2011高考数学天津卷

数学（文史类）

    本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

    答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

    1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

    2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

    如果事件A，B互斥，那么    棱柱的体积公式

        其中S表示棱柱的底面面积。

               表示棱柱的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．是虚数单位，复数=

    A．  　　　    B．  　　

　    C．  　　    D． 

是

2．设变量x，y满足约束条件则目标函数

的最大值为

    A．-4　　　　 　　    B．0           

    C．　　　　    D．4

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为-4，

则输出的值为

    A．0．5               B．1         

       C．2               D．4

4．设集合，，

    则“”是“”的

    A．充分而不必要条件　　　　 　　    B．必要而不充分条件

    C．充分必要条件　　　　　　　　     D．即不充分也不必要条件

5．已知则

    A．　　　    B．          C．　       D． 

6．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为

    A．    B．    C．    D． 

7．已知函数，其中的最小正周期为，且当时，取得最大值，则        

    A．在区间上是增函数    B．在区间上是增函数

    C．在区间上是减函数    D．在区间上是减函数

8．对实数，定义运算“”：设函数。若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是    （    ）

    A．        B． 

    C．        D．[-2，-1]

第Ⅱ卷

注意事项：

    1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

    2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知集合为整数集，则集合中所有元素的和等于________

10．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________

11．已知为等差数列，为其前项和，，

    若则的值为_______

12．已知，则的最小值为__________

13．如图已知圆中两条弦与相交于点，是延长

    线上一点，且

    若与圆相切，则的长为__________

14．已知直角梯形中， //, , ,

    是腰上的动点，则的最小值为____________

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

    编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；

（ii）求这2人得分之和大于50的概率．

16．（本小题满分13分）

在△中，内角的对边分别为，已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）的值．

17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为

    平行四边形，，，为中点，

    平面，，为中点．

（Ⅰ）证明： //平面；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．

18．（本小题满分13分）

    设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2。点满足

   （Ⅰ）求椭圆的离心率；

   （Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程。

19．（本小题满分14分）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．

20．（本小题满分14分）

    已知数列满足

   （Ⅰ）求的值；

   （Ⅱ）设，证明是等比数列；

   （Ⅲ）设为的前项和，证明

参

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分。

1—4ADCC    5—8BBAB

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分。

9．3    10．4    11．110    12．18    13．    14．5

三、解答题

（15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分13分。

   （Ⅰ）解：4，6，6

   （Ⅱ）（i）解：得分在区间内的运动员编号为从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：

，

    ，共15种。

   （ii）解：“从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有：，共5种。

    所以

（16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13分。

   （Ⅰ）解：由

    所以

   （Ⅱ）解：因为，所以

    所以

（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。

   （Ⅰ）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO。因为平面ACM，平面ACM，所以PB//平面ACM。

   （Ⅱ）证明：因为，且AD=AC=1，所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC。

   （Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，AN，因为M为PD的中点，所以MN//PO，且平面ABCD，得平面ABCD，所以是直线AM与平面ABCD所成的角，在中，，所以，从而，

    在，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为

（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。

   （Ⅰ）解：设，因为，

    所以，整理得（舍）

    或

   （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线FF2的方程为

    A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得。解得，得方程组的解

    不妨设，，

    所以

    于是

    圆心到直线PF2的距离

    因为，所以

    整理得，得（舍），或

    所以椭圆方程为

（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

   （Ⅰ）解：当时， 

    所以曲线在点处的切线方程为

   （Ⅱ）解：，令，解得

    因为，以下分两种情况讨论：

   （1）若变化时，的变化情况如下表：

   （2）若，当变化时，的变化情况如下表：

   （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：

   （1）当时，在（0，1）内单调递减，

    所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。

   （2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若

    所以内存在零点。

    若

    所以内存在零点。

    所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。

    综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。

（20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。

   （Ⅰ）解：由，可得

    又，

    当

    当

   （Ⅱ）证明：对任意

        ①

        ②

    ②-①，得

    所以是等比数列。

   （Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，

    故对任意

    由①得

    因此， 

    于是， 

    故