高一数学函数专项训练题(含答案)

1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式2112

2

2(log )7log 30x x ++≤，求2

2()log log 42

x x

f x =⋅的最大值与最小值及相应x 值．

2.（14分）已知定义域为R 的函数2()1

2x x a

f x -+=

+是奇函数

（1）求a 值；

（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；

（3）若对任意的t R ∈，不等式2

2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；

3. （本小题满分10分）已知定义在区间(1,1)-上的函数2

()1ax b f x x

+=+为奇函数,且12

()25f =. (1) 求实数a ,b 的值；

(2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.

4. (14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0，

(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f

5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2

-2bx+4

b

(b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。

6.（12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；

（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -，试确定a 的取值范围；

（3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54，求a 的值.

7. （12分）设函数124()lg ()3

x x

a f x a R ++=∈.

（1）当2a =-时，求()f x 的定义域；

（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <.

8. （本题满分14分）已知幂函数(2)(1)

()()k k f x x

k z -+=∈满足(2)(3)f f <。

（1）求整数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；

（2）对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在正数m ，使函数()1()(21)g x mf x m x =-+-，在区间

[]0,1上的最大值为5。若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

9. （本题满分14分）已知函数1

()(0x f x a

a -=>且1)a ≠

（Ⅰ）若函数()y f x =的图象经过()4,3P 点，求a 的值； （Ⅱ）当a 变化时，比较1

(lg

)( 2.1)100

f f -与大小，并写出比较过程； （Ⅲ）若(l

g )100f a =，求a 的值．

10. （本题16分）已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；

(2)若函数()y f x =的图象与直线1

2

y x b =

+没有交点，求b 的取值范围； (3)设()

94()log 33x h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范

围．

11. （本小题满分12分）二次函数()y f x =的图象经过三点(3,7),(5,7),(2,8)A B C --.（1）求函数()y f x =的解析式（2）求函数()y f x =在区间[],1t t +上的最大值和最小值

12.(本小题满分14分) 已知函数x x

a

x f 2

2)(+=,且)(x f 为奇函数． (Ⅰ)求a 的值;

(Ⅱ)定义:若函数0),0(,)(>>+

=x a x

a

x x g ,则函数)(x g 在],0(a 上是减函数,在),[+∞a 是增函数.设2)1()()(+--=x f x f x F ,求函数)(x F 在]1,1[-∈x 上的值域．

13.(本小题满分16分) 设0a >,0b >,已知函数()1

ax b

f x x +=

+. (Ⅰ)当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性(直接写结论); (Ⅱ)当0x >时,(i)证明2)]([)()1(a

b f a b f f =⋅;

14.(本小题满分16分)

设函数])1(lg[)(2

2

x a ax x f +-=的定义域区间为I ,其中0a >. (Ⅰ)求I 的长度)(a L (注:区间(,)αβ的长度定义为βα-); (Ⅱ)判断函数)(a L 的单调性,并用单调性定义证明;

(Ⅲ)给定常数(0,1)k ∈,当[]k k a +-∈1,1时,求区间I 长度)(a L 的最小值.

1.解：由21

12

2

2(log )7log 30x x ++≤，∴12

13log 2x -≤≤-

， ∴21

log 32

x ≤≤， 而

2

222()log log (log 2)(log 1)42

x x

f x x x =⋅=--

=

222(log )3log 2x x -+=2231

(log )24

x --，

当23log 2x =时min 1

()4

f x =- 此时x =3

22

=

当2log 3x =时max 91

()244

f x =

-=，此时8x =． 2. 解：（1）由题设，需12(0)0,1a f a -+==∴=，121

2()x

x

f x -+∴=

经验证，

()f x 为奇函数，1a ∴=---------（2分）

（2）减函数--------------（3分）

证明：任取

1

2

1

2

2

1

,,,0R x x x x x x x ∈∆=-，

由（1）12212

1

122(22)

12122

1

1212(12)(12)

()()x x x x x x x x y f f x x ---++++∆=-=-=

121

2

1

2

12

,022,220,(12)(12)

0x x x x x x x x ∴∴-++

0y ∴∆

∴该函数在定义域R 上是减函数--------------（7分）

3. 解：(1)由2

()1ax b f x x +=+为奇函数,且 2122()1251()2

a b

f +==+ 则21122()()1225

1()2

a b

f f -+-==-=-+-，解得：1,0a b ==。∴2()1x f x x =

+

(2)证明：在区间(1,1)-上任取12,x x ，令1211x x -<

<<,

221212211222221212(1)(1)()()11(1)(1)

x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=

++++12122212()(1)

(1)(1)x x x x x x --=++

1211x x -<

<< ∴ 120x x -< ,1210x x -> , 21(1)0x +>, 22(1)0x +>

∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <

故函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数.

(3)

(1)()0f t f t -+< ∴ ()(1)(1)f t f t f t <--=-

函数

()f x 在区间(1,1)-上是增函数 ∴ 111111

t t

t t <-⎧⎪

-<<⎨⎪-<-<⎩

∴102t <<

故关于t 的不等式的解集为1(0,

)2

. 4（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0 (2) 法一：设k 为一个大于1的常数，x ∈R+，则 f(kx)=f(x)+f(k)

因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x

所以kx>x,f(kx)1,0,x x x x <+∞∈且令1,12>=k kx x 则

)()()()()()()()(212121k f x f k f x f kx f x f x f x f -=--=-=-

有题知，f(k)<0

)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即

所以f(x)在（0，+∞）上为减函数 法三：设()212

1,0,x x x x <+∞∈且

)()()()()(12121121x x f x x x f x f x f x f -=⋅

-=- 0)(11

212<∴>x x

f x x )()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 所以f(x)在（0，+∞）上为减函数

5解：f(x)=(x-b)2

-b 2

+

4

b

的对称轴为直线x ＝b （ b ≥1），

(I) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝f(b)＝-b 2

+

4b ; ②当b ＞4时，g(b)＝f(4)＝16-31

4

b ，

综上所述，f(x)的最小值g(b)＝2 (14)4 3116 (4)4

b

b b b b ⎧-+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≤。

＞ (II) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝-b 2

+

4

b ＝-(b-

18)2

+1， ∴当b ＝1时，M ＝g(1)＝-3

4

；

②当b ＞4时，g(b)＝16-314

b 是减函数，∴g(b)＜16-314×4＝-15＜-3

4，

综上所述，g(b)的最大值M= -3

4

。

6. 解：（1）设点Q 的坐标为(',')x y ，则'2,'x x a y y =-=-，即'2,'x x a y y =+=-。 ∵点(,)P x y 在函数log (3)a y x a =-图象上 ∴'log ('23)a y x a a -=+-，即1'log 'a

y x a

=-∴1()log a

g x x a =-

(2)由题意[2,3]x a a ∈++，则3(2)3220x a a a a -=+-=-+>，110(2)x a a a

=>-+-.

又0a >，且1a ≠，∴01a <<

221|()()||log (3)log ||log (43)|a a

a

f x

g x x a x ax a x a

-=--=-+-

∵()()

1f x g x - ∴221

log (43)

1a x ax a --+

∵01a <<∴22a a +>，则2

2

()43r x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为增函数， ∴函数2

2

()log (43)a u x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为减函数，

从而max [()](2)log (44)a u x u a a =+=-。min [()](3)log (96)a u x u a a =+=-

{log (96)101,log (44)

1a a

a a a --<<-又则

957

012

a

-∴< （3）由（1）知1()log a

g x x a

=-，而把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，则1()log log a a h x x x

==-，∴1log 22log log 1()22()()22()222a a a x x x h x h x h x F x a a a a a a ax a x x ++---=-+=-+=-+

即22()(21)F x a x a x =-++，又0,1a a >≠且，()F x 的对称轴为2

212a x a

+=，又在1[,4]4的最大值为54

， ①令2

2114

2

a a

+<

⇒24202)2a a a a -->⇒<>+舍去或()F x 在1[,4]4

上递减，∴()F x 的最大

值为22

55111()(21)81604(2)4414

F a a a a a =⇒-++=⇒-+=⇒=∉+∞，此时无解；

②令22

2111482104

2

2a a a a a

+>⇒--<⇒-<<，又0,1a a >≠且，∴102a <<；此时()F x 在1[,4]4

上递增，∴()F

x 的最大值为255(4)168444F a a a =⇒-++=⇒=，又102

a <<，∴无解；

③令222

26220

211

41182104

242

a a a a a a a a a ⎧-+⎪⎧--+⇒⇒⎨⎨---⎩⎪⎩或且0,1a a >≠且∴12612a a +≠且，此时

()F x 的最大值为2

2

22

42(21)(21)2155()

44242a a a F a a a a +++=⇒-+=2

22(21)5

41044a a a a +⇒=⇒--=

，解得：2a =1

2612

a a +≠且，∴2a =+； 综上，a 的值为27解：（1）当2a =-时，函数()f x 有意义，则12240122403

x

x

x x +-⨯>⇒+-⨯>，令2x

t =不等式化为：

2121012t t t --<⇒-<<，转化为12102

x x -<<⇒<，∴此时函数()f x 的定义域为(,0)-∞

（2）当1x <-时，()f x 有意义，则124121101240()3

442

x

x

x

x x

x x x a a a +++>⇒++>⇒>-=-+，令

11()42

x x y =-+在(,1)x ∈-∞-上单调递增，∴6y <-，则有6a

-；

（3）当01,0a x <<≠时，22222(124)1241242()(2)2log lg lg 333(124)

x x x x x x x x a a a f x f x a ++++++-=-=++，

设2x

t =，∵0x ≠，∴1t ≠且01a <<，则

2224232(124)3(124)(3)2(22)2(1)x x x x a a t a a at t a t ++-++=-++-+- 4223222222(3)2(22)2(1)(1)(1)(1)0t a a at t a t at t at t <-++-+-=------<

∴2()(2)f x f x < 8解: （１）

()()23f f <，()()21012,k k k ∴-+>⇒-<<

,0k Z k ∈∴=或1k =；当0k =时，()2f x x =，当1k =时，()2f x x =；

0k ∴=或1k =时，()2f x x =．

（２）

()()()()2121211g x mf x m x mx m x =-+-=-+-+， 0m >，

()g x 开口方向向下，对称轴211

1122m x m m

-=

=-< 又

()()01,g g x =在区间［０，１］上的最大值为５，

1110221152m m g m m ⎧⎧

->>⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨

⎛⎫⎪⎪-== ⎪⎪⎪⎝⎭

⎩⎩

5

2

m ∴=

+9. （Ⅰ）函数

()y f x =的图象经过(3,4)P ∴3-14a =，即24a =. 又0a >，所以2a =.

（Ⅱ）当1a >时，1(lg )( 2.1)100f f >-; 当01a <<时，1(lg )( 2.1)100f f <- 因为，31

(lg )(2)100

f f a -=-=， 3.1( 2.1)f a --= 当1a >时，x

y a =在(,)-∞+∞上为增函数，

∵3 3.1->-，∴3 3.1

a a -->. 即1(lg )( 2.1)100

f f >-. 当01a <<时，x

y a =在(,)-∞+∞上为减函数，

∵3 3.1->-，∴3 3.1

a a --<. 即1(lg )( 2.1)100

f f <-. （Ⅲ）由(l

g )100f a =知，lg 1

100a a

-=. 所以，lg 1

lg 2a a

-=（或lg 1log 100a a -=）. ∴(lg 1)lg 2a a -⋅=. ∴2lg lg 20a a --=，

∴lg 1a

=- 或 lg 2a =， 所以，1

10

a =

或 100a =. 10(1)因为()y f x =为偶函数， 所以,()()x f x f x ∀∈-=-R ， 即 99log (9

1)log (91)x

x kx kx -+-=++对于x ∀∈R 恒成立.

于是9999912log (9

1)log (91)log log (91)9

x

x

x x x kx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以12

k =-

. -----------------4 (2)由题意知方程911log (91)22

x

x x b +-

=+即方程9

log (91)x x b +-=无解.

令9()log (91)x

g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点.

因为99911()log log 199x x x g x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭

任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12099x x

<<，从而

12

1199x x >.

于是129911log 1log 199x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪

⎝

⎭

⎝

⎭

，即12()()g x g x >，

所以()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数. 因为1119x +

>，所以91()log 109x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭

.

所以b 的取值范围是(],0.-∞ ----------------------- 6

(3)由题意知方程143333x

x x

a a +

=⋅-有且只有一个实数根．

令30x

t =>，则关于t 的方程2

4(1)103

a t at ---=(记为(*))有且只有一个正根.

若a =1，则34

t =-

，不合, 舍去； 若1a ≠，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 由304a ∆=⇒=

或－3；但3142a t =⇒=-，不合，舍去；而132

a t =-⇒=； 方程(*)的两根异号()()110 1.a a ⇔-⋅-<⇔>

综上所述，实数a 的取值范围是{3}

(1,)-+∞． ----------------------- 6

11. (1)解

,A B 两点纵坐标相同故可令()7(3)(5)f x a x x -=+-即()(3)(5)7f x a x x =+-+将(2,8)

C -代入上式可得1a = ∴

2()(3)(5)728f x x x x x =+-+=--…………4分

(2)由2()28f x x x =--可知对称轴1x =

1） 当11t +≤即0t

≤时()y f x =在区间[],1t t +上为减函数

∴2max ()()28f x f t t t ==-- 22min ()(1)(1)2(1)f x f t t t t =+=+-+-=- (6)

2） 当1t

≥时，()y f x =在区间[],1t t +上为增函数∴22max ()(1)(1)2(1)f x f t t t t =+=+-+-=-

2min ()()28f x f t t t ==-- …………8分

3）当1110t t -≥+->即102

t <≤

时 2

max ()()28f x f t t t ==--

min ()(1)9f x f ==- …………10分

4）当0111t t <-<+-即

1

12

t <<时

22max ()(1)(1)2(1)f x f t t t t =+=+-+-=-

min ()(1)9f x f ==- …………12分

12.(本小题满分14分) 已知函数

x

x a x f 22)(+

=,且

)(x f 为奇函数．

(Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)定义:若函数

0),0(,)(>>+=x a x

a

x x g ,则函数)(x g 在],0(a 上是减函数,在),[+∞a 是增函数.设

2)1()()(+--=x f x f x F ,求函数)(x F 在]1,1[-∈x 上的值域．

解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为R ， ∵

)(x f 为奇函数，∴f （0）=0，∴1+a=0，a=-1 ……………3分

(Ⅱ) 2)1()()(+--=x f x f x F =2212222

12

21211

++=++----x x x x x x

……………3分 设2

x

t =，则当]1,1[-∈x 时，1

[,2]2

t ∈， ……………3分

∴1122y t t

=++

∵当1[2t ∈时，函数11

22y t t =++单调递减；当2]t ∈时，

函数11

22y t t

=++单调递增； ……………2分

∴当2=t 时，y 的最小值为22+

当21=

t

时，417=y ，当2=t 时，27=y ，y 的最大值为4

17 ……………2分 ∴函数)(x F 在]1,1[-∈x 上的值域是⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+417,22。 ……………1分 13.(本小题满分16分)

设0a >,0b >,已知函数()1

ax b f x x +=

+. (Ⅰ)当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性(直接写结论); (Ⅱ)当0x >时,(i)证明

2

)]([)()1(a

b f a b f f =⋅;

(ii)若

ab x f b

a ab

≤≤+)(2,求x 的取值范围.

解：（Ⅰ）由

1

)(+-+

=x a

b a x f ，得 当b a >时，)(x f 分别在()()+∞--∞-,1,1,上是增函数； ……………2分 当b a

<时，)(x f 分别在()()+∞--∞-,1,1,上是减函数； ……………2分

（Ⅱ）（i ）∵

2)1(b a f +=

，ab a

b b a b

a

a

b

f b a ab a b f =++=+=1)(,2)( …………2分 ∴

2])([)()1(a b f ab a b f f ==，∴2

)]([)()1(a

b f a b f f = ……………1分

（ii ）∵

ab x f b

a ab

≤≤+)(2 ∴由（i ）可知，)()()(a

b

f x f a b f ≤≤， ……………2分 ①当b a =时，a x f =)(，H=G=a ，x 的取值范围为0>x . ……………2分 ②当b a

>时，∵

1b

，∴a b a b <

由（Ⅰ）可知，

)(x f 在()+∞,0上是增函数，∴x 的取值范围为a

b x a b

≤≤ ……2分

③当b a <时，∵

1>a

b

，∴a b a b >

由（Ⅰ）可知，

)(x f 在()+∞,0上是减函数，∴x 的取值范围为

a

b x a b ≤≤ ……2分

综上，当b a =时，x 的取值范围为0>x ；当b a >时，x 的取值范围为

a

b x a b

≤≤；当b a <时，x 的取值范

围为

a

b

x a b ≤≤。 ……………1分 14.(本小题满分16分) 设函数

])1(lg[)(22x a ax x f +-=的定义域区间为I

,其中0a >.

(Ⅰ)求I 的长度)(a L (注:区间(,)αβ的长度定义为βα-);

(Ⅱ)判断函数)(a L 的单调性,并用单调性定义证明; (Ⅲ)给定常数(0,1)k ∈,当[]k k a +-∈

1,1时,求区间I 长度)(a L 的最小值.

解：（Ⅰ）由0)1(22

>+-x a

ax ，得2

10a a

x +<

<， ……………2分

)1,

0(2a a I +=∴2

1)(a a

a L +=。 …………1分

（Ⅱ）)(a L 在

(]1,0上是增函数，在[)+∞,1上是减函数， ……………1分

设1021≤<1)(1()

1)((11)()(2

221212122221121a a a a a a a a a a a L a L ++--=+-+=

-…………2分 ∵1021≤<-<-a a a a ，∴)()(21a L a L < ……………2分

∴)(a L 在

(]1,0上是增函数 ……………1分

同理可证，)(a L 在

[)+∞,1上是减函数 ……………1分

（Ⅲ）∵(0,1)k ∈，∴11,110>+<-由（Ⅱ）可知，)(a L 在

[]1,1k -上是增函数，在[]k +1,1上是减函数

)(a L 的最小值为)1(),1(k L k L +-中较小者； ……………2分

∵0]

)1(1][)1(1[2])1(1][)1(1[)]1)(1(1)[2()1()1(223

22<++-+-=++-++---=+--k k k k k k k k k L k L ……2分

∴)(a L 的最小值为2

212

+--k k k

……………1分