有理数总复习专题汇编

5.1  有理数

知识框架：

有理数的定义：________和________统称为有理数。

有理数的分类：按照符号分类，可以分为________、________和________；按照定义分类，可以分为________和________：整数分为________、________和________；分数分为________和________。

典型例题：

例1：判断对错

①任何正整数都可以看做是由若干个“1”组成的。                                     （    ）

②正数、零和负数组成了全体有理数。                                                （    ）

③如果收入增加300元记作元，那么“元”表示的意义是支出500元。         （    ）

④任意一个自然数加上正整数等于进行次加1运算。                            （    ）

例2：下列说法正确的是（    ）

A．有理数就是正有理数和负有理数的统称        B．最小的有理数是0

C．有理数都可以在数轴上找到一个表示它的点    D．整数不能写成分数形式

例3：把下列各数填在相应的集合内。

   ，，，，，，，，，，，

正数集合{            }；负数集合{            }；正整数集合{            }；

整数集合{            }；负整数集合{          }；分数集合{              }。

例4：温度上升度后，又下降度实际上就是（    ）

A．上升1度        B．上升5 度        C．下降1 度        D．下降5度

例5：一次数学测试，杨老师用如下方法统计成绩：凡是得分为分的记作分，得分为分的记作分。李刚在这次测试中得分，应记作多少分？周亮的成绩记作分，他在这次测试中得了多少分？

拓展延伸：

已知3个互不相等的有理数可以写为、、，也可以写为、、，且。求、的值。

5.2  数轴

知识框架：

数轴的定义：规定了________、________和________的________叫数轴。

数轴的三要素：数轴的三要素是指________、________和________，缺一不可。

用数轴比较有理数的大小：在数轴上，________的点表示的数总比________的点表示的数大。

相反数的定义：只有        的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的________，零的相反数是    。

表示一个数的相反数就是在这个数的前面添一个________号，如的相反数可表示为________，的相反数可表示为________。

典型例题：

例1：下列说法正确的是（    ） 

A．没有最大的正数，却有最大的负数       B．数轴上离原点越远，表示数越大

C．0大于一切非负数                     D．在原点左边离原点越远，数就越小

例2：在数轴上标出的相反数，并用“”把这四个数连接起来。

例3：数轴上A、B两点对应的数分别为和，且线段，则_______。

5.3  绝对值与相反数

知识框架：

绝对值的定义：一个数在数轴上____________与________的________，叫做这个数的绝对值。

绝对值的表示方法如下：的绝对值是，记作________；的绝对值是，记作________；0的绝对值是________。

典型例题：

例1：下列说法正确的个数是（    ）

①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②正数和零的绝对值都等于它本身；③只有负数的绝对值是它的相反数；④互为相反数的两个数的绝对值一定相等；⑤任何一个有理数一定不大于它的绝对值。

A．5个        B．4个        C．3个        D．2个

例2：下列说法中：①一定是负数；②一定是正数；③倒数等它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1。其中正确的个数是（    ）

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

例3：如果都代表有理数，并且，那么(    )

A．都是0       B．两个数至少有一个为0     C．互为相反数    D．互为倒数

例4：代表有理数，那么和的大小关系是(    )

A．大于        B．小于        C．大于或小于        D．不一定大于

例5：在数轴上表示数的点到原点的距离为，则________。

例6：到原点的距离不大于2的整数有________个，它们是________；到原点的距离大于3且不大于6的整数有________个，它们是__________。

例7：在数轴上，点和点分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是，则两点表示的数分别是________和________。

例8：，求的值。

例9：已知与互为相反数，求的值。

拓展延伸：

1．如果互为相反数，那么下面结论中不一定正确的是（    ）

A．        B．        C．        D．

2．若，则数在数轴上的对应点在（    ）

A．表示数2的点的左侧                      B．表示数2的点的右侧

C．表示数2的点或表示数2的点的左侧        D．表示数2的点或表示数2的点的右侧

3. 已知，，且，求的值。

4.已知是非零的有理数，求的值。

5. 我们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上表示与表示的两个点之间的距离。试探索：

①________。

②找出所有符合条件的整数，使得最小，这样的整数是________________。

③由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由。

5.4  有理数的加法和减法

知识框架：

1．有理数加法法则：

①同号两数相加，取________的符号，并把________相加；

②异号两数相加，________相等时，和为________；绝对值不等时，其和的绝对值为_____________              __        _，其和的符号取_____            _____符号，

③一个数与0相加，______      __。

2．有理数减法法则：减去一个数，等于___     _________，        。

3．有理数加法运算律：加法交换律：________；加法结合律：________。

典型例题：

例1：判断对错

①个有理数的和为正数时，这两个数都是正数。                                （    ）

②如果两个有理数的和比其中任何一个加数都大，那么这两个数都是正数。        （    ）

③两个不等的有理数相加，和一定不等于0。                                   （    ）

④零减去一个数等于这个数的相反数。                                         （    ）

例2：下列说法正确的是(    )

A．两数的和大于每一个加数              B．两个数的和为负数，则这两个数都是负数

C．两个数的和为0，则两个数都是0       D．两个数互为相反数，则这两个数的和为0

例3：算式不能读作（  ）

A．与的差        B．与的和        C．与的差        D．减去

例4：计算：

例5：计算：

拓展延伸：

1．两数相减，差一定小于被减数吗？

2．计算：…

5.5  有理数的乘法和除法

知识框架：

有理数乘法法则：两数相乘，同号________，异号________，并把________相乘；任何数与0相乘都得________。

几个非零的有理数相乘，积的符号是由________的个数决定的：当________的个数是奇数个时，积为________；当________的个数为偶数个时，积为________。

有理数除法法则：两数相除，        得正，        得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不为零的数，都得零。

除以一个数，等于________________。          ，          。

典型例题：

例1：计算：①    ②

例2：几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数个，则积为（    ）

A．正数        B．负数        C．非正数        D．非负数

例3：一个有理数和它的相反数相乘，积为（    ）

A．正数        B．负数        C．正数或0      D．负数或0

例4：一个非零的有理数与它的相反数的商是（    ）

A．-1          B．1           C．0          D．无法确定

拓展延伸：

1．两个不为零的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（    ）

A．一定相等     B．一定互为倒数       C．一定互为相反数       D．相等或互为相反数

2．一天，小红与小丽利用温差测量山的高度，小红在山顶测得温度是℃，小丽此时在山脚测得温度是6℃.已知该地区高度每增加100米，气温大约降低℃，这个山峰的高度大约是多少米？

3．已知均为非零的有理数，且，求的值。

变式：已知均为非零的有理数，且，求的值。

5.6  有理数的乘方

知识框架：

乘方的定义：________________的运算叫做乘方。

对于式子，________是指数，________是底数，________是幂，它表示的意义是________________。

乘方的符号法则：正数的________次幂都是正数；负数的________次幂是负数，负数的________次幂是正数。

典型例题：

例1：比较和，并填表：

例3：一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（    ）

A．正数      B．负数      C．正数或负数    D．奇数

例4：若是负数，则下列各式不正确的是（  ）

A．          B．      C．        D．

例5：为正整数时， +的值是（  ）

A．2    B．-2    C．0    D．不能确定

例6：平方得的数是________；若，则________。

例7：一个数的绝对值等于它本身，则这个数是________；一个数的相反数等于它本身，则这个数是________；一个数的平方等于它本身，则这个数是________；一个数的立方等于它本身，则这个数是________；一个数的倒数等于它本身，则这个数是________。

拓展延伸：

1．已知为正整数，一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是________，它的次幂是________（填“正数”或者“负数”）。

2．两个有理数互为相反数，那么它们的次幂的值（    ）

A．相等        B．不相等        C．绝对值相等        D．没有任何关系

3．观察下列算式发现规律：，，，，，，……，用你所发现的规律写出：的末位数字是________。

5.7  有理数的混合运算

知识框架：

有理数混合运算的顺序：先________，再________，最后________；若有括号，先________________。同级运算应该________依次计算；对于多重括号应该遵循________依次去括号。

典型例题：

例1：计算：       

例2：计算：                

例3：计算：                 

例4： 

拓展延伸：

甲从外地以3820元购得的一部手机，以3880元转卖给乙，乙又以3900元卖给丙，丙亏10元卖给甲，甲以丙卖给他的价格为基础再便宜30元卖给乙，乙买来后以3840元卖给丙，丙以3000元的价格卖给甲，最后甲又以3100元的价格处理给了某中介所。请问在此过程中，甲、乙、丙各自是亏了还是赚了？亏或赚了多少元？

5.7科学计数法

知识框架：

在现代文化影响下，当今大学生对新鲜事物是最为敏感的群体，他们最渴望为社会主流承认又最喜欢标新立异，他们追随时尚，同时也在制造时尚。“DIY自制饰品”已成为一种时尚的生活方式和态度。在“DIY自制饰品”过程中实现自己的个性化追求，这在年轻的学生一代中尤为突出。“DIY自制饰品”的形式多种多样，对于动手能力强的学生来说更受欢迎。科学记数法的定义：把一个大于10的数记成的形式，其中________，是________，这样的记数法叫做科学记数法。科学计数法中，10的指数等于原数的整数位数减去_______。

A、       B、       C、         D、

例2：下列各数用科学记数法表示正确的是（       ）

但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；如果你，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。A.0.58×105           B. 12.3×107                       D.3.06×106

例3：对4.5983取近似值，保留三个有效数字，其结果正确的是（       ）。

A、4.59              B、4.598             C、4.60                D、4.6

例4：我国继“神舟六号”成功升空并安全返回后，于2007年向距地球384401千米的月球发射了“嫦娥一号”卫星，这是我们中国人的骄傲。用科学记数法并保留三个有效数字表示地球到月球的距离是 （     ）

A. 3.84×106千米             B. 3.84×105千米  

“漂亮女生”号称全国连锁店，相信他们有统一的进货渠道。店内到处贴着“10元以下任选”，价格便宜到令人心动。但是转念一想，发夹2.8元，发圈4.8元，皮夹子9.8元，好像和平日讨价还价杀来的心理价位也差不多，只不过把一只20元的发夹还到5元实在辛苦，现在明码标价倒也省心省力。C. 3.85×106千米             D. 3.85×105千米

（二）上海的人口环境对饰品消费的影响例5：对于近似数0.1830，下列说法正确的是（    ）

Ｂｅａｄｗｒｋｓ公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流，体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎；同样，自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感，这里更是创作的源泉。    A. 有三个有效数字，精确到千分位

随科技的迅速发展，人们的生活日益趋向便捷、快速，方便，对于我国传统的手工艺制作，也很少有人问津，因此，我组想借此创业机会，在校园内开个DIY创意小屋。它包括编织、刺绣、串珠等，让我们传统的手工制作也能走进大学，丰富我们的生活。    B. 有四个有效数字，精确到千分位

手工艺品，它运用不同的材料，通过不同的方式，经过自己亲手动手制作。看着自己亲自完成的作品时，感觉很不同哦。不论是01年的丝带编织风铃，02年的管织幸运星，03年的十字绣，04年的星座手链，还是今年风靡一时的针织围巾等这些手工艺品都是陪伴女生长大的象征。为此，这些多样化的作品制作对我们这一创业项目的今后的操作具有很大的启发作用。    C. 有四个有效数字，精确到万分位

    D. 有五个有效数字，精确到万分位

（3） 年龄优势例6：北京市申办2008年奥运会，得到了全国人民的热情支持。据统计，某一日北京申奥网站的访问人次为201947，用四舍五入法保留两个有效数字的近似值是（    ）

为此，装潢美观，亮丽，富有个性化的店面环境，能引起消费者的注意，从而刺激顾客的消费欲望。这些问题在今后经营中我们将慎重考虑的。A.             B.         C.             D. 

2、你大部分的零用钱用于何处？

拓展延伸：

1. 近似数1.20所表示的准确数a的范围是（    ）

    A.             B. 

    C.             D. 

2. 近似数0.5600的有效数字的个数和精确度分别是(        )

A. 两个,精确到万分位             B. 四个, 精确到十万分位  

C. 四个,精确到万分位             D. 四个,精确到千分位

3. 下列说法正确的是（   ）

A、0.720有两个有效数字          B、3.6万精确到个位   

C、5.078精确到千分位        　  D、3000有一个有效数字 

4. 4604608取近似值,保留三个有效数字,结果是(   )

    A.4.60×106       B.4600000;      C.4.61×106       D.4.605×106

5. 据统计，全国每小时约有510000000吨污水排入江海，用科学计数法表示为（    ）吨.

A.5.1    B.0.51×10   C.5.1×10   D.5.1×10

6. 2003年5月19日，国家邮政局特别发行“万众一心、 抗击‘非典’”邮票，收入全部捐赠给卫生部门，用以支持抗击“非典”斗争，其邮票发行量为12500000枚，用科学记数法表示正确的是（      ）． 

枚