2020-2021学年贵州省贵阳市八年级(下)期末数学试卷(解析版)

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.

1．不等式x≤2在数轴上表示正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

2．下列分式中，最简分式是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（　　）

A．五边形    B．六边形    C．七边形    D．八边形

4．如图，是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在板的中点处），则甲的体重m的取值范围是（　　）

A．0＜m＜45    B．45≤m＜60    C．45＜m＜60    D．45＜m≤60

5．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长是（　　）

A．4    B．    C．8    D．2

6．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集是（　　）

A．x＜﹣2    B．x＞﹣2    C．x＜0    D．x＞0

7．如图，在△ABC中，D是AB垂直平分线上一点，∠CAD＝80°，∠C＝50°，则∠B的度数是（　　）

A．25°    B．30°    C．40°    D．50°

8．若分式方程＝+1有增根，则k的值是（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

9．下列每组图形，不能镶嵌整个平面的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

10．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t表示移动的时间，若△POQ是等腰三角形，此时t的值是（　　）

A．6或12    B．4或12    C．4或6    D．6或8

二、填空题：每小题4分，共16分

11．因式分解：x2+2x+1＝　       　．

12．不等式组的整数解是 　    　．

13．某校航模小组进行航模训练，如图，A，B，C三只小船在平面直角坐标系中的坐标分别为（1，1），（﹣1，3），（﹣2，1），一段时间后，小船A到达A′（4，﹣1）的位置，为了保持队形不变，此时小船B所到达的位置B′的坐标是 　      　．

14．如图所示，点O为▱ABCD内一点，连接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面积为3，△ABO的面积为5，则阴影部分的面积是 　              　．

三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，本大题7小题，共54分

15．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．

16．在图①，图②的网格纸中，△ABC与△DEF的三个顶点都在格点上．

（1）在图①中，以点A为对称中心画一个与△ABC成中心对称的图形；

（2）在图②中，将△DEF绕着点D按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．

17．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，连接AC，E是AC的中点，连接DE延长交AB于点F．

（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；

（2）若BF＝FC，AB＝10，求四边形AFCD的周长．

18．阅读理解：小星在学习解不等式x2﹣4＞0时，他的解题过程如下：

第一步：先将不等式左边的多项式进行因式分解：

x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），

得到（x+2）（x﹣2）＞0．

第二步：∵两个多项式的乘积大于0，∴可以得到：

或．

第三步：解不等式组得：x＞2或x＜﹣2．

∴不等式x2﹣4＞0的解集为：x＞2或x＜﹣2．

问题解决：请根据上述解法，解不等式4x2﹣9＞0．

19．已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°．

（1）如图①，若∠B＝∠D＝90°，求证：AB+AD＝AC；

（2）如图②，若CB＝CD，AB+AD＝AC是否还成立？请说明理由．

20．为庆祝中国党建党100周年，某校开展“党史学习”活动，为给同学们提供学习资料，计划购买《中国党简史》和《论中国党历史》两种图书，已知《论中国党历史》的单价比《中国党简史》的单价多16元，且学校用1950元购买《中国党简史》的数量是用1050元购买《论中国党历史》的数量的三倍．

（1）求两本书的单价；

（2）为让更多同学参加学习活动，学校决定购进这两种书共200本，但总费用不超过7000元．求最多可购买《论中国党历史》的本数．

21．已知∠MAN＝90°，B是AN上的一点，线段AD是线段AB绕点A按逆时针旋转一定角度后的线段，连接BD，∠ABD的平分线交AM于点C，交AD于点E．

（1）如图①，若将AB绕点A按逆时针旋转40°，求∠ACB的度数；

（2）如图②，若将AB绕点A按逆时针旋转后使得AD⊥BC，垂足为E，判断△ABD的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下过点A作∠CAB的平分线交CB于点F，如图③所示，若CF＝4，求此时BC的长．

参

一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分

1．不等式x≤2在数轴上表示正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】把已知解集表示在数轴上即可．

解：不等式x≤2在数轴上表示为：

．

故选：B．

2．下列分式中，最简分式是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义：分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式，进而判断即可．

解：A、，故此选项不符合题意；

B、是最简分式，故此选项符合题意；

C、，故此选项不符合题意；

D、，故此选项不符合题意；

故选：B．

3．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（　　）

A．五边形    B．六边形    C．七边形    D．八边形

【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．

解：设这个多边形是n边形，

则（n﹣2）•180°＝900°，

解得：n＝7，

即这个多边形为七边形．

故选：C．

4．如图，是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在板的中点处），则甲的体重m的取值范围是（　　）

A．0＜m＜45    B．45≤m＜60    C．45＜m＜60    D．45＜m≤60

【分析】根据跷跷板示意图列出不等式，从而可得到答案．

解：∵甲的体重＞乙的体重，

∴m＞45，

∵甲的体重＜丙的体重，

∴m＜60．

∴45＜m＜60．

故选：C．

5．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长是（　　）

A．4    B．    C．8    D．2

【分析】根据平行四边形对角线互相平分，再根据勾股定理即可求出AD的长．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝5，

∵∠ADB＝90°，

∴AD＝＝＝4．

故选：A．

6．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集是（　　）

A．x＜﹣2    B．x＞﹣2    C．x＜0    D．x＞0

【分析】观察函数图象得到即可．

解：由图象可得：当x＞﹣2时，kx+b＞4，

所以不等式kx+b＞4的解集为x＞﹣2，

故选：B．

7．如图，在△ABC中，D是AB垂直平分线上一点，∠CAD＝80°，∠C＝50°，则∠B的度数是（　　）

A．25°    B．30°    C．40°    D．50°

【分析】根据三角形的内角和定理得到∠ADC＝50°，再根据线段垂直平分线的性质和三角形外角的性质解答即可．

解：∵∠CAD＝80°，∠C＝50°，

∴∠ADC＝50°，

∵AB的垂直平分线交BC于点D，

∴AD＝BD，

∴∠B＝∠BAD＝∠ADC＝25°．

故选：A．

8．若分式方程＝+1有增根，则k的值是（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

【分析】先把分式方程化为整式方程，再把x＝﹣1代入即可得出k的值．

解：∵，

∴1＝k+x+1 ①，

把增根x＝﹣1代入①，

得1＝k﹣1+1，

∴k＝1，

故选：B．

9．下列每组图形，不能镶嵌整个平面的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

解：A、2个三角形2个正六边形或4个三角形1个正六边形可以镶嵌．本选项不符合题意．

B、1个右边的图和4个左边的图，可以镶嵌．本选项不符合题意．

C、正方形的内角为90°，矩形的内角为90°，可以镶嵌．本选项不符合题意．

D、正方形与正六边形，不可以镶嵌．本选项符合题意．

故选：D．

10．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t表示移动的时间，若△POQ是等腰三角形，此时t的值是（　　）

A．6或12    B．4或12    C．4或6    D．6或8

【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．

解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，

设t时后△POQ是等腰三角形，

有OP＝OC﹣CP＝OQ，

即12﹣2t＝t，

解得，t＝4；

（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，

当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，

∴△POQ是等边三角形，

∴OP＝OQ，

即2（t﹣6）＝t，

解得，t＝12，

故选：B．

二、填空题：每小题4分，共16分

11．因式分解：x2+2x+1＝　（x+1）2　．

【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．

解：x2+2x+1＝（x+1）2,

故答案为：（x+1）2．

12．不等式组的整数解是 　0，1　．

【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数即可．

解：，

解不等式①得，x＞﹣1，

解不等式②得，x＜2，

所以，不等式组的解集是﹣1＜x＜2，

所以，整数解是0，1，

故答案为0，1．

13．某校航模小组进行航模训练，如图，A，B，C三只小船在平面直角坐标系中的坐标分别为（1，1），（﹣1，3），（﹣2，1），一段时间后，小船A到达A′（4，﹣1）的位置，为了保持队形不变，此时小船B所到达的位置B′的坐标是 　（2，1）　．

【分析】直接利用对应点A与A′坐标变化规律，得出小船B所到达的位置B′的坐标．

解：∵A（1，1），小船A到达A′（4，﹣1）的位置，

∴小船A到A′位置，横坐标加3，纵坐标减2，

∵B（﹣1，3），

∴小船B所到达的位置B′的坐标是 （2，1）．

故答案为：（2，1）．

14．如图所示，点O为▱ABCD内一点，连接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面积为3，△ABO的面积为5，则阴影部分的面积是 　5﹣3　．

【分析】设△COD的面积为x，根据平行四边形的面积＝2（S△AOB+S△COD）＝2S△BCD，列式整理即可得解．

解：∵▱ABCD的面积＝2（S△AOB+S△COD）＝2S△BCD，

设△COD的面积为x，

∵▱ABCD的面积＝2（5+x）＝2（S阴影△BOD+x+3），

∴阴影部分△BOD的面积＝5+x﹣x﹣3，

＝5﹣3，

故答案为：5﹣3．

三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，本大题7小题，共54分

15．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．

解：（﹣）÷

＝•

＝，

当a＝时，原式＝＝5．

16．在图①，图②的网格纸中，△ABC与△DEF的三个顶点都在格点上．

（1）在图①中，以点A为对称中心画一个与△ABC成中心对称的图形；

（2）在图②中，将△DEF绕着点D按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．

【分析】（1）根据旋转的性质即可以点A为对称中心画一个与△ABC成中心对称的图形；

（2）根据旋转的性质即可将△DEF绕着点D按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．

解：（1）如图①，△AB′C′即为所求；

（2）如图②，△DE′F′即为所求．

17．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，连接AC，E是AC的中点，连接DE延长交AB于点F．

（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；

（2）若BF＝FC，AB＝10，求四边形AFCD的周长．

【分析】（1）根据已知条件证明△AEF≌△CED可得AF＝CD，进而可以证明四边形AFCD是平行四边形；

（2）根据BF＝FC，AB＝10，可得AF+FC的值，进而即可求四边形AFCD的周长．

【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，

∴AE＝CE，

∵CD∥AB，

∴∠AFE＝∠CDE，

在△AEF和△CED中，

，

∴△AEF≌△CED（AAS），

∴AF＝CD，

∵CD∥AB，即AF∥CD，

∴四边形AFCD是平行四边形；

（2）∵BF＝FC，AB＝10，

∴AF+FC＝AF+BF＝AB＝10，

∴四边形AFCD的周长为：2（AF+FC）＝20．

18．阅读理解：小星在学习解不等式x2﹣4＞0时，他的解题过程如下：

第一步：先将不等式左边的多项式进行因式分解：

x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），

得到（x+2）（x﹣2）＞0．

第二步：∵两个多项式的乘积大于0，∴可以得到：

或．

第三步：解不等式组得：x＞2或x＜﹣2．

∴不等式x2﹣4＞0的解集为：x＞2或x＜﹣2．

问题解决：请根据上述解法，解不等式4x2﹣9＞0．

【分析】先运用平方差公式对不等式左边进行分解，从而得到不等式组，解不等式组即可得出结果．

解：∵4x2﹣9＞0，

∴（2x+3）（2x﹣3）＞0，

∴可得：，

解得：，

故不等式组的解集是：＜x＜；

，

解得：，

故不等式组无解；

故不等式4x2﹣9＞0的解集为：＜x＜．

19．已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°．

（1）如图①，若∠B＝∠D＝90°，求证：AB+AD＝AC；

（2）如图②，若CB＝CD，AB+AD＝AC是否还成立？请说明理由．

【分析】（1）因为AC平分∠DAB，∠DAB＝60°可得∠DAC＝∠BAC＝30°，∠B＝∠D＝90°，可得Rt△ADC和Rt△ABC中AD＝AB＝AC，进而可得AD+AB＝AC．

（2）过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，即可得到（1）的条件，证明△CFD和△BCE全等得到DF＝BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．

【解答】证明：（1）∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，

∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝30°，

∵∠B＝∠D＝90°，

∴BC＝CD＝AC，

∴AD＝AB＝＝AC，

∴AB+AD＝AC；

（2）成立，理由如下：

过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，

∴∠CFD＝∠CBE＝90°，

∵AC平分∠DAB，CF⊥AD，CE⊥AB，

∴CF＝CE，

在Rt△CFD和Rt△CEB中，

，

∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL），

∴FD＝BE，

由（1）知AF+AE＝AC，

∴AD﹣DF+AB+BE＝AC，

∴AD﹣BE+AB+BE＝AC，

∴AD+AB＝AC．

20．为庆祝中国党建党100周年，某校开展“党史学习”活动，为给同学们提供学习资料，计划购买《中国党简史》和《论中国党历史》两种图书，已知《论中国党历史》的单价比《中国党简史》的单价多16元，且学校用1950元购买《中国党简史》的数量是用1050元购买《论中国党历史》的数量的三倍．

（1）求两本书的单价；

（2）为让更多同学参加学习活动，学校决定购进这两种书共200本，但总费用不超过7000元．求最多可购买《论中国党历史》的本数．

【分析】（1）设每本《中国党简史》的价格是x元，则每本《论中国党历史》的价格是（x+16）元，根据数量＝总价÷单价，结合学校用1950元购买《中国党简史》的数量是用1050元购买《论中国党历史》的数量的三倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购买《论中国党历史》m本，则购买《中国党简史》的本数为（200﹣m）本，根据总费用不超过7000元，列出不等式求解即可．

解：（1）设每本《中国党简史》的价格是x元，则每本《论中国党历史》的价格是（x+16）元，

由题意得：，

＝，

8x＝208，

解得：x＝26，

经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，

此时，x+16＝26+16＝42，

∴每本《中国党简史》的价格是26元，每本《论中国党历史》的价格是42元；

（2）设购买《论中国党历史》m本，则购买《中国党简史》的本数为（200﹣m）本，

由题意，得26（200﹣m）+42m≤7000，

解得：m≤112.5，

∵m为正整数，

∴最多可购买《论中国党历史》112本．

21．已知∠MAN＝90°，B是AN上的一点，线段AD是线段AB绕点A按逆时针旋转一定角度后的线段，连接BD，∠ABD的平分线交AM于点C，交AD于点E．

（1）如图①，若将AB绕点A按逆时针旋转40°，求∠ACB的度数；

（2）如图②，若将AB绕点A按逆时针旋转后使得AD⊥BC，垂足为E，判断△ABD的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下过点A作∠CAB的平分线交CB于点F，如图③所示，若CF＝4，求此时BC的长．

【分析】（1）将AB绕点A按逆时针旋转40°得线段AD，得∠BAD＝40°，AB＝AD，从而∠ABC＝35°即可；

（2）易证△ABE≌△DBE（ASA），则AB＝BD，再根据旋转知AB＝AD，从而证明出△ABD是等边三角形；

（3）过点F作FH⊥AM于H，在Rt△CHF中，可求出CH，HF的长，因为AF平分∠MAN，得∠CAF＝45°，从而AH＝FH＝，可知AC的长，即可求出答案．

解：（1）∵将AB绕点A按逆时针旋转40°得线段AD，

∴∠BAD＝40°，AB＝AD，

∴∠ABD＝70°，

∵BC平分∠ABD，

∴∠ABC＝∠ABD＝35°，

∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣35°＝55°；

（2）△ABD是等边三角形，理由如下：

∵BC平分∠ABD，

∴∠ABE＝∠DBE，

∵AD⊥BC，

∴∠BEA＝∠BED，

在△ABE和△DBE中，

，

∴△ABE≌△DBE（ASA），

∴AB＝BD，

∵AB＝AD，

∴AB＝AD＝BD，

∴△ABD是等边三角形；

（3）如图，过点F作FH⊥AM于H，

∵△ABD是等边三角形，

∴∠ABC＝30°，

∴∠CFH＝30°，

∴CH＝＝2，HF＝，

∵AF平分∠MAN，

∴∠CAF＝45°，

∴AH＝FH＝，

∴AC＝CH+AH＝2+2，

∴BC＝2AC＝4+4．