4年级奥数第15讲：等量代换法

2、理解相等量的关系，能将相等的量进行合理替换。

3、培养等量代换法解决问题的习惯和思路。

培养等量代换法解决问题的习惯和思路。

同学们一定都知道曹冲（曹操的小儿子）称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。 

为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时，才会淹没得一样深。

“曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。解数学题，经常会用到这种思考方法。

如果a=b,那么可以把算式中的a用b代换，或b用a代换。

【典型问题-1】

例1、已知：△ + ○ = 24，○ = △ + △ + △ ，求 △=？○=？

分析：○ = △ + △ + △所表示的意思是：1个○相当于＿＿＿个△

　　　　所以，就可以把另一个式中的○换成＿＿＿＿个△

解：将两个等式编号：

（1）: △ + ○ = 24 

（2）: ○ = △ + △ + △ 

将（1）式中的○换成3个△,得到一个新的式子

　　△+△+△+△+=24

∴△=24÷4=6，

○=6+6+6=18.

小结：相等的量可以替换。替换的目的是把两种量变成一种量。

练习1：已知：△ + ● = 24，★ = △ + △，★＋● = 28

求　△＝？，★＝？●＝？

【典型问题-2】

例2、已知：（见下图）求：一个□等于几个○。

分析：这是两个天平图。天平，一种衡量器，我国古代很早就已经产生了，到春秋晚期，天平和砝码的制造技术已经相当精密，那时以竹片做横梁，丝线为提纽，两端各悬一个铜盘，当两个铜盘里的物品一样重时，竹片就成水平了。

由左图可知，2个△和＿＿＿个○相等

由右图可知，3个□和＿＿＿个△相等

由此可以开式解答。

解：由已知的天平图改写成等式：

2×△=6×○ （1）

3×□=3×△ （2）

由（1）式得：△=3×○ （3）

由（2）式得：□=△ （4）

将（3）式代入（4）式得：□=3×○，即一个□等于3个○.

练习2、已知：（见下图）求：最大的球的重量是多少克？

提示：这也是一种天平，水平状态表示两边相等。所以从图上可以得到＿＿＿个等式。

练习3、已知：（见下图）求：最大的球的重量是多少克？

【典型问题-3】

例2、一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的5倍.问买30支活动铅笔的钱能买

几支钢笔？

分析：解题关键是可以将题意变为算式：1支钢笔=5支铅笔，即5支铅笔=1支钢笔，

问题是：30支铅笔=？支钢笔

解： 30÷5=6支

.

练习4：买了3个足球，张老师买4个篮球，王老师买了1个足球、1个篮球、3个皮球。他们每人所用的钱数都相等。5个足球的价钱相当于几个皮球的价钱？

【典型问题-4】

例4、已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量.问多少个李子的重量等于1个桃子的重量？

分析：根据题意列出等式，再找出相等的量进行代换。

解：由题意列等式：

13李=2苹+1桃 （1）     4李+1苹=1桃 （2）

把（2）式代入（1）式得：13李=2苹+4李+1苹

即 9李=3苹；即 3李=1苹 （3）

把（3）式代入（2）式得4李+3李=1桃即 7李=1桃

即 7个李子重量等于1个桃子的重量.

练习5：如果鱼尾重4公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量.问这条鱼有多少公斤重？

小结：巧妙画图才能有助思考，要根据不同的题意画不同的图。

练习：

1.已知：（下图所示为简易天平）求：一个柿子的重量是多少克？

2. 假若20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换多少只兔子？ 

3.小红去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花了1元3角5分钱.已知3支铅笔的价钱与2个笔记本的价钱相等.求1支铅笔和1个笔记本各要多少钱？

4. 5、小杰为做实验找来一架天平，可下面的天平是不平衡的，但除了天平上的砝码，周围已

找不到别的砝码了。你能帮助小杰通过移动天平上的砝码，使天平平衡吗？

5.如果鱼尾重4公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量.问这条鱼有多少公斤重？

家庭作业：

1、图中，最后一个盘子里应放几粒玻璃球才能使天平平衡?

2、桔子和苹果共有360个，其中桔子数是苹果数的2倍，求桔子和苹果各有多少个？

3、在大江边有一座城镇，城镇里的渔民们经常会聚在一起交易。一条刀鱼可以换三条黑岩鱼， 一条黑岩鱼可以换四条金鱼，那么两条刀鱼可以换几条金鱼呢？

4妈妈买了5个苹果和3个桃子共花了21元，买了7个苹果和3个桃子共花了27元，

么苹果多少钱一个？、

5、在生物课外活动中，同学们种花生比白薯多105棵，又知花生棵数是白薯的16倍，求花生、白薯各多少棵？