2012年高考理科数学(新课标)试题详解

一、选择题：

（1）已知集合；,则中所含元素

的个数为（ ）

【考查目标】 本题考查集合的概念和集合中元素个数的求法。

【解题思路】，，，共10个。

【答案】

【试题评价】 试题考查了集合概念的理解，集合元素个数的求法，体现了考试大纲对于此方面知识的要求。

（2）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

种种 种 种

【考查目标】 本题考查了计数原理中排列组合。

【解题思路】甲地由名教师和名学生：种

【答案】A

【试题评价】 试题以生活实例为素材，体现了数学的应用性，要求考生理解掌握技术原理方法，应用所学知识解决实际问题。

（3）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）

的共轭复数为的虚部为

【考查目标】 此题考查复数的基本概念和复数代数形式的运算。

【解题思路】

 ，，的共轭复数为，的虚部为

【答案】C

【试题评价】 试题通过对复数代数形式的运算，检测考生对复数及其模长、共轭复数的理解和掌握程度。

（4）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，

 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）

【考查目标】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想。

【解题思路】∵△是底角为的等腰三角形，

∴，，∴=，∴，∴=，故选C.

【答案】C

【试题评价】 试题考查了椭圆的定义及其性质，通过几何关系建立代数关系，是典型的数形结合问题，充分体现了考试大纲中对于椭圆内容的要求。

（5）已知为等比数列，，，则（ ）

【考查目标】 此题考查等比数列的性质及运算。

【解题思路】，或

【答案】

【试题评价】 试题较简单，反映了课程标准对考生注重运用数列内容性质的要求。

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（ ）

为的和

为的算术平均数

和分别是中最大的数和最小的数

和分别是中最小的数和最大的数

【考查目标】 本题主要考查框图表示算法的意义。

【解题思路】 由框图知其表示的算法是找N个数中的最大值和最小值，和分别为，，…，中的最大数和最小数，故选C.

【答案】C

【试题评价】 此题是新课改中的新内容，更加注重考查考生对计算机程序语言的理解掌握，要求考生理解算法思想并能在实践中自觉应用，是新课改创新应用的反映。

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

【考查目标】 本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，考查考生的空间想象能力。

【解题思路】 由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为=9，故选B.

【答案】B

【试题评价】 试题的设计注重考查考生空间想象能力，是新课程教学中培养学生多样化学习能力的体现。

 （8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）

【考查目标】 本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系。

【解题思路】 由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，∵=，∴=，解得=2，∴的实轴长为4，故选C.

【答案】C

【试题评价】 试题突出了对双曲线基本知识和抛物线性质的考查，准确把握了考试说明对双曲线和抛物线内容的不同能力要求。

（9）已知，函数在上单调递减。则的取值范围是（ ）

【考查目标】 此题考查三角函数的图像及其性质，要求考生理解三角函数图像的伸缩、平移等变化。

【解题思路】不合题意 排除

合题意 排除

另：， 

 得： 

【答案】A

【试题评价】 试题比教材所讲三角函数知识复杂，对知识的考查侧重于理解和应用。

（10） 已知函数；则的图像大致为（ ）

【考查目标】 本题考查函数的图像，涉及定义域、最值、单调性，也间接考查了导数在求单调性和最值得应用。

【解题思路】

    得：或均有  排除

【答案】B

【试题评价】 试题通过对函数单调性和最值的考查，反映考生对求导方法的理解和灵活应用程度。

 （11）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）

【考查目标】 本题考查锥体及其外接球的结构特征，考查空间几何体中的计算能力技巧，考查考生空间想象能力。

【解题思路】的外接圆的半径，点到面的距离

     为球的直径点到面的距离为

     此棱锥的体积为

    另：排除

【答案】A

【试题评价】 试题设计较难，要求考生不仅要有良好的空间想象能力，也要掌握灵巧的相关计算能力。

 （12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）

【考查目标】本题考查指数函数与对数函数图像的位置关系，考查平面坐标系中的运算能力。

【解题思路】函数与函数互为反函数，图象关于对称

        函数上的点到直线的距离为

       设函数

       由图象关于对称得：最小值为

【答案】B

【试题评价】 试题区别一般函数的最值问题，不直接通过两函数做差构造新函数再求解，而是先观察到两函数间是互为反函数的关系，然后通过图像几何关系解答，这要求考生具备敏锐的审题能力，随时灵活运用转化的数学思想解题。

二．填空题：

（13）已知向量夹角为 ，且；则

【考查目标】 本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则。

【解题思路】∵||=，平方得，即，解得||=或（舍）。

【答案】

【试题评价】 试题考查课本基础的平面向量知识，体现课程标准中对考生注重基础的要求。

 (14) 设满足约束条件：；则的取值范围为          . 

【考查目标】 本题考查简单的线性规划问题。

【解题思路】约束条件对应四边形边际及内的区域：  

则

【答案】

【试题评价】 试题考查知识很基础，有效检测考生对线性规划问题的理解和应用。

（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从

正态分布，且各个元件能否正常相互，那么该部件的使用寿命

超过1000小时的概率为         

【考查目标】 本题考查正态分布在实际问题中的应用，考查学生实践中应用数学知识的能力。

【解题思路】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率

 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

【答案】

【试题评价】 试题考查了学生运用正态分布知识解决实际问题的能力，关注新课程下考生的数学应用意识。

（16）数列满足，则的前项和为       

【考查目标】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力。

【解题思路】【思路1】有题设知

=1，①    =3  ②      =5  ③     =7，=9，

=11，=13，=15，=17，=19，，

……

∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，

∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，

∴{}的前60项和为=1830.

【思路2】可证明：

【答案】

【试题评价】 试题通过巧妙设计，整个求和公式中可分为常数列和等差数列两个新数列的求和，得以全面考查考生对数列知识的掌握程度和应用能力。

三、解答题：

 （17）（本小题满分12分）

已知分别为三个内角的对边，

（1）求 （2）若，的面积为；求。

【考查目标】 本题主要考查正余弦定理应用

【解题思路】 运用正弦定理把已知等式化成角的关系（“边化角”），从而用余弦定理求解。

【答案】解（1）由正弦定理得：

 （2）

 解得：

【试题评价】 试题注重基础，考查了考试大纲中要求的对三角形面积公式、正余弦定理的理解应用。

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量

（单位：枝，）的函数解析式。 

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。

【考查目标】 （1）考查分段函数解析式的求法；（2）考查有限个值得离散型随机变量的概率分布和数学期望，考查考生准确解读统计图表的意义的能力。

【解题思路及答案】 解（1）当时，

 当时，

 得：

 （2）（i）可取，，

的分布列为

 （ii）购进17枝时，当天的利润为

 得：应购进17枝

【试题评价】 本题通过对生产生活实际问题的检测，展示了数据的获取、整理、分析等统计的基本内容，体现新课改注重过程、实践与能力的教学理念。

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱中，，

是棱的中点，

（1）证明：

（2）求二面角的大小。

【考查目标】 本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查二面角的概念和计算，综合考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

【解题思路】 （1）用线面垂直证线线垂直；（2）可建立空间直角坐标系求解。

【答案】解（1）在中，

 得：

 同理：

 得：面

 （2）面

 取的中点，过点作于点，连接

，面面面

 得：点与点重合

 且是二面角的平面角

 设，则，

 既二面角的大小为

【试题评价】 试题以考生熟悉的三棱柱为载体，通过问题的分层设计，使不同层次考生的水平都得以发挥。试题准确把握相关几何要素，把“综合推理论证”和“向量计算验证”巧妙融入试题设计中，使空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到充分考查，体现了课程标准对立体几何教学的能力要求。

（20）（本小题满分12分）

设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，

为半径的圆交于两点；

（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；

（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，

求坐标原点到距离的比值。

【考查目标】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力。

【解题思路及答案】解（1）由对称性知：是等腰直角，斜边

 点到准线的距离

 圆的方程为

 （2）由对称性设，则

 点关于点对称得：

 得：，直线

切点

 直线

坐标原点到距离的比值为。

【试题评价】 试题设计围绕解析几何的思想方法展开，突出了数形结合的思想，侧重于对思想方法的理解和应用，同时还强调了良好的运算求解能力，全面体现了考试大纲对解析几何的考查目标。

（21）（本小题满分12分）

已知函数满足满足；

（1）求的解析式及单调区间；

（2）若，求的最大值。

【考查目标】 本题考查导数在求单调性、最值问题中的应用，考查分类讨论的数学思想，考查灵活应用导数这一工具去分析、解决问题的能力。

【解题思路】 （1）代特殊值法；（2）构造新函数。

【答案】解（1）

 令得：

 得：

在上单调递增

 得：的解析式为

 且单调递增区间为，单调递减区间为

  （2）得

 ①当时，在上单调递增

时，与矛盾

 ②当时，

 得：当时，

 令；则

 当时，

 当时，的最大值为。

【试题评价】 试题分布设问，考查由浅入深，重点突出，灵活考查了利用导数研究函数性质以及导数的基础知识和解题方法，而且对逻辑推理能力、运算求解能力提出较高要求。

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，分别为边的中点，直线交

的外接圆于两点，若，证明：

（1）；

（2）。

【考查目标】 本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识。

【解题思路】 根据平行线的判定定理的逆定理可得到线线、角角关系

【答案】解（1），

 （2）

【试题评价】试题以园内基本性质定理的应用为主线，考查了三角形的边角关系，题目简单，符合课程标准对几何证明选讲内容的教学要求。

（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，

且依逆时针次序排列，点的极坐标为

（1）求点的直角坐标；

（2）设为上任意一点，求的取值范围。

【考查目标】 本题考查了参数方程及参数的意义，考查极坐标的基本概念和点在极坐标中位置的确定，考查考生的运算求解能力。

【解题思路】 根据极坐标的概念与直角坐标的转化公式，在圆中的直角坐标为（1，√3），可直接写出正方形的其他三个顶点坐标。

【答案】解（1）点的极坐标为

 点的直角坐标为

 （2）设；则

【试题评价】试题的设计符合课程标准对坐标系与参数方程选讲内容的教学要求。

（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲

 已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求的取值范围。

【考查目标】 本题主要考查含绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想。

【解题思路】 （1）分类讨论去绝对值，（2）在给定的自变量的取值范围内去绝对值。

【答案】解（1）当时，

或或

或

 （2）原命题在上恒成立

在上恒成立

在上恒成立

【试题评价】 试题的设计符合课程标准对不等式选讲内容的教学要求。

 三个选考题都控制在中等难度，并保持客观难度平衡，不但有利于考生水平的发挥，同时为考生创造公平竞争的机会，保证了考试的客观、公正、公平。