小升初奥数系统复习

1、甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C地．如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地D距C地10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地E距C地5千米. 问甲原来的速度是每小时多少千米？

【解析】3次相遇中，两人的行程距离，行程时间都不相同，所以应讲其中的一项化为相等

当乙每小时多行走4小时，相遇地D距C地10千米，相遇之后，让他们继续在走，则甲到C地共用时5个小时，此时乙可以多行走到20km 也就是CM=20km，相当于相遇之后，甲走的路程是10km，乙的路程也是10km，所以甲的速度=乙的速度+4；

同样的分析方法，甲每小时多行3千米，相遇地E距C地5千米，他们继续前行，当乙到达C地共用时5个小时，此时甲到达N地，此时CN=15km, 相当于相遇之后甲走了EN=10km,乙走了EC=5km,所以此时甲乙的速度关系为:甲的速度+3=乙的速度,

 　所以甲的为原来的是速度为11千米．

此题利用了假设法，假设两人相遇之后继续前进向前走，由于时间一样，利用两人前后的路程与速度成正比得速度的关系式，然后按照比例分配得到真确答案，解答行程很多时候我们都会用到假设法.

计算和计数课后练习题详解

1、

解析：考查了提取公因数(乘法分配律的反用)

  提取公因数

           分数化小数

        结合律以及拆出凑

答案：

2、

解析：此题考查了完全平方数，

   括号中的每一项都换成的形式

   为了便于约分把所有括号中的第一项结合在一起第二项也结合在一起

答案：

3、

解析：凑整（利用运算律把参与运算的数字凑成整“1”整“10”，整“100’的数）

凑“1”

   结合律

；

答案：

4、

解析： 分数的裂项，一个分数的分母是两数之积，分子式分母上的两个乘数的差，这样的分数都可以裂项，如.

   分数的裂项

答案：

5．a，b，c分别是0到9中不同的数字，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？

解析：此题考查的知识有位置原理，同余的性质（和的余数等于余数的和，乘积的余数等于余数的乘积）

这六个数字分别为，根据位置原理，这六个数字百位上的数字有2个，两个两个，同理，十位上和个位上也有2个两个两个，

故六个数字的和为，

设另外一个六位数是，则

，

根据同余的性质，能被222整除，所有除以222应余208，

，

当的时候不可以因为此时为208，这三个数字中不能含0，

当，也不成性，

当的时候成立，此时，

当的时候不成立，

当时，是四位数，以下不用再验证.

答案：652 

行程模块课后练习题详解

1、每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时走出家门散步，他们相向而行，并且准时在途中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早7分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每分钟70米，张大爷步行速度是每分钟40米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟?

【解析】行程中的相遇问题

小刚提前出门，比平时早7分钟与张大爷相遇，如果继续走完这7分钟,那么这7分钟小刚和张大爷共计多走米, 这米应该是小刚提前出门所走的路程,又小刚的速度每分钟70米,所以小刚比平时早出门分钟.

2、甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米．甲从A地，乙和丙从B地出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地的距离.

【解析】相遇和追击问题的综合 相遇和追击的基本公式是：

路程和=速度和相遇时间，路程差=速度差追击时间.

如图，甲和乙在C处相遇, 相遇之后15分钟又与丙相遇,故甲和丙在这15分钟内所走的路程CD为米, CD也是甲乙相遇这段时间内,乙超过丙的距离, 甲乙相遇的时间为分钟, 所以AB两地的距离为米.

3、甲火车长290米，每秒行20米，乙火车长250米，每秒行25米，两列火车在平行的轨道上同向行驶，刚好经过一座900米长的铁桥，当甲火车车尾离开桥的一端，同时乙火车车头刚好驶上桥的另一端，经过多长时间乙火车完全超过甲火车？

【解析】这是一道火车过桥的题目，火车过桥是指火车车头上桥，车尾离桥这算过程。

过桥时间=（车长+桥长）车速

当乙火车完全超过甲火车时候,乙火车比甲火车多走了乙火车和甲火车的长度并加上轨道的长度,共计米,两火车的速度之差为米/每秒，所以乙火车完全超过甲火车的时间为秒.

4、甲乙两人在一条90米的直路上来回跑步，甲的速度是3米/秒，乙的速度是2米/秒．如果他们同时分别从直路的两端A、B两点出发，当他们跑12分钟时，共相遇了多少次？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）

【解析】这是一个多次相遇的问题，相关知识点如下：

甲乙分别从A，B的两端出发的相遇问题：

一次相遇走了1个全程，二次相遇共走了3全程，以后多相遇一次多走2个全程，n次相遇共走2n-1个全程；

甲乙分别从A，B的两端出发的追及问题:

一次甲追上乙，甲比乙多走一个全程，二次追上乙比多走3个全程，以后每次多追上一次甲就比乙多走两个全程，n次追上乙，甲比乙多走2n-1个全程 .

在12分钟之内甲乙两人共走米，共个全程，所以在这个40个全程里，甲乙共计相遇20次（因为相遇20次甲乙共走39个全程）,

在12分钟之内甲乙的路程差为米，共追及个全程，所以在这个8个全程里，甲追上乙4次.

下面要注意了：求共计相遇了几次并不是20+4=24，因为在相遇和追上在同一个地点，我们可以用柳卡图进行解释：

甲30秒钟走一个全程，乙45秒钟走一个全程，从图中可以看出，

在180秒内甲乙相遇5次，甲追上乙1次，但是第三次相遇和第一次追上时在同一个地点，

故在180秒内碰面5次，总共内碰面20次.

5、小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(只算迎面相遇)，则甲、乙两地的距离为

        千米．

【解析】一次相遇走了1个全程，二次相遇共走了3全程，以后多相遇一次多走2个全程，n次相遇共走2n-1个全程，二次相遇所用的时间是一次相遇用时间的3倍，两人各自所走的路程也是也是第一次所走路程的3倍. 

在一次相遇中小王走了AB为3千米，两次相遇小王走AD+DC为千米，又因为AC为6米, 所乙AD+DC+AC为两个全程是千米，甲乙两地的距离为千米

几何模块课后练习题详解

1、在长方形ABCD中，AD＝15cm，AB＝8cm，四边形OEFG的面积是9，求阴影总面积.

【解析】本题考查了一半模型，选对模型是我们做对题的关键

，

；

；

，

故，

答：阴影部分的面积为69 .

另解：在梯形中，(蝴蝶模型，两个翅膀面积相等)，

所以阴影部分的面积转化为.

2、如图，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF与EC相交于点H，已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是________平方厘米．

【解析】此题考查等积模型

连接DF,则根据等积模型，

故阴影部分的面积为，再连接CF，

则.

3、如图，在三角形ABC中，AD：DB=1:3，AE：EC=2：3，求BF：CF为多少？

【解析】  问题为塞瓦定理，应用燕尾模型。

根据燕尾模型：

 ；；；

三个式子相乘，得到，

故，所以；

注意：在塞瓦定理中比例的线段顺序不能乱．.

4、在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是9，6，5，那么三角形DBE的面积是          .

【解析】根据面积的比例确定线段的比例：

，

故，

因为 ；

所以,

．

５、如图，求阴影部分的面积．(π取3．14)

【解析】本题考点：勾股定理和曲线形面积的综合

如图所示，阴影部分面积等于半圆减去长方形面积

长方形的长：

连接OC，在三角形OBC里边，我们知道OC=20、OB=16，

根据勾股定理：

求得： 

长方形面积：，

半圆面积：，

所以阴影面积：628-384=244．

数论模块课后练习题详解

1、已知201220122012是72的倍数，求末两位数是多少？

【解析】同余的性质

，201220122012是9的倍数，所以201220122012能够被9整除，

设这个数字设为201220122012，根据被9整除的性质，是9的倍数，

所以或者，

又因为201220122012是8的倍数，所以后三位数字是8的倍数，也就是是8的倍数.

时，，，舍去；

，，舍去；

时，，，舍去；

，，舍去；

，，满足条件，所以末两位数字是48.

   答案:48

2、是否存在自然数a和b，使得ab .

【解析】奇偶分析法

是个奇数，故的因数、、都只能是奇数，但是、 是奇数时，就不可能奇数 .所以不存在自然数a和b，使得ab .

答案：不存在

3、在数字81352、12358、38512、51823、83521中，唯一的一个完全平方数是           ．

【解析】 完全平方数的性质

完全平方数的末尾数字只能是0,1,4,5,6,9，故唯一的一个完全平方数字只能是83521，事实上.

答案：83521

4、  的个位数字是________．

【解析】 同余（这一类题都是寻找规律，然后看余数是如何循环出现的）

求解的个位数字，也就是求解这个数字除以10的余数，根据乘积的余数的余数等于余数的乘积，

；

；

；

余数是9,1循环出现的，当是偶数个2009相乘的时候除以10的余数是1，也就是各位数字是1 . 

答案：1

应用题与杂题模块课后作业题详解 

1、 盒子里有红球和白球若干， 若每次从里面拿出 1 个红球和 1 个白球， 那么当拿到没有红球时， 还剩

下白球 50 个， 若每次拿出 1 个红球和 3 个白球， 则拿到没有白球时， 还剩下 50 个红球， 那么盒子

里有红球和白球各多少个？ 

【解析】 盈亏问题变形 

从里面拿出 1 个红球和 1 个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球 50 个; 

若每次拿出 1 个红球和 3 个白球，则拿到没有白球时，还剩下 50 个红球， 那我们继续拿， 再拿

50 次， 则当红球拿完的时候，还缺少白球 150 个， 

此时我们可以看出红球和白球 1:1 配对的时候还剩余白球 50 个， 当白球和红球 1:3 配对的时候白

球还缺少 150 个,两次中白球的差距为 2 份， 相差的个数为 20+150=200 个. 

所以红球的个数为（150+50）/2=100，所以白球的数量为 100+50=150. 

2、 甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打 32 个字，前后共打 50 分钟， 前

25 分钟比后 25 分钟少打 0 个字，文稿一共字. 

【解析】 工程问题 

因为饭前打了一半， 饭后打一半，总共打了 50 分钟，所以打前一半所用的时间超过 25 分钟， 前

25 分钟比后 25 分钟少打 0 个字， 而饭后每分钟又要多打 32 个字， 则饭后打了 0/32=20 分

钟，饭前打了 30 分钟， 前 20 分钟比后 20 分钟少打 0 个字， 因为饭前打了一半，饭后打一半，

所饭前 10 分钟打了 0 个字， 所以饭前 30 分钟总共打了 0x3=1920 个字， 总共打了 3840 个

字。 

3、 一项工程， 甲单独做 40 天完成， 乙单独做 60 天完成． 现在两人吅作， 中间甲因病休息了若干天，

所以经过了 27 天才完成． 问甲休息了几天？ 

【解析】 工程问题。 

设工作总量为“1”, 

那么甲的工作效率为 1/40,乙的工作效率为 1/60,, 

则乙工作 27 天完成的工作量为 27x1/60=9/20, 

甲的工作量为 1-9/20=11/20, 

所以甲工作的时间为（11/20）/（1/40） =22 天， 

所以甲休息了 27-22=5 天。 

方法二，如果甲不休息， 甲乙吅作的工作效率为 1/40+1/60=1/24, 

则 27 天他们共完成 27/24,超过工作总量 27/24-1=1/8, 

这是甲休息的时间为（1/8）/（1/40） =5 天 

4、 在甲容器中装有浓度为 10.5%的盐水 90 毫升，乙容器中装有浓度为 11.7%的盐水 210 毫升．如

果先从甲、乙容器中倒出同样多的盐水，再将它们分别倒入对方的容器内搅匀，结果得到浓度相同的

盐水． 甲、 乙容器各倒出了多少毫升盐水？ 

【解析】 浓度问题 

设相同的浓度为 A，A 相当遇于 90 毫升 10.5%的盐水同 210 毫升 11.7%的盐水后的浓度， 这是浓

度升 10.5%和 11.7%的盐水的比为 90:210=3:7, 

甲倒出的盐水为 B，乙也倒入盐水也为 B， 那么甲容器中浓度为 10.5%溶液（90-B）升和 11.7%

的盐水 B 升的比例也为 3:7，即 90-B：B=3:7， 

7x（90-B） =3xB 所以 B=63 升. 

5、要把 61 个乒乓球分别装在若干个乒乓球盒中,每个盒子最多可以装 5 个乒乓球,问:至少有多少个盒

子中的乒乓球的数目相同? 

【解析】 抽屉原理 

每个盒子最多可以装 5 个乒乓球， 那么盒子中可以装 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个.把这 5 中情况

组吅在一起看成一组， 也就是说一组中含有 5 个盒子， 这五个盒子设为 ABCDE,， 根据最不利原则，

A 抽屉放一个，B 抽屉放两个，C 抽屉放 3 个， D 抽屉放 4 个，E 抽屉放 5 个。 这样， 一组就 5 个

盒子中一共 15 个乒乓球，没有一个盒子中乒乓球的数目相同，再增加一个球，就有乒乓球数目相

同的盒子. 

因为 61/15=4·····1，61 个球总共分成 4 组，还会多一个球。四组中每组都有相同的盒子，一共有

4 个盒子中乒乓球数目相同。 4+1=5，所以至少 5 个盒子中的乒乓球的数目相同. 

5、学而思三年级某班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6

行多5人，问上体育课的同学最少       人．

【解析】设上体育课的学生最少有人：

排成3行少1人，；

排成4行多3人，也就是排成4行少1人，；

排成5行少1人，；

排成6行多5人，也就是排成6行少1人，,

，最少为59，

所以上体育课的同学最少59人.

应用题与杂题模块课后作业题详解

1、盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？

【解析】盈亏问题变形

从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个;

若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那我们继续拿，再拿50次，则当红球拿完的时候，还缺少白球150个，

此时我们可以看出红球和白球1:1配对的时候还剩余白球50个，当白球和红球1:3配对的时候白球还缺少150个,两次中白球的差距为2份，相差的个数为20+150=200个.

所以红球的个数为（150+50）/2=100，所以白球的数量为100+50=150.

2、甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字，前后共打50分钟，前25分钟比后25分钟少打0个字，文稿一共字.

【解析】工程问题

因为饭前打了一半，饭后打一半，总共打了50分钟，所以打前一半所用的时间超过25分钟，前25分钟比后25分钟少打0个字，而饭后每分钟又要多打32个字，则饭后打了0/32=20分钟，饭前打了30分钟，前20分钟比后20分钟少打0个字，因为饭前打了一半，饭后打一半，所饭前10分钟打了0个字，所以饭前30分钟总共打了0x3=1920个字，总共打了3840个字。

3、一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？

【解析】工程问题。

设工作总量为“1”,

那么甲的工作效率为1/40,乙的工作效率为1/60,,

则乙工作27天完成的工作量为27x1/60=9/20,

甲的工作量为1-9/20=11/20,

所以甲工作的时间为（11/20）/（1/40）=22天，

所以甲休息了27-22=5天。

方法二，如果甲不休息，甲乙合作的工作效率为1/40+1/60=1/24,

则27天他们共完成27/24,超过工作总量27/24-1=1/8,

这是甲休息的时间为（1/8）/（1/40）=5天

4、在甲容器中装有浓度为10.5%的盐水90毫升，乙容器中装有浓度为11.7%的盐水210毫升．如果先从甲、乙容器中倒出同样多的盐水，再将它们分别倒入对方的容器内搅匀，结果得到浓度相同的盐水．甲、乙容器各倒出了多少毫升盐水？

【解析】浓度问题

设相同的浓度为A，A相当遇于90毫升10.5%的盐水同210毫升11.7%的盐水后的浓度，这是浓度升10.5%和11.7%的盐水的比为90:210=3:7,

甲倒出的盐水为B，乙也倒入盐水也为B，那么甲容器中浓度为10.5%溶液（90-B）升和11.7%的盐水B升的比例也为3:7，即90-B：B=3:7，

7x（90-B）=3xB所以B=63升.

5、要把61个乒乓球分别装在若干个乒乓球盒中,每个盒子最多可以装5个乒乓球,问:至少有多少个盒子中的乒乓球的数目相同?

【解析】抽屉原理

每个盒子最多可以装5个乒乓球，那么盒子中可以装1个，2个，3个，4个，5个.把这5中情况组合在一起看成一组，也就是说一组中含有5个盒子，这五个盒子设为ABCDE,，根据最不利原则，A抽屉放一个，B抽屉放两个，C抽屉放3个，D抽屉放4个，E抽屉放5个。这样，一组就5个盒子中一共15个乒乓球，没有一个盒子中乒乓球的数目相同，再增加一个球，就有乒乓球数目相同的盒子.

因为61/15=4·····1，61个球总共分成4组，还会多一个球。四组中每组都有相同的盒子，一共有4个盒子中乒乓球数目相同。4+1=5，所以至少5个盒子中的乒乓球的数目相同.