2020-2021学年湖北省武汉市江岸区七年级(下)期末数学试卷(解析版)

一、选择题（每题3分，共30分）.

1．计算的结果为（　　）

A．±3    B．3    C．±9    D．9

2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣1）在（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．不等式组解集为﹣1≤x＜2，下列在数轴上表示正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

4．下列采用的调查方式中，合适的是（　　）

A．调查某批次汽车的抗撞击能力，采用全面调查的方式    

B．为了解东湖的水质情况，采用抽样调查的方式    

C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式    

D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用全面调查的方式

5．如图，以下说法错误的是（　　）

A．若∠EAD＝∠B，则AD∥BC    

B．若∠EAD+∠D＝180°，则AB∥CD    

C．若∠CAD＝∠BCA，则AD∥BC    

D．若∠D＝∠EAD，则AB∥CD

6．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（　　）

A．m2＞n2    B．﹣3m＜﹣3n    C．    D．m+3＞n+3

7．《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为（　　）

A．    B．    

C．    D．

8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是（　　）

A．（2020，0）    B．（2021，﹣1）    C．（2021，1）    D．（2022，0）

9．下列命题：①方程2x+y＝0有无数组整数解；②垂直于同一直线的两条直线互相平行；③若是关于x的一元一次不等式，则m＝±1；④若a+b＝0，则点P（a，b）在第二、四象限．其中是真命题的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

10．已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．要使有意义，则x的取值范围是　    　．

12．若是关于x，y的二元一次方程mx﹣2y＝4的解，则m的值为　 　

13．如图，已知点D为∠EAB内一点，CD∥AB，DF∥AE，DH⊥AB交AB于点H，若∠A＝40°，则∠FDH的度数为 　     　．

14．如图第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 　             　．

15．如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为a，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 　      　．

（用含a的式子表示）

16．现有一元、五元、十元纸币各12张，从中抽取21张，共值100元，则十元纸币取 　    　张．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．解方程组：．

18．解不等式组：．

19．某校组织全体学生开展汉字听写大赛，从中抽取部分学生成绩（得分为正整数，满分为100分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图，直方图从左至右分别对应A、B、C、D、E组，其中C组图象缺失．已知A组的频数比B组小48．

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）求频数分布直方图中的a、b的值；

（2）求扇形图中D部分所对的圆心角的度数，并补全频数分布直方图；

（3）若80分以上为优秀，全校共有1000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？

20．如图，CD⊥AB于D，EF⊥AB于F．

（1）求证：EF∥CD；

（2）若DE∥BC，EF平分∠AED，求证：CD平分∠ACB．

21．如图，在平面直角坐标系中，所给的正方形网格的每个小正方形边长均为1个单位，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上，位置如图所示，其中A（﹣2，1）．现将△ABC沿AA'的方向平移，使得点A平移至图中的A'（2，﹣2）的位置．

（1）在图中画出△A'B'C'，写出点B'的坐标为 　      　，点C'的坐标为 　      　；

（2）线段AB沿AA'的方向平移到A'B'的过程中扫过的面积是 　      　；（直接填写结果）

（3）将直线AB以每秒l个单位长度的速度向右平移，平移 　      　秒时该直线恰好经点C．（直接填写结果）

22．某网上商城购进甲，乙两种商品共100件，若甲种商品进价为80元每件，乙种商品进价为50元每件，已知在销售过程中，2件甲种商品比3件乙种商品的售价多30元，3件甲种商品和5件乙种商品的售价共710元．

（1）求甲、乙两种商品每件的售价分别是多少元？

（2）若商城计划甲、乙两种商品的进货总投人不超过6050元，销售完后总利润不低于20元，共有多少种进货方案？

（3）商城为尽快回笼资金，采取优惠活动，甲种商品售价下调m元（15≤m≤25），乙种商品售价保持原价．若该商城保持甲、乙两种商品进价不变，并且该商城无论如何进货，这100件商品销售总利润不变，求m的值．

23．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP＝90°．

（1）求证：AB∥CD；

（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；

（3）如图3，若∠AEP：∠CFP＝2：1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时旋转t秒，问t为多少时，射线EP1∥FP2，直接写出t的值t＝　     　秒．

24．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b）．

（1）若a、b满足|a﹣6|+＝0，求点A、点B的坐标；

（2）若点Q（x，y）为直线AB上一动点（点Q异于点A、B），在（1）的条件下，S△AOQ≥S△BOQ，求Q点横坐标x的取值范围；

（3）若a、b、c符合a≤b≤c，且满足a+b+c＝10，3a+b﹣c＝0，m是代数式2a﹣b﹣c的最大值，C点的坐标是（0，m），P（x，y）是第一象限内线段AB上方的动点，连PC交直线AB于E点，当S△PAE＝S△BCE时，且代数式2a﹣b﹣c取最大值时，求S△PAC．

参

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．计算的结果为（　　）

A．±3    B．3    C．±9    D．9

解：∵32＝9，

∴＝3．

故选：B．

2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣1）在（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

解：点P（﹣3，﹣1）所在的象限是第三象限．

故选：C．

3．不等式组解集为﹣1≤x＜2，下列在数轴上表示正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：在数轴上表示﹣1≤x＜2如下：

故选：B．

4．下列采用的调查方式中，合适的是（　　）

A．调查某批次汽车的抗撞击能力，采用全面调查的方式    

B．为了解东湖的水质情况，采用抽样调查的方式    

C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式    

D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用全面调查的方式

解：A．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；

B．为了解东湖的水质情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项符合题意；

C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，适宜采用全面调查，故本选项不合题意；

D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；

故选：B．

5．如图，以下说法错误的是（　　）

A．若∠EAD＝∠B，则AD∥BC    

B．若∠EAD+∠D＝180°，则AB∥CD    

C．若∠CAD＝∠BCA，则AD∥BC    

D．若∠D＝∠EAD，则AB∥CD

解：A、若∠EAD＝∠B，则AD∥BC，正确，理由：同位角相等，两直线平行．

B、若∠EAD+∠D＝180°，则AB∥CD，错误．

C、若∠CAD＝∠BCA，则AD∥BC，正确，理由：内错角相等，两直线平行．

D、若∠D＝∠EAD，则AB∥CD，正确，理由：内错角相等，两直线平行．

故选：B．

6．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（　　）

A．m2＞n2    B．﹣3m＜﹣3n    C．    D．m+3＞n+3

解：A、如果m＝2，n＝﹣3，m＞n，m2＜n2；故A错误，符合题意；

B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B正确，不符合题意；

C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C正确，不符合题意；

D、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故D正确，不符合题意；

故选：A．

7．《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：由题意可得，

，

故选：C．

8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是（　　）

A．（2020，0）    B．（2021，﹣1）    C．（2021，1）    D．（2022，0）

解：半径为1个单位长度的半圆的周长为2π×1＝π，

∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，

∴点P每秒走个半圆，

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），

…，

∵2021÷4＝505余1，

∴P的坐标是（2021，1），

故选：C．

9．下列命题：①方程2x+y＝0有无数组整数解；②垂直于同一直线的两条直线互相平行；③若是关于x的一元一次不等式，则m＝±1；④若a+b＝0，则点P（a，b）在第二、四象限．其中是真命题的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

解：①方程2x+y＝0有无数组整数解，是真命题；

②在同一平面上，垂直于同一直线的两条直线互相平行，原命题是假命题；

③若是关于x的一元一次不等式，则m＝1，原命题是假命题；

④若a+b＝0，则点P（a，b）在第二、四象限或坐标原点，原命题是假命题；

故选：A．

10．已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是（　　）

A．    B．    C．    D．

解：不等式组整理得，

令整数的值为n，n+1，则有：n﹣1≤m＜n，n+1≤3m﹣1＜n+2．

故，

∴n﹣1＜且＜n，

∴1＜n＜3，

∴n＝2，

∴，

∴≤m＜．

故选：D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．要使有意义，则x的取值范围是　x≥4　．

解：由题意得：x﹣4≥0，

解得：x≥4．

故答案为：x≥4．

12．若是关于x，y的二元一次方程mx﹣2y＝4的解，则m的值为　3　

解：把代入方程mx﹣2y＝4中得：2m﹣2＝4，

解得：m＝3．

故答案为：3．

13．如图，已知点D为∠EAB内一点，CD∥AB，DF∥AE，DH⊥AB交AB于点H，若∠A＝40°，则∠FDH的度数为 　130°　．

解：如图，延长CD至M．

∵DH⊥AB，

∴∠DHA＝90°．

又∵CD∥AB，即CM∥AB，

∴∠MDH＝∠AHD＝90°，∠EOD＝∠A＝40°．

又∵DF∥AE，

∴∠EOD＝∠FDM＝40°．

∴∠FDH＝∠FDM+∠MDH＝40°+90°＝130°．

故答案为：130°．

14．如图第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 　（0，3）或（﹣4，0）　．

解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．

分两种情况：

①P′在y轴上，Q′在x轴上，

则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，

∵0﹣（n﹣3）＝﹣n+3，

∴n﹣n+2＝3＝3，

∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；

②P′在x轴上，Q′在y轴上，

则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，

∵0﹣m＝﹣m，

∴m﹣4﹣m＝﹣4，

∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；

综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣4，0）．

故答案为：（0，3）或（﹣4，0）．

15．如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为a，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 　﹣0.8a　．

（用含a的式子表示）

解：设大长方形的宽为b，小长方形的长为x，宽为y，

由①得，a＝3y+x，x＝2y，

∴x＝0.4a，y＝0.2a，

由②得，b＝3y＝0.6a，

设图①阴影部分周长为C1，图②阴影部分周长为C2，

∴C1＝2a+2（b﹣x）＝2a+2（0.6a﹣0.4a）＝2.4a，

C2＝2（a﹣x）+2×3y+2×2y＝2（a﹣0.4a）+6×0.2a+4×0.2a＝3.2a，

∴C1﹣C2＝2.4a﹣3.2a＝﹣0.8a．

故答案为：﹣0.8a．

16．现有一元、五元、十元纸币各12张，从中抽取21张，共值100元，则十元纸币取 　3或7　张．

解：设十元纸币取x张，五元纸币取y张，则一元纸币取（21﹣x﹣y）张．

由题意得：10x+5y+（21﹣x﹣y）＝100．

解得：9x+4y＝79，

∵0≤x≤12，0≤y≤12，0≤x+y≤12，且都为整数，

故可得：x＝3，y＝13或x＝7，y＝4．

所以十元纸币取3或7张．

故答案是：3或7．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．解方程组：．

解：，

2×①+②得，

5x＝15，

解得x＝3，

将x＝3代入①，得，

3+y＝8，

解得y＝5，

所以原方程的解为．

18．解不等式组：．

解：解不等式2x+3≥x+9，得x≥6，

解不等式＞2﹣x，得：x＞0.2，

则不等式组的解集为x≥6．

19．某校组织全体学生开展汉字听写大赛，从中抽取部分学生成绩（得分为正整数，满分为100分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图，直方图从左至右分别对应A、B、C、D、E组，其中C组图象缺失．已知A组的频数比B组小48．

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）求频数分布直方图中的a、b的值；

（2）求扇形图中D部分所对的圆心角的度数，并补全频数分布直方图；

（3）若80分以上为优秀，全校共有1000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？

解：（1）本次调查的学生有：48÷（20%﹣8%）＝400（人），

a＝400×8%＝32，b＝400×20%＝80，

即a的值是32，b的值是80；

（2）扇形图中D部分所对的圆心角的度数：360°×＝126°，

C组的人数为：400×25%＝100，

补全的频数分布直方图如右图所示；

（3）1000×（1﹣8%﹣20%﹣25%）＝470（名），

答：成绩优秀的学生有470名．

20．如图，CD⊥AB于D，EF⊥AB于F．

（1）求证：EF∥CD；

（2）若DE∥BC，EF平分∠AED，求证：CD平分∠ACB．

【解答】证明：（1）∵CD⊥AB于D，EF⊥AB于F．

∴∠BDC＝∠EFB＝90°，

∴EF∥CD；

（2）∵EF平分∠AED，

∴∠AEF＝∠DEF，

∵DE∥BC，EF∥CD，

∴∠AEF＝∠ACD，∠DEF＝∠CDE＝∠BCD，

∴∠ACD＝∠BCD，

∴CD平分∠ACB．

21．如图，在平面直角坐标系中，所给的正方形网格的每个小正方形边长均为1个单位，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上，位置如图所示，其中A（﹣2，1）．现将△ABC沿AA'的方向平移，使得点A平移至图中的A'（2，﹣2）的位置．

（1）在图中画出△A'B'C'，写出点B'的坐标为 　（6，1）　，点C'的坐标为 　（8，﹣1）　；

（2）线段AB沿AA'的方向平移到A'B'的过程中扫过的面积是 　24　；（直接填写结果）

（3）将直线AB以每秒l个单位长度的速度向右平移，平移 　　秒时该直线恰好经点C．（直接填写结果）

解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．B′（6，1），C′（8，﹣1），

故答案为：（6，1），（8，﹣1）．

（2）线段AB沿AA'的方向平移到A'B'的过程中扫过的面积＝6×8﹣4××3×4＝24．

故答案为：24．

（3）如图，作CE∥x轴交AB于E，×CE×3＝3×6﹣×3×4﹣×2×2﹣×6×1，

∴EC＝，

∴直线AB以每秒l个单位长度的速度向右平移，平移秒时该直线恰好经点C，

故答案为：．

22．某网上商城购进甲，乙两种商品共100件，若甲种商品进价为80元每件，乙种商品进价为50元每件，已知在销售过程中，2件甲种商品比3件乙种商品的售价多30元，3件甲种商品和5件乙种商品的售价共710元．

（1）求甲、乙两种商品每件的售价分别是多少元？

（2）若商城计划甲、乙两种商品的进货总投人不超过6050元，销售完后总利润不低于20元，共有多少种进货方案？

（3）商城为尽快回笼资金，采取优惠活动，甲种商品售价下调m元（15≤m≤25），乙种商品售价保持原价．若该商城保持甲、乙两种商品进价不变，并且该商城无论如何进货，这100件商品销售总利润不变，求m的值．

解：（1）设甲种商品每件的售价是x元，乙种商品每件的售价是y元，

依题意得：，

解得：．

答：甲种商品每件的售价是120元，乙种商品每件的售价是70元．

（2）设购进a件甲种商品，则购进（100﹣a）件乙种商品，

依题意得：，

解得：32≤a≤35．

又∵a为整数，

∴a可以取32，33，34，35，

∴共有4种进货方案．

（3）设购进b件甲种商品，这100件商品销售总利润为w元，则购进（100﹣b）件乙种商品，

依题意得：w＝（120﹣m﹣80）b+（70﹣50）（100﹣b）＝（20﹣m）b+2000．

∵该商城无论如何进货，这100件商品销售总利润不变，

∴20﹣m＝0，

∴m＝20．

23．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP＝90°．

（1）求证：AB∥CD；

（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；

（3）如图3，若∠AEP：∠CFP＝2：1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时旋转t秒，问t为多少时，射线EP1∥FP2，直接写出t的值t＝　5或15　秒．

解：（1）∵∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，

∴∠AEP＝∠PEF，∠PFC＝∠CFP，

∵∠AEP+∠CFP＝90°，

∴∠AEF+∠PFC＝180°，

∴AB∥CD；

（2）设∠PEQ＝α，

∵PE平分∠AEF，

∴∠AEP＝2α，

∵EQ平分∠PEF，

∴∠QEF＝∠PEQ＝α，

∵∠EPF＝90°，

∴∠PFE＝90°﹣2α，

∴∠PFM＝180°﹣（90°﹣2α）＝90°+2α，

∵FQ平分∠PFM，

∴∠PFQ＝45°+α，

∴∠Q＝180°﹣∠QEF﹣∠EFQ＝180°﹣α﹣（90°﹣2α）﹣（45°+α）＝45°；

（3）如图1，EP1∥FP2时，

∵∠AEP：∠CFP＝2：1，∠AEP+∠CFP＝90°，

∴∠AEP＝60°，∠CFP＝30°，

∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠P2FE＝30°﹣3°t，

∵EP1∥FP2，

∴∠P1EF＝∠P2FE，

∴15°t﹣60°＝30°﹣3°t，

∴t＝5；

如图2，EP1∥FP2时，

∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠EFP2＝3°t﹣30°，

∵EP1∥FP2，

∴∠P1EF+∠EFP2＝180°，

∴15°t﹣60°+3°t﹣30°＝180°，

∴t＝15；

综上所述：当t＝5或15时，射线EP1∥FP2，

故答案为5或15．

24．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b）．

（1）若a、b满足|a﹣6|+＝0，求点A、点B的坐标；

（2）若点Q（x，y）为直线AB上一动点（点Q异于点A、B），在（1）的条件下，S△AOQ≥S△BOQ，求Q点横坐标x的取值范围；

（3）若a、b、c符合a≤b≤c，且满足a+b+c＝10，3a+b﹣c＝0，m是代数式2a﹣b﹣c的最大值，C点的坐标是（0，m），P（x，y）是第一象限内线段AB上方的动点，连PC交直线AB于E点，当S△PAE＝S△BCE时，且代数式2a﹣b﹣c取最大值时，求S△PAC．

解：（1）∵|a﹣6|+＝0，

∴a﹣6＝0，b﹣3＝0，

∴a＝6，b＝3，

∴点A（6，0），点B（0，3）；

（2）如图1，

当点Q在第二象限时，即x＜0，

∵点A（6，0），点B（0，3），

∴AO＝6，OB＝3，

∵S△AOQ≥S△BOQ，

∴[×3×6+×3×（﹣x）]≥×3×（﹣x），

∴x≥﹣12，

∴﹣12≤x＜0；

当点Q在第一象限时，即x＞0，

∵S△AOQ≥S△BOQ，

∴[×3×6﹣×3×x]≥×3×x，

∴x≤，

∴0＜x≤，

综上所述：﹣12≤x＜0或0＜x≤；

（3）∵a+b+c＝10，3a+b﹣c＝0，

∴b＝5﹣2a，c＝a+5，

∵a≤b≤c，

∴，

∴0≤a≤，

∵2a﹣b﹣c＝2a﹣（5﹣2a）﹣（a+5）＝3a﹣10，

∴当a＝时，2a﹣b﹣c有最大值为﹣5，即m＝﹣5，

∵S△PAE＝S△BCE，

∴S△PAC＝S△ABC＝×BC×OA＝24．