2018—2019学年(上)厦门市九年级质量检测数学试卷

厦门市九年级质量检测

数学

（试卷满分：150分考试时间：120分钟）

准考证号姓名座位号

注意事项：

1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．

2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．

3．可以直接使用2B铅笔作图．

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）

 1.计算－5＋6，结果正确的是

   A.1          B.－1          C.11          D.－11

 2.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，则下列结论正确的是

    A. AB＝AC＋BC              B.AB＝AC·BC

 C.AB2＝AC2＋BC2                   D.AC2＝AB2＋BC2 

 3.抛物线y＝2（x－1）2－6的对称轴是

 A.x＝－6     B.x＝－1       C.x＝        D.x＝1

 4.要使分式有意义，x的取值范围是

    A.x≠0       B.x≠1         C.x＞－1      D.x＞1

  5.下列事件是随机事件的是

  A.画一个三角形，其内角和是360°

  B.投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7

  C.射击运动员射击一次，命中靶心

  D.在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球

6.图2，图3分别是某厂六台机床十月份第一天和第二天生

 产零件数的统计图.与第一天相比，第二天六台机床生

 产零件数的平均数与方差的变化情况是

    A.平均数变大，方差不变

 B.平均数变小，方差不变

 C.平均数不变，方差变小    

 D.平均数不变，方差变大

 7.地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图4中的部分抛   

   物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是

 A.小球滑行6秒停止

 B.小球滑行12秒停止

 C.小球滑行6秒回到起点

 D.小球滑行12秒回到起点

 8.在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，0），B（1，－1），将线段OA绕点O逆时针旋转， 

   设旋转角为α（0°＜α＜135°）.记点A的对应点为A1，若点A1与点B的距离为，则

   α为

   A.30°            B.45°            C.60°            D.90°

 9.点C，D在线段AB上，若点C是线段AD的中点，2BD＞AD，则下列结论正确的是

 A.CD＜AD－BD       B.AB＞2BD         C.BD＞AD       D.BC＞AD

 10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过（0，1），（4，0）.当该二次函数的自

    变量分别取x1，x2（0＜x1＜x2＜4）时，对应的函数值为y1，y2，且y1＝y2.设该函数图象

    的对称轴是x＝m，则m的取值范围是

    A.0＜m＜1          B.1＜m≤2           C.2＜m＜4       D.0＜m＜4

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

11.投掷一枚质地均匀的正六面体骰子，投掷一次，朝上一面的点数为

奇数的概率是             .

12.已知x＝2是方程x2＋ax－2＝0的根，则a＝             .

13.如图5，已知AB是⊙O的直径，AB＝2，C，D是圆周上的点，

且∠CDB＝30°，则BC的长为               .

14.我们把三边长的比为3∶4∶5的三角形称为完全三角形.记命题A：

“完全三角形是直角三角形”.若命题B是命题A的逆命题，请写出命题B：

                            ；并写出一个例子（该例子能判断命题B是错误的）：

                                                                          .

15.已知AB是⊙O的弦，P为AB的中点，连接OA，OP，将△OPA绕点O逆时针旋转到△OQB. 设⊙O的半径为1，∠AOQ＝135°，则AQ的长为               .

16.若抛物线y＝x2＋bx（b＞2）上存在关于直线y＝x成轴对称的两个点，则b的取值范围

是                    .

三、解答题（本大题有9小题，共86分）

17.（本题满分8分）

解方程x2－3x＋1＝0.

18.（本题满分8分）

化简并求值：（1－）÷，其中x＝－1.

19.（本题满分8分）

已知二次函数y＝（x－1）2＋n，当x＝2时y＝2.求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象.

20.（本题满分8分）

   如图6，已知四边形ABCD为矩形.

  （1）请用直尺和圆规在边AD上作点E，使得EB＝EC；

       （保留作图痕迹）

  （2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝6，求EB的长.

21.（本题满分8分）

如图7，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝4.以AB为直径画⊙O，

交边AC于点D，的长为.求证：BC是⊙O的切线.

22.（本题满分10分）

   已知动点P在边长为1的正方形ABCD的内部，点P到边AD，AB的距离分别为m，n.

   （1）以A为原点，以边AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图8所示.当点P在对角线AC上，且m＝时，求点P的坐标；

   （2）如图9，当m，n满足什么条件时，点P在△DAB的内部？请说明理由.

  23.（本题满分10分）

      小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运  

      输过程中，有部分鱼未能存活.小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调 

      节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录.

      （1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）

      （2）按此市场调节的规律，

            若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；

            考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只能卖活鱼），且

              售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.

24.（本题满分12分）

已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点

A，B（不与P，Q重合），连接AP，BP. 若∠APQ＝∠BPQ，

（1）如图10，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；

（2）如图11，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P，M重合），连接ON，OP，若∠NOP＋2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.

25.（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（p，q）在直线l上，抛物线m经过点

B，C（p＋4，q），且它的顶点N在直线l上.

（1）若B（－2，1），

   请在图12的平面直角坐标系中画出直线l与抛物线m的

示意图；

   设抛物线m上的点Q的横坐标为e（－2≤e≤0），过点

Q作x轴的垂线，与直线l交于点H.若QH＝d，当d随

e的增大而增大时，求e的取值范围；

（2）抛物线m与y轴交于点F，当抛物线m与x轴有唯一

     交点时，判断△NOF的形状并说明理由.

2018—2019学年(上)厦门市九年级质量检测

数学参

说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

11..               12. －1.              13.1.      

14.直角三角形是完全三角形；如：等腰直角三角形，或三边分别为5,12,13的三角形，或三边比为5∶12∶13的三角形等.

15..            16.b＞3.

三、解答题（本大题有9小题，共86分）

17.（本题满分8分）

解：a＝1，b＝－3，c＝1.

△＝b2－4ac

＝5＞0.      ……………………………4分

方程有两个不相等的实数根

x＝

＝.            ……………………………6分

即x1＝，x2＝．      ……………………………8分

18.（本题满分8分）

解：（1－）÷

＝（）·    ……………………………2分

＝·      ……………………………5分

＝          ……………………………6分

当x＝－1时，原式＝＝         …………………………8分

19.（本题满分8分）

解：因为当x＝2时，y＝2.

所以 (2−1)＋n＝2.

解得n＝1.

所以二次函数的解析式为：y＝(x−1)＋1…………………4分

如图：

…………………8分

20.（本题满分8分）

（1）（本小题满分3分）

解：如图，点E即为所求.…………………3分

（2）（本小题满分5分）

解法一：

解：连接EB，EC，

由（1）得，EB＝EC.

∵  四边形ABCD是矩形，

∴  ∠A＝∠D＝90°，AB＝DC.

∴  △ABE≌△DCE.   …………………6分

∴  AE＝ED＝AD＝3.            …………………7分

在Rt△ABE中，EB＝.

∴  EB＝5.   …………………8分

解法二：

如图，设线段BC的中垂线l交BC于点F，

∴  ∠BFE＝90°，BF＝BC.

∵  四边形ABCD是矩形，

∴  ∠A＝∠ABF＝90°，AD＝BC.

在四边形ABFE中，∠A＝∠ABF＝∠BFE＝90°，

∴  四边形ABFE是矩形.     …………………6分

∴  EF＝AB＝4.     …………………7分

在Rt△BFE中，EB＝.

∴  EB＝5.        …………………8分

21.（本题满分8分）

    证明：如图，连接OD，

    ∵  AB是直径且AB＝4，

    ∴  r＝2.

    设∠AOD＝n°，

    ∵  的长为，

    ∴  ＝.       

    解得n＝120 .     

    即∠AOD＝120° .   ……………………………3分

    在⊙O中，DO＝AO，

    ∴  ∠A＝∠ADO.

    ∴  ∠A＝（180°－∠AOD）＝ 30°.  ……………………………5分

    ∵  ∠C＝60°，

    ∴  ∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°.   …………………………6分

    即AB⊥BC.     ……………………………7分

    又∵  AB为直径，

    ∴  BC是⊙O的切线.     ……………………………8分

22.（本题满分10分）

解（1）（本小题满分5分）

解法一：

如图，过点P作PF⊥y轴于F，

∵  点P到边AD的距离为m．

∴  PF＝m＝．

∴  点P的横坐标为．               …………………1分

由题得，C（1，1），可得直线AC的解析式为：y＝x．  …………………3分

当x＝时，y＝ ．            …………………4分

所以P（，）．    …………………5分

解法二：

如图，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，

∵  点P到边AD，AB的距离分别为m，n，

∴  PE＝n，PF＝m.     

∴  P（m，n）．   …………………1分

∵  四边形ABCD是正方形，

∴  AC平分∠DAB．   …………………2分

∵  点P在对角线AC上，

∴  m＝n＝．      …………………4分

∴  P（，）．            …………………5分

（2）（本小题满分5分）

解法一：如图，以A为原点，以边AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

则由（1）得P（m，n）．

若点P在△DAB的内部，

点P需满足的条件是：

在x轴上方，且在直线BD的下方；

在y轴右侧，且在直线BD的左侧.

由，设直线BD的解析式为：y＝kx＋b，

把点B（1，0），D（0，1）分别代入，

可得直线BD的解析式为：y＝－x+1．  ……………6分

当x＝m时，y＝－m+1．

由点P在直线BD的下方，可得n＜－m+1．   ……………7分

由点P在x轴上方，可得n＞0     ……………8分

即0＜n＜－m+1．              

同理，由可得0＜m＜－n+1．     ……………9分

所以m，n需满足的条件是：0＜n＜－m+1且0＜m＜－n+1．  ……………10分

解法二：如图，过点P作PE⊥AB轴于E，作PF⊥AD轴于F，

∵  点P到边AD，AB的距离分别为m，n，

∴  PE＝n，PF＝m.

在正方形ABCD中，∠ADB＝∠ADC＝45°，∠A＝90°.       

∴  ∠A＝∠PEA＝∠PFA＝90°.

∴  四边形PEAF为矩形.

∴  PE＝FA＝n.            ……………6分

若点P在△DAB的内部，

则延长FP交对角线BD于点M.

在Rt△DFM中，∠DMF＝90°－∠FDM＝45°.

∴  ∠DMF＝∠FDM.

∴  DF＝FM.

∵  PF＜FM，   

∴  PF＜DF                     ……………7分

∴  PE+ PF＝FA+ PF＜FA+ DF.

即m+ n＜1.                  ……………8分

又∵  m＞0， n＞0，

∴  m，n需满足的条件是m+n＜1且m＞0且n＞0.     ……………10分

23.（本题满分10分）

解：（1）（本小题满分2分）

   估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为1760公斤．……………2分

  （2）（本小题满分3分）

   根据表二的销售记录可知，活鱼的售价每增加1元，其日销售量就减少40公斤，所以按此变化规律可以估计当活鱼的售价定为52.5元/公斤时，日销售量为300公斤.……………………5分

（本小题满分5分）

解法一：由（2），若活鱼售价在50元/公斤的基础上，售价增加x元/公斤，则可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，

设批发店每日卖鱼的最大利润为w，由题得

w＝(50＋x－) (400－40x)    ……………………7分

＝－40x2＋400x

＝－40(x－5)2＋1000.          

由“在8天内卖完这批活鱼”，可得8 (400－40x)≤1760，解得x≤4.5.

根据实际意义，有400－40x≥0；解得x≤10.

所以x≤4.5.        ……………………9分

因为－40＜0，

所以当x＜5时，w随x的增大而增大，

所以售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元.……………………10分

解法二：设这8天活鱼的售价为x元/公斤，日销售量为y 公斤，根据活鱼的售价与日销售量之间的变化规律，不妨设y＝kx＋b.

由表二可知，当x＝50时，y＝400；当x＝51时，y＝360，

所以，

解得，

可得y＝－40x＋2400. 

设批发店每日卖鱼的最大利润为w，由题得

w＝(x－) (－40x＋2400)     ……………………7分

＝－40x2＋4400x－120000

＝－40(x－55)2＋1000.      

由“在8天内卖完这批活鱼”，可得8 (－40x＋2400)≤1760，解得x≤54.5.

根据实际意义，有－40x＋2400≥0；解得x≤60.

所以x≤54.5.      ……………………9分

因为－40＜0，

所以当x＜55时，w随x的增大而增大，

所以售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元.……………………10分

24.（本题满分12分）

（1）（本小题满分6分）

解：连接AB.

在⊙O中，

∵  ∠APQ＝∠BPQ＝45°，

∴   ∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝90°.…………1分

∴   AB是⊙O的直径.    ………………3分

∴   在Rt△APB中，AB＝

∴  AB＝3.          ………………5分

∴  ⊙O的半径是.       ………………6分

（2）（本小题满分6分）

解：AB∥ON.

证明：连接OA，OB，OQ，

在⊙O中，

∵  ＝，＝，

∴   ∠AOQ＝2∠APQ，∠BOQ＝2∠BPQ.

又∵  ∠APQ＝∠BPQ，

∴   ∠AOQ＝∠BOQ.            ……………7分

在△AOB中，OA＝OB，∠AOQ＝∠BOQ，

∴  OC⊥AB，即∠OCA＝90°.   ………………………8分

连接OQ，交AB于点C，

在⊙O中，OP＝OQ.    

∴  ∠OPN＝∠OQP.       

延长PO交⊙O于点R，则有2∠OPN＝∠QOR.

∵  ∠NOP＋2∠OPN＝90°，

又∵  ∠NOP＋∠NOQ＋∠QOR＝180°，

∴  ∠NOQ＝90°.          ………………………11分

∴  ∠NOQ＋∠OCA＝180°.

∴  AB∥ON.               ………………………12分

25.（本题满分14分）

（1）（本小题满分3分）

解：如图即为所求

…………………………3分

（本小题满分4分）

解：由可求得，直线l：y＝x＋2，抛物线m：y＝－x2＋2.……………5分

因为点Q在抛物线m上，过点Q且与x轴垂直的直线与l交于点H，

所以可设点Q的坐标为（e，－e2＋2），点H的坐标为（e，e＋2），其中（－2≤e≤0）.

当－2≤e≤0时，点Q总在点H的正上方，可得

d＝－e2＋2－(e＋2)  ……………6分

＝－e2－e   

＝－(e＋1)2＋. 

因为－＜0，

所以当d随e的增大而增大时，e的取值范围是－2≤e≤－1.……………7分

（2）（本小题满分7分）

解法一：

因为B（p，q），C（p＋4，q）在抛物线m上，

所以抛物线m的对称轴为x＝p＋2． 

又因为抛物线m与x轴只有一个交点，

可设顶点N（p＋2，0）．       

设抛物线的解析式为y＝a(x－p－2)2．

当x＝0时，yF＝a(p+2)2．

可得F（0，a(p+2)2）．          …………………9分

把B（p，q）代入y＝a(x－p－2)2，可得q＝a(p－p－2)2．

化简可得q＝4a  ．      

设直线l的解析式为y＝kx＋2，

分别把B（p，q），N（p＋2，0）代入y＝kx＋2，可得

q＝kp＋2  ，及0＝k（p＋2）＋2   ．      

由，，可得a＝ ．  

所以F（0，p＋2）．

又因为N（p＋2，0），  …………………13分

所以ON=OF，且∠NOF＝90°．

所以△NOF为等腰直角三角形．…………………14分

解法二：

因为直线过点A（0，2），

不妨设直线l：y＝kx＋2，

因为B（p，q），C（p＋4，q）在抛物线m上，

所以抛物线m的对称轴为x=p＋2．

又因为抛物线的顶点N在直线l：y＝kx＋2上，

可得N（p＋2，k（p＋2）＋2）．

所以抛物线m：y＝a (x－p－2)2＋k（p＋2）＋2.

当x＝0时，y＝a（p＋2）2＋k（p＋2）＋2．

即点F的坐标是（0，a（p＋2）2＋k（p＋2）＋2）． …………………9分

因为直线l，抛物线m经过点B（p，q），可得

，

可得k＝－2a.          

因为抛物线m与x轴有唯一交点，

可知关于x的方程kx＋2＝a (x－p－2)2＋k（p＋2）＋2中，△＝0．

结合k＝－2a，可得k(p＋2)＝－2.        

可得N（p＋2，0），F（0， p＋2）．   …………………13分

所以ON=OF，且∠NOF＝90°．

所以△NOF是等腰直角三角形.    …………………14分