数学建模之排队问题

教程

一：复习期望公式

，， 

二：排队问题

单个服务台排队系统问题（比如理发店只有一个理发师情况）：

假定顾客到达时间间隔分钟，每个顾客接受服务的时间长度为

分钟，假定

1）、在时间段内有一个顾客到达的概率为

2）、在时间段内有两个或以上顾客到达的概率为

3）、在时间段内有一个顾客接受完服务离开概率为

4）、在时间段内有两个或以上顾客离开的概率为

用表示在t时刻，没有离开的顾客数（由于指数分布无记忆性，正在接受服务的顾客还需要接受的服务时间和任何一个顾客的接受服务时间同分布）。

记t时刻在服务系统总人数n的概率为，则在时刻在服务系统总人数n的概率由以下几个不相容部分构成

a)：t时刻有n个顾客，时间段内没有顾客到达，也没有顾客离开，概率

b)：t时刻有n个顾客，时间段内有1顾客到达，有1顾客离开，概率

c)：t时刻有n-1个顾客，时间段内有1顾客到达，没有顾客离开

概率

d)：t时刻有n+1个顾客，时间段内没有顾客到达，有1个顾客离开

概率

e)：其他情况，概率

由上面分析，

， 

简写

即

因此得到

假定，得到

把当作已知，求解通项

>

将p(1)用代入得

再，由，我们得到

，

>

因此， 

问题1：系统平均有几个人没有离开？

解答：系统有个人没有离开的概率，因此，系统中滞留人数平均

>

问题2：系统中排队等待服务平均有几个人？

>

问题3：系统中平均每个人排队等待时间？

解答：当一个顾客进入系统中，发现前面已经有n个顾客在系统中，则他排队等待的平均时间就是这n个顾客的平均服务时间总和（由于指数分布无记忆特性，不管正在接受服务的顾客已经服务了多少时间，其还要接受的服务时间依然服从相同的指数的分布）

因此系统中平均每个人排队等待时间为

>

问题4：系统中每个顾客逗留时间平均？

解答：每个顾客平均排队用时+每个顾客平均服务用时为所求

>