中考数学压轴题---因动点产生的等腰三角形问题[含答案]

例1（2011年湖州市中考第24题）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．

图1                   图2

满分解答

（1）因为PC//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．

（2）在△APD中，，，．

①当AP＝AD时， ．解得（如图3）．

②当PA＝PD时， ．解得（如图4）或（不合题意，舍去）．

③当DA＝DP时， ．解得（如图5）或（不合题意，舍去）．

综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．

图3                  图4                   图5

（3）点H所经过的路径长为．

考点伸展

第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：

①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以．因此，．

②如图4，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此．解得．

第（2）题的思路是这样的：

如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．

图6                           图7

例2（2011年盐城市中考第28题）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

                                                图1 

满分解答

（1）解方程组  得所以点A的坐标是(3，4)．

令，得．所以点B的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．

因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2                     图3                     图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．

如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．

因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．

此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．

我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．

在△APQ中，为定值，，．

如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．

如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．

如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得．

综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形．  

图5                   图6                    图7

考点伸展

当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解．

例3（2010年上海市闸北区中考模拟第25题）如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．

(1)求证：MN∶NP为定值；

(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；

(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

                             图1

满分解答

(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．

在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．

在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．

在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．

(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．

如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，，所以．解得．此时CM．

图2                      图3                         图4

(3)如图5，图6，图7中，，即．所以．

①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，，．

(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程，得．此时CM．

(Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，．解方程，得．此时CM．

(Ⅲ)当PB＝PN时，．解方程，得t的值为负数，因此不存在PB＝PN的情况．

②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时．解方程，得．此时CM．

图5                       图6                       图7

考点伸展

如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，，这样计算简便一些．

例4（2010年南通市中考第27题）如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．

（1）求y关于x的函数关系式； 

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

图1

满分解答

(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y关于x的函数关系为．

(2)如图2，当m＝8时，．因此当x＝4时，y取得最大值为2．

(3) 若，那么．整理，得．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入，得m＝2（如图4）．

图2                      图3                           图4

考点伸展

本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：

由第（1）题得到，

那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．

再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程

总有一个根的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．

例5（2009年重庆市中考第26题）已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．

图1                                      图2 

满分解答

（1）由于OD平分∠AOC，所以点D的坐标为（2，2），因此BC＝AD＝1．

由于△BCD≌△ADE，所以BD＝AE＝1，因此点E的坐标为（0，1）．

设过E、D、C三点的抛物线的解析式为，那么  解得， ．因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为．

（2）把代入，求得．所以点M的坐标为．

如图2，过点M作MN⊥AB，垂足为N，那么，即．解得．

因为∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG≌△DEF，所以CG＝EF＝2．因此GO＝1，EF＝2GO．

（3）在第（2）中，GC＝2．设点Q的坐标为．

①如图3，当CP＝CG＝2时，点P与点B（3，2）重合，△PCG是等腰直角三角形．此时，因此。由此得到点Q的坐标为．

②如图4，当GP＝GC＝2时，点P的坐标为（1，2）．此时点Q的横坐标为1，点Q的坐标为．

③如图5，当PG＝PC时，点P在GC的垂直平分线上，点P、Q与点D重合．此时点Q的坐标为（2，2）．

图3                        图4                       图5

考点伸展

在第（2）题情景下，∠EDC绕点D旋转的过程中，FG的长怎样变化？

设AF的长为m，那么．

点F由E开始沿射线EA运动的过程中，FG先是越来越小，F与A重合时，FG达到最小值；F经过点A以后，FG越来越大，当C与O重合时，FG达到最大值4．

例6（2009年上海市中考第24题）在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM//x轴（如图1所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．

（1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径．

           图1

满分解答

（1）因为点A的坐标为（1，0），点B与点A关于原点对称，所以点B的坐标为（－1，0）．将B（－1，0）代入y＝x＋b，得b＝1．将y＝4代入y＝x＋1，得x＝3．所以点D的坐标为（3，4）．

（2）因为D（3，4），所以OD＝5，．

①如图2，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，，，所以．此时点P的坐标为．

②如图3，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为．

③如图4，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为．

图2                      图3                       图4

（3）圆P的半径，两圆的圆心距为OP．当两圆外切时，圆O的半径．

①如图2，当PD＝PO时，，此时圆O不存在．

②如图3，当OP＝OD＝5时，作DH⊥OP于H．在Rt△DHP中，DH＝4，HP＝2，所以．此时．

③如图4，当DO＝DP时，．

考点伸展

如图5，在本题情景下，如果圆P与圆C外切，那么点P的变化范围是什么？

如图6，当圆P经过点C时，点P在CD的垂直平分线上，点P的坐标为．

因此当点P在x轴上点的右边时，圆P与圆C外切．

图5                            图6