例析求函数值域的方法

求函数的值域和求函数的最值紧密相关，是高中数学的重点和难点。常用的方法有：

一、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。

例1：求函数的值域。

解：∵，∴，

∴函数的值域为。

二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2：求函数（）的值域。

解：， 

∵，∴，∴ 

∴，∴ 

∴函数（）的值域为。

三、反函数法：利用原函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。（注：就是求反函数的第一步反解x的过程。）

例3：求函数的值域。

解：由解得，

∵，∴，∴ 

∴函数的值域为。

四、分离常数(变量)法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

分离常数:例4：求函数的值域。

解：∵，

∵，∴，

∴函数的值域为。

分离常数总结:y=≠

分离变量:例5:求的最小值

五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。

例6：求函数的值域。

解：令（），则，

∴

∵当，即时，，无最小值。

∴函数的值域为。

三角换元 例7：求的值域

解：令   

六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

例8：求函数的值域。

解：由变形得，

当时，此方程无解；

当时，∵，∴，

解得，又，∴ 

∴函数的值域为

七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例9：（1）求函数的值域。

解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，

∴函数在定义域上是增函数。

∴，

∴函数的值域为。

八、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例10：求函数的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得

，

∵，∴（，），

∴，∴，

∴函数的值域为

数形结合   

九、图像法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

例11：求函数的值域。

解：∵ ，

∴的图像如图所示，

由图像知：函数的值域为

十、基本不等式法

十一、导数法

十二、构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

　　例18：求函数的值域。

　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

　　解：原函数变形为

　　作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,

KC= 。

　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

　　∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。