北航工科数分(1)期末(06-07)

数学分析(上)

2007年1月19日

一、单项选择（每小题4分，共20分） 

1.  设,   则                   【　  C   】

Ａ．在 处连续 Ｂ.在[-1，1]上可积

Ｃ．在[-1，1]上有连续原函数      D.在处导数连续

2． 下列命题中不正确的是                                          【  D     】 

A. 若在内的某个原函数是常数，则在该区间内恒为零。

B. 若的某个原函数为零，则的所有原函数必为常数。

C. 若是的一个原函数，则必为连续函数。

D. 若在内不是连续函数，则在内一定没有原函数。　　　　

3.  设曲线C由参数方程  给出，则该曲线的弧长为 【 】

A． B.   C.      D.  

4． 设级数收敛，则级数                                     【    D   】

A.也收敛                B.   也收敛

C.也收敛              D.   也收敛

5． 设为任意常数，则级数 【   C    】

A.  发散  B.  条件收敛

C.  绝对收敛 D.  收敛性与有关 

二、填空题（每小题4分，共20分）

1．=  ;（解法：用洛必达法则或泰勒展式）；

2．反常积分=,或，或者；

（，或者）

3．如果，则=；（对原式两边直接求导）

4．=；

5．函数在处的带Peano余项的n阶泰勒公式为 

   。

三、计算题（每小题5分，共20分）

1.

解     （用分部积分法）

      ………….3分

…….5分

2.

解  ..（注意到被积函数的奇偶性）…….1分

..4分

,…………………………………..5分

3.

解   ……………..2分

…………………….4分

  ；……………………………………5分

4.设是由曲线与三条直线所围成的曲边梯形，求绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积。

解  …………………….3分

  ………………………5分

或者。

四、判断下列级数的敛散性（每小题5分，共20分）

1、

解  设，显然

由于（，……3分

即有； 于是收敛；………………5分

2、

解 设，显然，所以是正项级数；

，………3分

又收敛，所以收敛；………………………..5分

或者由，……………………….3分

又收敛，所以收敛；……………………………..5分

3、  

解设，因为，……………..2分

又收敛，所以收敛，…………………..4分

故原级数绝对收敛。………………………………………….5分

4、  

解设，由于，………………….2分

单调递减趋于0，…………………………………………………...3分

由狄利克雷判别法，级数收敛 。………………………….5分

五、证明题（本题10分）

设在上可导，在上可积，。 证明：

（1）

  （2）

证明 （1）由N-L公式，得        

，……………………………….2分

在上可积,亦在上可积,且有……………….4分

；………………………………. 5分

（2）

，………..8分

两边积分，得

，…

故得成立  。………………….10分

六、证明题（本题10分）

设在上二阶可导，且，求证级数绝对收敛。

证明由，知，，……………………………………2分

由条件存在，记，

，……………………….4分

，………………………………………………6分

又收敛,于是收敛，…………………………………………….8分

即级数绝对收敛。…………………………………………………………….10分

或者 由，知，，……………………………………

由题设条件知存在， ;

又收敛.于是收敛，…………即级数绝对收敛.

七、加选题（本题10分）

1.设n为正整数，证明： 

2.利用上题的结果证明： 若在上连续，且

 则 

证明 1  ……………..2分

………………………….5分

或者；

2由题设条件，得，…………………………………7分

设，

， 于是………..10分

或者，

，所以，故；

或者用反证法,假若，由， 

，这是矛盾的，所以要证的结论成立。