云南省昆明一中2012届高三上学期第三次月考试题(数学理)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若，则        （    ）

    A．         B．               C．             D．

2．若是纯虚数，则实数的值为            （    ）

    A．             B．0                 C．1                 D．

3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是         （    ）

    A．    B．    C．    D．

4．已知焦点在轴上的椭圆的离心率是，则的值为     （    ）

    A．　            B．               C．                D．

5．下列命题中的真命题是                （    ）

    A．，          B．，

    C．，                   D．，

6．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是        （    ）

    A．  　　              B．  

     C．   　               D．

7．已知，则    （    ）

    A．1                 B．               C．                D．

8．设一直角三角形两直角边的长均是区间的随机数，则斜边的长小于的概率为（    ）

    A．               B．                C．                  D．

9．下图给出的是计算…的值的一个

程序框图，其中判断框内应填入的条件是（    ）

    A．      

    B．

    C．     

    D．

10．已知，则                         （    ）

    A．                    B．           

    C．                 D．

11．五个人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有                （    ）

    A．60种             B．48种             C．36种            D．24种

12．已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，设，则a、b、c的大小关系为        （    ）

    A．          B．          C．        D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡上。

13．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是           ．

14．设变量满足约束条件：，则的最小值是________．

15．已知正项数列的首项，前项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为________．

16．已知函数，则下列说法正确的是              （写出所有正确命题的序号）

    ①在上是减函数；            ②的最大值是2；

    ③方程有2个实数根；                ④在R上恒成立．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

    已知向量，令

    （Ⅰ）求的最小正周期；

（    Ⅱ）若，求的最大值和最小值．．

18．（本小题满分12分）

已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点。

    （Ⅰ）证明：平面⊥平面；

    （Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；

    （Ⅲ）求平面与平面所成二面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。

   （Ⅰ）用表示取到的4个球中红球的个数，求的分布列及的数学期望；

（Ⅱ）求取到的4个球中至少有2个红球的概率．

（20）（本小题满分12分）

20．设a∈R，函数（），其中是自然对数的底数．

    （Ⅰ） 判断函数在R上的单调性；

    （Ⅱ） 当时，求函数在[1，2]上的最小值．

21．（本小题满分12分）

        已知双曲线（）的一个焦点坐标是，一条渐近线方程是．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若斜率为的直线与该双曲线相交于不同的两点、，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的取值范围．

（22）[选做题]本题包括A、B、C、三小题，请选定其中一题，并在相应的答题区域内作答。

若多做，则按作答的第一题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知是半圆的直径，是延长线上一点，切半圆于点，于点，于点，若，求的长。

    B．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆与直线为参数）相切，求实数的值。

    C．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

解不等式．

参

一、选择题：

（13）    （14）   （15）   （16）①③④

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）解：（Ⅰ）=

     ．

    ∴的最小正周期是 

    （Ⅱ）由   得    所以   

    所以的最大值与最小值分别是、

（18）

方法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

    ∴由三垂线定理得：CD⊥P    D．

    因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

    ∴CD⊥面PA    D．

    又CD面PCD，∴面PAD⊥面PC    D．

    （Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，

    则∠PBE是AC与PB所成的角．

    连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

    所以四边形ACBE为正方形． 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

    在Rt△PEB中BE=，PB=，     

    所以异面直线与所成角的余弦值为

    （Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN．

    在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，   ∴△AMC≌△BMC,

    ∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角．

    ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，

    在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．

    在等腰三角形AMC中，AN·MC=，

    ．   ∴AB=2，

    故所求的二面角的余弦值为

    方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

    A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，．

    （Ⅰ）证明：因

    由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PA    D．

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PC    D．

    （Ⅱ）解：因

    （Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使

    要使

    为所求二面角的平面角．

    故所求的二面角的余弦值为

19、解：（Ⅰ）：  ，     

      ，   

    随机变量的分布列为

    （Ⅱ）所求的概率………………12分

20、解： （Ⅰ） ．……2分

由于, 只需讨论函数的符号:

当a = 0时, ，即，函数在R上是减函数；     ……4分

当a>0时, 由于，可知，函数在R上是减函数；                                                         ……6分

当a<0时, 解得，且．

在区间和区间上，函数是增函数；在区间上，函数是减函数．……9分

综上可知：当a≥0时，函数在R上是减函数；当a<0时, 函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数．

（Ⅱ） 当时，,

所以, 函数在区间[1，2]上是减函数，其最小值是．      ……12分

21、解：（Ⅰ）因为双曲线的方程为（）．由题设得

，解得，所以双曲线方程为．

（Ⅱ）设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组

　　将直线的方程代入双曲线方程得，

整理得．

此方程有两个不等实根，于是，且．

整理得．　由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

，．

从而线段的垂直平分线方程为．

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．

由题设可得．整理得，．

将上式代入得，整理得

，．

该不等式等价于　或　解得或．

所以的取值范围是．

22、（A）设圆的半径为r，AD＝x，连结OD，得OD⊥A    C．

故＝，即＝，故x＝r．

又由切割线定理AD2＝AE·AB，

即r2＝（10－2r）×10，故r＝．

由射影定理知DF＝3．

22（B）解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，

直线为参数）的普通方程为：，

又圆与直线相切，所以解得：，或。

（C）（方法一）当时，∵原不等式即为，这显然不可能，∴不适合．

当时，∵原不等式即为，又，∴适合．

当时，∵原不等式即为，这显然恒成立，∴适合．

故综上知，不等式的解集为，即

（方法二）设函数，则∵∴作函数

的图象，如图所示，并作直线与之交于点．

又令，则，即点的横坐标为．

故结合图形知，不等式的解集为．