北师大版八年级上册数学第一单元测试题含答案

一．选择题（共10小题，每小题3分）

1．如图，两个较大正方形的面积分别为225，2，则字母A所代表的正方形的面积为（）

A．4 B．8 C．16 D．

2．Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）

A．8 B．4 C．6 D．无法计算

3．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5 B．25 C．7 D．15

4．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）

A．13 B．8 C．25 D．

5．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）

A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）

A．4 B．3 C．5 D．4.5

7．△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．不能确定

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，C为斜边，a，b为直角边，a+b=14，c=10，则Rt△ABC面积为（）

A．24 B．36 C．48 D．60

9．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（）

A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8

10．如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）

A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm

二．选择题（共10小题，每小题3分）

11．如图，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则以AB为边长的正方形面积为．

12．等腰△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积为10，则BC=．

13．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为．

14．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为．

15．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍放入（填“能”或“不能”）．

16．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．

17．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为．

18．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=9，S2=4，S3=8，S4=10，则S=．

19．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为．

20．已知a、b、c是△ABC的三边长，若|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是．三．解答题（共10小题，每小题6分）

21．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．

22．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长．23．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？

24．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

25．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）26．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．

27．已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm，D是AC上的一点，且BD=16cm，CD=12cm．

（1）求证：BD⊥AC；

（2）求△ABC的面积．

28．如图是美国总统Garfield于16年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）29．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．

（1）填空：当t=时，△CBD是直角三角形；

（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．

30．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，截面是一个边长为12尺的正方形，在水池正有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？

2017年03月08日dxzxshuxue的初中数学组卷

参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2016秋•槐荫区期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225，2，则字母A所代表的正方形的面积为（）

A．4 B．8 C．16 D．

【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．

【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，

∴即PQ2=225，

∵正方形PRGF的面积为2，

∴PR2=2，

又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：

PR2=PQ2+QR2，

∴QR2=PR2﹣PQ2=2﹣225=，

则正方形QMNR的面积为．

故选D．

【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．

2．（2016春•沧州期末）Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A．8 B．4 C．6 D．无法计算

【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．

【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，

∴AB2+AC2=BC2，

∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．

故选A．

【点评】本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．

3．（2016春•赵县期末）已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）

A．5 B．25 C．7 D．15

【分析】本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．【解答】解：依题意得：x2﹣4=0，y2﹣3=0，

∴x=2，y=，

斜边长==，

所以正方形的面积=（）2=7．

故选C．

【点评】本题综合考查了勾股定理与非负数，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．

4．（2016春•石家庄期末）等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．

【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．

故选B．

【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．

5．（2016春•阿荣旗期末）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）

A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2

【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．

【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．

∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．

∴BE=9﹣AE，

根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．

解得AE=4．

∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．6．（2016春•潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）

A．4 B．3 C．5 D．4.5

【分析】根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，

∵△DAB的面积为10，DA=5，

∴DA•BC=10，

∴BC=4，

∴CD===3．

故选B．

【点评】此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的理解和掌握，此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长．

7．（2016春•谷城县期末）△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长是（）

A．42 B．32 C．42或32 D．不能确定

【分析】本题应分两种情况进行讨论：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【解答】解：此题应分两种情况说明：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，

在Rt△ACD中，

CD===5

∴BC=5+9=14

∴△ABC的周长为：15+13+14=42；

（2）当△ABC为钝角三角形时，

在Rt△ABD中，BD===9，

在Rt△ACD中，CD===5，

∴BC=9﹣5=4．

∴△ABC的周长为：15+13+4=32

∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．

综上所述，△ABC的周长是42或32．

故选：C．

【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．

8．（2016秋•宜宾期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，C为斜边，a，b为直角边，a+b=14，c=10，则Rt△ABC面积为（）

A．24 B．36 C．48 D．60

【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14，c=10，∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即（a+b）2﹣2ab=c2=100，

∴196﹣2ab=100，即ab=48，

则Rt△ABC的面积为ab=24．

故选：A．

【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

9．（2016秋•滕州市期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（）

A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8

【分析】首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．

【解答】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米，

∴BC==2.4（米），

∵梯子的顶部下滑0.4米，

∴BE=0.4米，

∴EC=BC﹣0.4=2米，

∴DC==1.5米．

∴梯子的底部向外滑出AD=1.5﹣0.7=0.8（米）．

故选：D．

【点评】此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

10．（2016春•安达市期末）如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如

果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）

A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm

【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，

则AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，

根据两点之间线段最短，AB′==10cm．

故选C．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．

二．选择题（共10小题）

11．（2016•岳池县模拟）如图，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则以AB为边长的正方形面积为25．

【分析】根据勾股定理求出AB，根据正方形的面积公式求出即可．

【解答】解：由勾股定理得：AB==5，

所以以AB为边长的正方形的面积为52=25，故答案为：25．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，能根据勾股定理求出AB的长是解此题的关键．

12．（2016•南岗区模拟）等腰△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积为10，则BC= 2或4．

【分析】作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可．

【解答】解：作CD⊥AB于D，

则∠ADC=∠BDC=90°，△ABC的面积=AB•CD=×5×CD=10，

解得：CD=4，

∴AD===3；

分两种情况：

①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：

BD=AB﹣AD=2，

∴BC===2；

②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：

BD=AB+AD=8，

∴BD===4；

综上所述：BC的长为2或4；

故答案为：2或4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及勾股定理，解题的关键画出图形，分两种情况讨论．

13．（2016•道外区二模）已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为10或90．

【分析】根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况，然后根据勾股定理计算求解即可．

【解答】解：由题意可作图．

如图1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，

∴BD=1．

∴BC2=12+32=10．

如图2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，

∴BD=9，

∴BC2=92+32=90．

故答案是：10或90．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可．注意：需要分类讨论．

14．（2016•黄冈校级自主招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为25．

【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．

【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=13，

四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12

则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．

故答案是：25．

【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．

15．（2016•黔东南州一模）如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍能放入（填“能”或“不能”）．

【分析】在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．

【解答】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，

根据题意，得x2=502+402+302=5000，

702=4900，

因为4900＜5000，所以能放进去．

故答案是：能．【点评】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．

16．（2016•富阳市模拟）长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是

cm．

【分析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．【解答】解：如图所示，

路径一：AB==13；

路径二：AB==；

路径三：AB==；

∵＞13＞，∴cm为最短路径．

【点评】此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．

17．（2016秋•高新区期末）直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为．

【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边上的高．

【解答】解：设斜边长为c，高为h．

由勾股定理可得：c2=32+42，

则c=5，

直角三角形面积S=×3×4=×c×h

可得h=，

故答案为：．

【点评】本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长及利用面积法求直角三角形的高，是解此类题目常用的方法．

18．（2016春•建昌县期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=9，S2=4，S3=8，S4=10，则S=31．

【分析】利用勾股定理，根据图形得到S1+S2+S3+S4=S，求出即可．

【解答】解：∵所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，

∴S=S1+S2+S3+S4=9+4+8+10=31，

故答案为：31．

【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

19．（2016秋•槐荫区期末）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A 出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为2．

【分析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．

【解答】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，

AB==2，

故答案为：2．

【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，熟练求出AB的长是解本题的关键．

20．（2016秋•沈丘县期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，若|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是等腰直角三角形．

【分析】首先根据题意由非负数的性质可得：a﹣b=0，a2+b2﹣c2=0，进而得到a=b，a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．

【解答】解：∵|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|=0，

∴a﹣b=0，a2+b2﹣c2=0，

解得：a=b，a2+b2=c2，

∴△ABC是等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角三角形．

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．

三．选择题（共9小题）

21．（2016春•沧州期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．

【分析】连接AC ，在直角三角形ABC 中，由AB 及BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD 及CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD 为直角三角形，根据四边形ABCD 的面积=直角三角形ABC 的面积+直角三角形ACD 的面积，即可求出四边形的面积．

【解答】解：连接AC ，如图所示：

∵∠B=90°，

∴△ABC 为直角三角形，

又∵AB=3，BC=4，

∴根据勾股定理得：AC=

=5，

又∵CD=12，AD=13，

∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，

∴CD 2+AC 2=AD 2，

∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，

则S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =AB•BC +AC•CD=×3×4+×5×12=36．

故四边形ABCD 的面积是36．

22．（2016春•江西期末）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长．

【分析】本题应分两种情况进行讨论：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【解答】解：此题应分两种情况说明：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，

BD===9，

在Rt△ACD中，

CD===5

∴BC=5+9=14

∴△ABC的周长为：15+13+14=42；

（2）当△ABC为钝角三角形时，

在Rt△ABD中，BD===9．

在Rt△ACD中，CD===5

∴BC=9﹣5=4

∴△ABC的周长为：15+13+4=32

∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；

当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．【点评】在解本题时应分两种情况进行讨论，在求解过程中应注意防止漏解．

23．（2016春•漯河校级月考）如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？

【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

【解答】解：如图：

根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：

（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（3分）

（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（2分）（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；（2分）

综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．（1分）

【点评】将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．

24．（2016春•柳江县期末）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．

【解答】解：连接BD，

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，

在△CBD中，CD2=132，BC2=122，

而122+52=132，

即BC2+BD2=CD2，

∴∠DBC=90°，

S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=•AD•AB+DB•BC，

=×4×3+×12×5=36．

所以需费用36×200=7200（元）．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．

25．（2016春•自贡期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）

【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．

【解答】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；

据勾股定理可得：

（m）

∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；

∵72（km/h）＞70（km/h）；

∴这辆小汽车超速行驶．

答：这辆小汽车超速了．

【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．

26．（2016春•澄城县期末）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．

【分析】要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，首先要把两个点展开到一个平面内，然后分析展开图形中的数据，根据勾股定理即可求解．

【解答】解：将曲面沿AB展开，如图所示，过C作CE⊥AB于E，

在Rt△CEF中，∠CEF=90°，EF=18﹣1﹣1=16（cm），CE=×60=30（cm），

由勾股定理，得CF==34（cm）．

答：蜘蛛所走的最短路线是34cm．

【点评】由于蜘蛛与苍绳均属于玻璃容器的外侧，因而蜘蛛不能直接到达点F，需沿侧面爬行．为此，可将曲面沿AB展开，显然蜘蛛所走的最短的路线即为线段CF，从而可构造直角三角形，用勾股定理求出CF的长．

27．（2016春•云梦县期中）已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm，D是AC上的一点，且BD=16cm，CD=12cm．

（1）求证：BD⊥AC；

（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明BD⊥AC；（2）设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，在Rt△ABD中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AB，进一步得到AC，再利用AC和AC边上的高列式计算即可得解．【解答】（1）证明：∵122+162=202，

∴CD2+BD2=BC2，

∴△BDC是直角三角形，

∴BD⊥AC；

（2）解：设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，

∵AB=AC，

∴AB═（x+12 ）cm，

在Rt△ABD中：AB2=AD2+BD2，

∴（x+12）2=162+x2，

解得x=，

∴AC=+12=cm，

∴△ABC的面积S=BD•AC=×16×=cm2．

【点评】本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理的应用，熟记两个定理并判断出△BCD是直角三角形，然后求出AB的长是解题的关键．

28．（2016春•红安县期中）如图是美国总统Garfield于16年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）

【分析】此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．

【解答】证明：∵，

∴（a+b）（a+b）=2ab+c2，∴a2+2ab+b2=2ab+c2，

∴a2+b2=c2．

【点评】本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．

29．（2016秋•宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．

（1）填空：当t= 4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形；

（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．

【分析】（1）根据CD=速度×时间，得到CD，利用勾股定理列式求出AC，再分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；

（2）分①CD=BC时，CD=15；②CD=BD时，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质可求CD；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；依此解答．

【解答】解：（1）CD=2t，

∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，

∴AC==25，

AD=AC﹣CD=25﹣2t；

①∠CDB=90°时，S

=AC•BD=AB•BC，

△ABC

即×25BD=×20×15，

解得BD=12，∴CD==9，

t=9÷2=4.5；

②∠CBD=90°时，点D和点A重合，

t=25÷2=2.5．

综上所述，t=4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形

（2）①CD=BC时，CD=15，t=15÷2=7.5；

②CD=BD时，∠C=∠DBC，

∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，

∴∠A=∠DBA，

∴BD=AD，

∴CD=AD=AC=12.5，

∴t=12.5÷2=6.25；

③BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；

则CF=DF，

∵BF=12，

∴CF==9，

∴CD=2CF=9×2=18，

∴t=18÷2=9．

综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．

故答案为：4.5或12.5秒．

【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．四．解答题（共1小题）

30．（2016秋•泰兴市校级期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，截面是一个边长为12尺的正方形，在水池正有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？

【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可．【解答】．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+2）尺，

根据勾股定理得：x2+（）2=（x+2）2，

解得：x=8，

芦苇的长度=x+2=8+2=10（尺），

答：水池深8尺，芦苇长10尺．

【点评】本题考查勾股定理的应用．要善于观察题目的信息，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．