2011年南昌中考数学试题(含答案)

数学试题卷

说明：

1.本卷共有六个大题，26个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟.

   2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个正确选项.

1.下列各数中，最小的是（    ）.

A. 0      B. 1      C.－1       D. －

2.根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为4456万人.这个数据可以用科学计数法表示为（    ）.

A. 4.456×107人   B. 4.456×106人   C. 4456×104人     D. 4.456×103人

3.将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图是（   ）.

4.下列运算正确的是（   ）.

A.a+b=ab    B. a2·a3=a5   C.a2+2ab－b2=(a－b)2    D.3a－2a=1

5.下列各数中是无理数的是（   ）

  A.     B.      C.     D. 

6.把点A(－2,1)向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到B，点B的坐标是（  ）.

  A.(－5,3)     B.(1,3)    C.(1,－3)      D.(－5,－1) 

7.不等式8－2x＞0的解集在数轴上表示正确的是（  ）.

8. 已知一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是(    ).

A .－2      B.－1     C. 0      D. 2

9.已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是(     ).

  A .1         B.2        C.－2        D.－1

10.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（     ）.

A.BD=DC， AB=AC             B.∠ADB=∠ADC，BD=DC  

  C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD      D. ∠B=∠C，BD=DC 

11.下列函数中自变量x的取值范围是x＞1的是（    ）.

  A.   B.   C.  D. 

12.时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°.在运行过程中，时针与分针的夹角会随着时间的变化而变化.设时针与分针的夹角为y(度)，运行时间为t(分)，当时间从12︰00开始到12︰30止，y与 t之间的函数图象是（    ）.

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13.计算：－2－1=__________.

14.因式分解：x3-x=______________.

15.如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=__________度.

16.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，∠DAB =30°，有以下四个结论：①AF⊥BC  ②△ADG≌△ACF  ③O为BC的中点 ④AG︰DE=，其中正确结论的序号是              .

.

三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

17.先化简，再求值：，其中

18.解方程组： 

四、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

19.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛.

（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率.

20.如图，四边形ABCD为菱形,已知A(0,4)，B(－3,0).

（1）求点D的坐标；

（2）求经过点C的反比例函数解析式.

五、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）

21.有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm. 最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等.

（1）直接写出其余四个圆的直径长；

（2）求相邻两圆的间距.

22.如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）.

（1）求∠BAC的度数；

（2）求△ABC面积的最大值.

（参考数据： ，，.）

五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

23.图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形.当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF =34cm，AB=FE=5cm，∠ABC =∠FED =149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.

（参考数据：≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97.）

24.以下是某省2010年教育发展情况有关数据：

全省共有各级各类学校25000所，其中小学12500所，初中2000所，高中450所，其它学校10050所；全省共有在校学生995万人，其中小学440万人，初中200万人，高中75万人，其它280万人；全省共有在职教师48万人，其中小学20万人，初中12万人，高中5万人，其它11万人.

请将上述资料中的数据按下列步骤进行统计分析.

（1）整理数据：请设计一个统计表，将以上数据填入表格中.

（2）描述数据：下图是描述全省各级各类学校所数的扇形统计图，请将它补充完整.

（3）分析数据：

①分析统计表中的相关数据，小学、初中、高中三个学段的师生比，最小的是哪个学段？请直接写出.（师生比=在职教师数︰在校学生数）

②根据统计表中的相关数据，你还能从其它角度分析得出什么结论吗？（写出一个即可）

③从扇形统计图中，你得出什么结论？（写出一个即可）

六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

25.如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.

(1)当a=－1,b=1时，求抛物线n的解析式；

(2)四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；

(3)若四边形AC1A1C为矩形，请求出a,b应满足的关系式.

26.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.

活动一：

  如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：          .(填“能”或“不能”)

（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.

①=_________度；

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…） 求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.

活动二：

如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1.

数学思考：

（3）若已经摆放了3根小棒， 1 =_________， 2=________， 3=________；（用含的式子表示）

（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.

数学参

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1．D    2．A    3．C    　4．B   　5．C   　     6．B    

7．C    8．D　　9. C     10.　D    11.　A  　　 12.　A

二、填空题（本大题共４个小题，每小题3分，共12分）

13.    14.     15. 90   16. ①②③④

 说明：第16题填了1个或2个序号的得1分，填了3个序号的得2分．

三、（本大题共2个小题，每小题各5分，共10分） 

17．解：原式=.   ………………3分

        当时，

        原式=                 ………………5分

18. 

解：①－②,得，

        ∴.                                ………………2分

        把代入①得.                  ………………4分

        ∴                                ………………5分

  四、（本大题共2个小题，每小题各6分，共12分） 

 19．解：（1）方法一

画树状图如下：

         所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种.                    

∴P（恰好选中甲、乙两位同学）=.                   ………………4分

方法二

列表格如下：

∴P（恰好选中甲、乙两位同学）=.                  ………………4分

   （2） P（恰好选中乙同学）=.                 ………………6分

20．解：（1） ∵， ∴∴.

        在菱形中，, ∴,   ∴. ………………3分

（2）∵∥,  ，   ∴.

设经过点C的反比例函数解析式为.

        把代入中，得：，  ∴，∴.  …………6分

五、（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）

21．解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8cm, 2.6cm, 2.4cm, 2.2cm.  ………………2分

       （2）依题意得，，    ………………5分

           ∴，       ∴.                       ………………6分

     答：相邻两圆的间距为cm.         ………………7分

22．解：(1) 解法一

连接OB，OC，过O作OE⊥BC于点E.

           ∵OE⊥BC，BC=，

∴.   ………………1分

           在Rt△OBE中，OB=2，∵，

           ∴,  ∴，

           ∴.       ………………4分

解法二

连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD.

       ∵BD是直径，∴BD=4，.

       在Rt△DBC中，,

           ∴，∴.………………4分

(2) 解法一

因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处.       ………………5分

过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，则AB=AC，.

       在Rt△ABE中，∵，

       ∴，

           ∴S△ABC=. 

           答：△ABC面积的最大值是.          ………………7分

           解法二

因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处.    ………………5分

过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，则AB=AC.

∵,    ∴△ABC是等边三角形.        

在Rt△ABE中，∵，

∴，

            ∴S△ABC=.                

答：△ABC面积的最大值是.       ………………7分

六、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）.

23．解法一

连接OB，过点O作OG⊥BC于点G.         ………………1分

在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，

∴ tan∠ABO=，  ∴∠ABO=73.6°，………………3分

∴∠GBO=∠ABC－∠ABO=149°－73.6°=75.4°.    ………………4分

又 ∵，             ………………5分

∴在Rt△OBG中，

.        ……………7分

∴水桶提手合格.                                ……………8分

    解法二：连接OB，过点O作OG⊥BC于点G.    ……………1分

在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，

  ∴ tan∠ABO=，                  

 ∴∠ABO=73.6°.                          ………………3分

要使OG≥OA，只需∠OBC≥∠ABO，

∵∠OBC=∠ABC－∠ABO=149°－73.6°=75.4°＞73.6°，……7分

∴水桶提手合格.                         ………………8分

（说明：“合计”栏不列出来不扣分）            ……………3分

    （2）

                                            ……………5分

（3）①小学师生比=1︰22，

           初中师生比≈1︰16.7，

               高中师生比=1︰15，

          ∴小学学段的师生比最小.           ………6分

②如：小学在校学生数最多等.       ………7分

③如：高中学校所数偏少等.            ………8分

说明：（1）第①题若不求出各学段师生比不扣分；

（2）第②、③题叙述合理即给分.

七、（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）

25．解：（1）当时，抛物线的解析式为：.

            令，得：.     ∴C（0,1）.

     令，得：.    ∴A（-1,0），B（1,0）

     ∵C与C1关于点B中心对称，

         ∴抛物线的解析式为： ………4分

（2）四边形AC1A1C是平行四边形.               ………5分

  理由：∵C与C1、A与A1都关于点B中心对称，

        ∴,

                ∴四边形AC1A1C是平行四边形.         ………8分

（3）令，得：.     ∴C（0,）.

     令，得：,   ∴,

             ∴,                 ………9分

     ∴.

     要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足,

    ∴，    ∴，

    ∴.

           ∴应满足关系式.              ………10分

26.解: （１）能．                              ………………1分

      （２）① 22.5°.                           ………………2分

            ②方法一

∵A A1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，

              ∴A1A3=，AA3=.

              又∵A2A3⊥A3A4 ，∴A1A2∥A3A4.

同理：A3A4∥A5A6，

∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴AA3=A3A4，AA5=A5A6

              ∴a2=A3A4=AA3=，             ………………3分

                a3=AA3+ A3A5=a2+ A3A5.           

∵A3A5=a2，

              ∴a3=A5A6=AA5=.  ………………4分

方法二

∵A A1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，

              ∴A1A3=，AA3=.

              又∵A2A3⊥A3A4 ，∴A1A2∥A3A4.

同理：A3A4∥A5A6.

∴∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4 A6A5，

              ∴△A2A3A4∽△A4A5A6，

              ∴，∴a3=.    ………………4分

                                 ………………5分

（３）                           ………………6分

                                       ………………7分

                                   ………………8分

（４）由题意得: 

       ∴.                  ………………10分