一次函数的综合应用题

（江苏泰州市二附中李军）

函数的综合应用题往往综合性强，覆盖面广，包含的数学思想方法多。它能真正考查学生运用所学知识解决实际问题的能力。一次函数的综合应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，通常是以图象信息的形式出现。

1、成本与利润问题。

例1：一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式和成本费用s（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式；

⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？

（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）

解析：⑴由图象可知：当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析y=kx-100，

∵（10，400）在y=kx-100上，∴400=10k-100，解得k=50

∴y=50x-100，s=100x-(50x-100)，∴s=50x+100

 ⑵当10  ∵（10，350），（20，850）在y=mx+b上，

∴   10m+b=350       解得    m=50

20m+b=850               b=-150

∴y=50x-150     ∴s=100x-(50x-150)-50∴s=50x+100

∴y=   50x-100    (0≤x≤10)       

50x-150    (10点评：此题是借助函数图象确定函数关系式，从而进行经济决策的经济问题。题中需注意提示和分段函数的分情况讨论。

2、行程问题。

例2：甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：

⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）

⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；

⑶在⑵的条件下，设乙同学从A点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙同学相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？

解析：⑴设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为s=kt，s=kt。

由题意得：6=2 k，6=3 k，解得：k=3，k=2   ∴s=3t，s=2t

⑵当甲到达山顶时，s=12（千米），∴12=3t  解得：t=4∴s=2t=8（千米）

⑶由图象可知：甲到达山顶宾并休息1小时后点D的坐标为（5，12）

由题意得：点B的纵坐标为12-=，代入s=2t，解得：t=

∴点B（，）。设过B、D两点的直线解析式为s=kx+b，由题意得

  t+b=      解得：   k=-6                     

  5t+b=12                   b=42            

∴直线BD的解析式为s=-6t+42  ∴当乙到达山顶时，s=12，得t=6，把t=6代入s=-6t+42得s=6（千米）

点评：借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键。

3、饮水问题。

例3：教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们到饮水机前用茶杯接水。假设接水过程中水不发生泼洒，每个学声所接的水量是相等的。两个放水管同时打开时，它们的流量相同。放水时先打开一个水管，过一会再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着。饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)的函数关系如下图所示：

⑴求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)（x≥2）的函数关系式；

⑵如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水接束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？

⑶按⑵的放法，求出在课间10分钟内最多有多少个同学能及时接完水？

解析：⑴设存水量y与放水时间x的函数解析式为y=kx+b,

把（2，17）、（12，8）代入y=kx+b,得    17=2k+b   解得  k=- b =       

8=12k+b               

∴y=-x+ (2≤x≤)

⑵由图象可得每个同学接水量为0.25升，则前22个同学需接水0.25×22=5.5（升），存水量y=18-5.5=12.5（升）∴12.5=-x+  解得  x=7

∴前22个同学接水共需要7分钟。

⑶当x=10时，存水量y=-×10+=，用去水18-=8.2（升）

8.2÷0.25=32.8  ∴课间10分钟内最多有32个同学能及时接完水。

点评：这是2005年泰州市的一道中考题，主要考查的是学生对图象的识读能力，能否围绕图象来解决问题。在考试中有相当一部分同学把问题简单化了，片面认为两个放水管的工作效率是单独一个放水管工作时效率的2倍。这样一来，得出：每个同学接水需0.5分钟，22个同学接水需：（22-4）÷2×0.5+2=6.5（分钟）。从图象上不难得出：两个放水管的工作效率=，单独一个放水管工作时效率=，×2≠。

几类一次函数应用题

冯振刚

一. 文字信息类

例1. （2005年厦门）某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元。

（1）试写出总费用y（元）与销售套数x（套）之间的函数关系式。

（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本。

分析：由题意，总费用由前期投入的开发广告宣传费用和售出时需支付安装调试费用两部分组成。

解（1）y=50000+200x。

（2）设软件公司至少要售出x套软件才能保证不亏本，则有

700x≥50000+200x。

解得x≥100。

答：软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本。

二. 图形信息类

例2. （2005年湖北省十堰市）如图，表示神风摩托厂一天的销售收入与摩托车销售量之间的关系；表示摩托厂一天的销售成本与销售量之间的关系。

（1）写出销售收入与销售量之间的函数关系式；

（2）写出销售成本与销售量之间的函数关系式；

（3）当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；

（4）一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利？

分析：由图象可知与x成正比例关系，是x的一次函数。再由经过（4，4），经过（0，2），（4，4），可求得两函数的解析式。

解（1）y=x。

（2）设y=kx+b，

∵直线过（0，2）、（4，4）两点，

∴y=kx+2，又4=4k+2，

∴k=，∴y=x+2。

（3）由图象知，当x=4时，销售收入等于销售成本。

（4）由图象知，当x＞4时，工厂才能获利。

三. 表格信息类

例3. （2005年陕西）某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如下：

（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？

分析：表中给出了y与x的一些对应数据，选择其中任意两组（如前两组）对应量，就可求出一次函数解析式。

解（1）设所求一次函数的解析式为y=kx+b，则

解得

∴所求函数的关系式为；

（2）∵∴x。

答：能印该读物12800册。

四. 开放型问题

例4.（2005年包头）小明、小颖两名同学在学校冬季越野赛中的路程y（千米）与时间x（分）的函数关系如图所示。

（1）根据图象提供的数据，求比赛开始后，两人第一次相遇所用的时间；

（2）根据图象提供的信息，请你设计一个问题，并给予解答。

解（1）设AB的解析式为y=kx+b，把A（10，2），B（30，3）代入得

解得

∴，当y=2.5时，x=20。

∴比赛开始后20分钟两人第一次相遇。

（2）只要设计问题合理，并给出解答，均正确。