得k2x2+（k﹣1）x0，

∴x1+x2，x1x2

∴y1kx12kx12kx12kx1+（1﹣k）•2x1＝2x1，

∴A为线段BM的中点．

8. 解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，

∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y＝±x，

即a＝b，

∵正方形OABC的边长为2，

∴OB＝2，即c＝2，

则a2+b2＝c2＝8，

即2a2＝8，

则a2＝4，a＝2，

故答案为：2

9. 解：（Ⅰ）由题意可得e，

又△OAB的面积为1，可得ab＝1，

且a2﹣b2＝c2，

解得a＝2，b＝1，c，

可得椭圆C的方程为y2＝1；

（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），

可得x02+4y02＝4，

若P（0，﹣1），可得PA与y轴交于点M（0，﹣1），直线PB与x轴交于点N（0，0），

可得|AN|•|BM|＝4；

直线PA：y（x﹣2），令x＝0，可得y，

则|BM|＝|1|；

直线PB：yx+1，令y＝0，可得x，

则|AN|＝|2|．

可得|AN|•|BM|＝|2|•|1|

＝||＝||

＝||＝4，

即有|AN|•|BM|为定值4．

证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），

直线PA：y（x﹣2），令x＝0，可得y，

则|BM|＝||；

直线PB：yx+1，令y＝0，可得x，

则|AN|＝||．

即有|AN|•|BM|＝||•||

＝2||

＝2||＝4．

则|AN|•|BM|为定值4．

10. 解：双曲线y2＝1的渐近线方程为y＝±，

由题意可得，

解得a．

故答案为：．

11. 解：（Ⅰ）由题意得出

解得：a，b＝1，c＝1

∴y2＝1，

∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1

∴PA的方程为：y﹣1x，y＝0时，xM

∴M（，0）

（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）

∴点B（m，﹣n）（m≠0）

∵直线PB交x轴于点N，

∴N（，0），

∵存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，Q（0，yQ），

∴tan∠OQM＝tan∠ONQ，

∴，即yQ2＝xM•xN，n2＝1

yQ22，

∴yQ，

故y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，Q（0，）或Q（0，）

12. 解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2＝0与x轴的交点在x+y﹣2＝0与x轴的交点的右边，

故由约束条件作出可行域如图，

当y＝0，由kx﹣y+2＝0，得x，

∴B（）．

由z＝y﹣x得y＝x+z．

由图可知，当直线y＝x+z过B（）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．

此时，解得：k．

故选：D．

13. 解：与x2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2＝m，（m≠0），

∵双曲线C经过点（2，2），

∴m，

即双曲线方程为x2＝﹣3，即，

对应的渐近线方程为y＝±2x，

故答案为：，y＝±2x．

14. 解：（1）由x2+2y2＝4，得椭圆C的标准方程为．

∴a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2﹣b2＝2．

因此a＝2，c．

故椭圆C的离心率e；

（2）直线AB与圆x2+y2＝2相切．

证明如下：

设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．

∵OA⊥OB，

∴，即tx0+2y0＝0，解得．

当x0＝t时，，代入椭圆C的方程，得．

故直线AB的方程为x，圆心O到直线AB的距离d．

此时直线AB与圆x2+y2＝2相切．

当x0≠t时，直线AB的方程为，

即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0＝0．

圆心O到直线AB的距离d．

又，t．

故．

此时直线AB与圆x2+y2＝2相切．