2008年高考试题——数学理(安徽卷)

数   学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至

第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮控干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅰ卷时，必须使用0.5毫米的黑色笔迹签字笔在答题卡上书写，要求字体工事、笔迹清晰。作图题可先铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色笔迹字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、早稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题和答题卡一并上交。

 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

如果事件A、B相互，那么

如果随机变量，那么

球的表面积公式；球的体积公式，其中R表示球的半径                   

                                 第Ⅰ卷(选择题  共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数=                                                              【    】

(A)2                    (B)-2                   (C)2i                  （D）-2i

(2)集合，则下列结论中正确的是         【    】

(A)                    (B) 

(C)                     (D) 

(3)在平行四边形中，为一条对角线，若=(2,4), =(1,3) , =   【    】

(A)(-2,-4)            (B)(-3,-5)           (C)(3,5)           (D)(2,4)

(4)已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是         【    】

(A)若，则            (B)若，则

(C)若，则          (B)若，则

(5)将函数y=sin的图象按向量a平移后所得的图象关于点中心对称，则向量a的坐标可能为                                                                        【    】

(A)          (B)             (C)       (D) 

(6)设,则中奇数的个数为                        【    】

(A)2                (B)3               (C)4             (D)5

(7)是方程至少有一个负数根的                                    【    】

(A)必要不充分条件                      (B)充分不必要条件

(C)充分必要条件                        (D)既不充分也不必要条件

(8)若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为    【    】

(A)                         (B) 

(C)                        (D) 

(9)在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于y轴对称，若，则的值为              【    】

(A)-e             （B）-              (C)e                  (D) 

(10)设两个正态分布N(μ1, σ21)(σ1 ＞0)和N(μ2, σ22)（σ2＞0）的密度函数图象如图所

示，则有                                                                           【    】

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(11)若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足,则有                                【    】

(A)                  (B) 

(C)                 (B) 

(12)12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是                                        【    】

(A)             (B)             (C)               (D) 

2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数   学（理  科）

第Ⅱ卷 （非选择题  共90分）

考生注意事项：请用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

（13）函数的定义域为             ．

（14）在数列中， ，，其中为常数，则的值为             ．

（15）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为             ．

（16）已知点在同一个球面上，平面，若，，则两点间的球间距离是             ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知函数．

（I）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程．

（II）求函数在区间上的值域．

（18）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，底面，为的中点，为的中点．

（I）证明：直线平面．

（II）求异面直线与所成角的大小．

（III）求点到平面的距离．

（19）（本小题满分12分）

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了株沙柳。各株沙柳的成活与否是相互的，成活率为，设为成活沙柳的株数，数学期望为3，标准差为。

（Ⅰ）求的值，并写出的分布列；

（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率。

（20）（本小题满分12分）

设函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间；

（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。

（21）（本小题满分13分）

设数列满足,其中为实数。

（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是,

(Ⅱ)设,证明：;

(Ⅲ)设,证明： 

(22)(本小题满分13分)

设椭圆过点，且左焦点为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足。证明：点Q总在某定直线上。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）答案祥解

一、选择题

(1).

【解析】.                                          

(2). 

【解析】. 

(3). 

【解析】.

(4). 

【解析】若，则可相交，平行、异面均可，错；若，则可平行，也可相交，错误；若，的位置关系决定的关系，也错误；若，则（线面垂直的性质定理），故选.

(5).

【解析】设，则平移后所得的函数为，图象关于点对称，从而有，解得（其中），故选.

(6).

【解析】，奇遇都是偶数，选. 

(7).

【解析】这一题是课本习题改编题，当，显然有，则有一负数根，具备充分性；反之若方程有一负数根，或或，得到，不具备必要性，因此选. 

(8). 

【解析】点在圆外，因此斜率必存在.设经过该点的直线方程为，所以有，解得   .从而选.

(9).

【解析】，在函数的图象上，从而点在的图象上，因此点在的图象上，故有，即，因而选. 

(10).

【解析】正态分布函数图象关于直线对称，而，其大小表示变量集中程度，值越大，数据分布越广，图象越胖；值越小，量越集中，图象越瘦，因此选. 

(11).

【解析】，在上为增函数，有；，，此选.

(12).

【解析】在后排选出2个人有种选法，分别插入到前排中去，有种方法，由乘法原理知共有种调整方案，选.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

（13）．

【解析】由，解得：，值域为.

（14）1.

【解析】，，从而

（15）.

【解析】作出可行域,如右图，则直线扫过的面积为

即可.

（16）.

【解析】、、

都是直角三角形，因此球心为的中点，

，又

则两点间的球间距离是.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）本题主要考察三角函数式的化简，三角函数图象与性质，区间上的三角函数的值域等.考察运算能力和推理能离，本小题满分12分.

【解析】（I）

∴周期.

由，得.

∴函数图象的对称轴方程为

（II）∵，∴.

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，取得最大值1；

又，

∴当时，取得最小值.

函数在上的值域为．

（18）本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、异面直线所成角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力.本小题满分12分.

【解析】（I）取的中点，连接、.

∵∥，∥

∴∥.

又∵∥，∴平面∥平面 

∴∥平面.

（II）∵∥，∴为异面直线与所成的角（或其补角）.

作于点，连接.

∵平面，∴.

∵，∴.

∵，∴，.

所以，异面直线与所成的角为.

（III）∵∥平面，所以点和点到平面的距离相等。

连接，过点作于点.

∵，∴平面，∴.

又∵，∴平面，线段的长就是点到平面的距离相等.

∵，，

∴.

所以，点到平面的距离为.

（19）本题考查二项分布的分布列、数学期望以及标准差的概念和计算，考查分析问题及解决实际问题的能列.本小题满分12分.

【解析】由题意知，服从二项分布，，.

（Ⅰ）由，，得：，从而.

的分布列为

（20）本题主要考查导数的概念和计算、利用导数研究函数的单调性、利用单调性求最值以及不等式的性质.本小题满分12分.

【解析】(Ⅰ).令，则.

列表如下：

（Ⅱ）在两边取对数，得：.

由于，所以………………………………①

由(Ⅰ)结果知，当时，.

为使①式对任意求成立，当且仅当，即为所求范围.

（21）本题主要考查等比数列的求和、数学归纳法、不等式的性质，综合运送知识分析问题和解决问题的能力.本小题满分13分.

【解析】

（Ⅰ）必要性：∵，又∵，∴，即.

充分性：设，对任意用数学归纳法证明.

当时，.

假设当时，则，且，.

由数学归纳法知，对任意成立.

(Ⅱ) 设，当时，，结论成立；

当时，∵，∴.

∵，由（Ⅰ）知，∴且，

∴，

∴.

(Ⅲ)设,当时，，结论成立；

当时，由(Ⅱ)知，

∴.

∴

.

 (22)本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、线段的定比分点等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力.本小题满分13分.

设椭圆过点，且左焦点为

；

（Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足。证明：点Q总在某定直线上。

【解析】（Ⅰ）由题意：，解得.

所求的求椭圆的方程.

（Ⅱ)方法一：设点，，由题设，、、、均不为0，且，又四点共线，可设，，于是

       ，…………………………………①

，…………………………………②

由于，在椭圆上，将①②分别带入的方程，整理得：

………………③

………………④

由④-③得   .

∵，∴.即点总在直线上.

方法二：设点，，由题设，、、、均不为0，记，则且.

又四点共线，从而，，于是：

，；

，.

从而……………①    ……………② 

又点在椭圆上，即

………………③

………………④

①+2②并结合③，④得，即点总在直线上.