不动点的性质与应用

一、不动点：

对于函数，我们把方程的解称为函数的不动点，即与图像交点的横坐标.

例1：求函数的不动点.

解：有一个不动点为

例2：求函数的不动点.

解：有两个不动点

二、稳定点：

对于函数，我们把方程的解称为函数的稳定点，即与图像交点的横坐标.

很显然，若为函数的不动点，则必为函数的稳定点.

证明：因为，所以，故也是函数的稳定点.

例3：求函数的稳定点.

解：设，令，解得

故函数有一个稳定点

【提问】有没有不是不动点的稳定点呢答：当然有

例4：求函数的稳定点.

解：令，则，

因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解

必有因式

可得另外两解，

故函数的稳定点是、，其中是稳定点，但不是不动点

下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.

由此可见，不动点是函数图像与直线的交点的横坐标，稳定点是函数图像与曲线图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.

由图1和图3，我们猜测命题：若函数单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.

证明：（1）若函数有不动点，即

，故也是函数的稳定点；

若函数有稳定点，即，

假设不是函数的不动点，即

①若f（x0）>x0，则 f（f（x0））>f（x0），即x0>f（x0）与f（x0）>x0矛盾，故不存在这种情况；

②若f（x0）综上，f（x0）=x0x0是f（x）的不动点．

（2）若函数无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；

若函数无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；

综上，若函数单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.

例5、对于函数f(x)，我们把使得f(x)=x成立的x称为函数f(x)的不动点。把使得f(f(x))=x成立的x称为函数的f(x)的稳定点，函数f(x)的不动点和稳定点构成集合分别记为A和B. 即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}，

（1）请证明：A⊆B；（2），且A=B≠∅，求实数a的取值范围.

解：（1）证明：若时，

若时，对任意的，有

综上，得

（2）  有解

  （x2-a）2-a=x有解x4-2ax2-x+a2-a=0

A⊆B  ∴即x4-2ax2-x+a2-a=0的左边有因式x2-x-a；

∴(x2-x-a)(x2+x-a+1)=0；

又A=B  ∴x2+x-a+1=0无实数根，或实数根是方程x2-x-a=0的根；

∴①若x2+x-a+1=0无实数根，则△=1-4（-a+1）<0

②若x2+x-a+1=0有实根，且实根是方程x2-x-a=0的根；

作差，得2x+1=0

综上，a的取值范围为

例6、已知函数，若存在，使得，则称为函数的不动点；若存在，使得，则称为函数的稳定点，则下列结论中正确的是_________(填上所有正确结论的序号).

①是函数的两个不动点；

②若为函数的不动点，则必为函数的稳定点；

③若为函数的稳定点，则必为函数的不动点；

④函数共有三个稳定点；

⑤的不动点与稳定点相同。

考点：[命题的真假判断与应用]

解：①解得：

故是函数有两个不动点，即①正确；

②若为函数y=f(x)的不动点，则，

此时，

则必为函数y=f(x)的稳定点，故②正确；

③若为函数y=f(x)的稳定点，则不一定为函数y=f(x)的不动点(见①④结论)，故③错误；

④解，

得x=或x=1或或

即函数共有四个稳定点，故④错误；

⑤因在定义域上为增函数，故它的不动点与稳定点相同。

故答案为：①②⑤

例7、设函数.若方程f(f(x))=x有解,则a的取值范围为(   )

  A.     B.       C.      D.[1,+∞)

解：法二：设f(x)=t,t⩾0,则方程f(f(x))=x等价为f(t)=x，

即，∴t=x，即f(x)=x，

∴在x⩾0时有解，∴

设

则，故选：A.

例8：已知，若在上单调．

（1）求的取值范围；

（2）已知，若设，且满足，求证：．

解：（1）法一：令，则

恒成立

（2）（证法一）设，由得，于是有

（1）－（2）得：，化简可得

，

，故，即有．

（证法二）假设，

①若f（x0）>x0，则 f（f（x0））>f（x0），即x0>f（x0）与f（x0）>x0矛盾，故不存在这种情况；

②若f（x0）综上，f（x0）=x0

例9：已知，且方程无实根。现有四个命题①方程也一定没有实数根；②若，则不等式对一切成立；③若，则必存在实数使不等式成立；④若，则不等式对一切成立。其中真命题的个数是（  C  ）

（A）1个  （B）2个  （C）3个   （D）4个

【提问】由以上例题我们还可以得到什么结论呢

【性质】

1、函数不动点构成的集合是不动点构成的集合的子集；

2、若函数在上单调递增，则不动点构成的集合与不动点构成的集合相等；

3、若有唯一不动点，则也有唯一不动点；

证明：

4、若函数是自反函数，则在内任何实数均是的不动点；

证明：

5、若函数不动点构成的集合是非无限集，则不动点构成的集合的元素个数与不动点构成的集合的元素个数同为偶数或同为奇数.

证明：

【课后练习】

1、对于函数，若，则称为函数的不动点；若，则称为函数的稳定点. 如果的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么的取值范围是（    ）

A、      B、        C、       D、

解：为函数的不动点，则方程，即有实根，

∴；

如果稳定点恰是它的不动点，则是方程的根，即

，

因为函数的稳定点恰是它的不动点，

所以若方程无实根；

②若方程有实根，且实根是方程的根，

作差，得2x+1=0

综上：，故选D

2、方程的根称为函数的不动点，若函数有唯一不动点，且，，，，，……，则——2008——.

3、对于函数,若满足,则称为函数的一阶不动点,若满足,则称为函数的二阶不动点，

（1）设f(x)=2x+3,求f(x)的二阶不动点。

（2）设,若f(x)在[0,1]上存在二阶不动点，求实数a的取值范围.

考点：[函数与方程的综合运用, 函数的值]

解：（1）若f(x)=2x+3,则f[f(x)]=2(2x+3)+3=4x+9，

由f[f(x)]=x,得4x+9=x,解得x=−3；

（2）函数在R上单调递增，

则由(2)可知,若f(x)在[0,1]上存在二阶不动点，

则f(x)在[0,1]上也必存在一阶不动点；

反之,若f(x)在[0,1]上存在一阶不动点,即，

那么,故f(x)在[0,1]上也存在二阶不动点.

所以函数f(x)在[0,1]上存在二阶不动点等价于f(x)=x在[0,1]上有解,

即方程在[0,1]上有解，

∴在[0,1]上有解 ∴a的取值范围是[−e,−1].    

4、已知函数 ，设函数

（1）求证:如果存在一个实数，满足 ，那么对一切都成立都成立；

（2）若实数满足，则称为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；

（3）设区间，对于任意，有，且时，. 试问是否存在区间,对于区间内任意实数，只要，都有.

解析:(1)证明: 当 n =1时，，显然成立；

设 n = k 时，有成立，

则，即 n = k +1时，命题成立.

∴对一切都成立都成立

（2）由（1）知，稳定不动点，只需满足

由，得或

∴稳定不动点为0和 .

（3）∵ f ( x )＜0，得或x＞1.

∴或

要使一切，都有，必须有或.

由 x ＜0或 x ＞1

由

故对于区间( )和(1,+∞)内的任意实数 x ,

只要，都有.

【真题】

（2012年北京东城一模文）对于函数f(x)，我们把使得f(x)=x成立的x成为函数f(x)的不动点，把使得f(f(x))=x成立的x成为函数的f(x)的稳定点，函数f(x)的不动点和稳定点构成集合分别记为A和B. 即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}，

(1)设函数f(x)=3x+4，求集合A和B；

(2)求证：A⊆B；

(3)设函数，且A=∅，求证：B=∅.

考点：[集合的包含关系判断及应用, 空集的定义、性质及运算、方程无解的证明]

解：(1)令f(x)=3x+4=x，

解得x=−2,故有A={−2}

由于f[f(x)]=3(3x+4)+4=9x+16，

令9x+16=x,得x=−2,故有B={−2}

(2)若A=∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，

设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t，

∴t∈B，故A⊆B.

(3)  无解或

时，则在上恒成立

时，则在上恒成立

综上，

（上海中学2015学年第一学期高一期终考试）

一、填空题/12、若实数满足，则称为函数的不动点，有下面三个命题：

（1）若是二次函数，且没有不动点，则函数也没有不动点；

（2）若是二次函数，则函数可能有4个不动点；

（3）若的不动点的个数是2，则的不动点的个数不可能是3.

它们中所有真命题的序号是______（1）、（2）、（3）_______.

三、解答题/5、对定义在上的函数和常数，若恒成立，则称为函数的一个“凯森数对”.

（1）若是的一个“凯森数对”，且，求；

（2）已知函数与的定义域都为，问它们是否存在“凯森数对”分别给出判断并说明理由；

（3）若是的一个“凯森数对”，且当时，，求在区间上的不动点个数（不动点的概念参考填空题第12题）.

解：（1）

（2）存在“凯森数对”

不存在“凯森数对”

（3）不动点个数为0

（杨浦区2016学年度第一学期高一年级期中质量调研）

21、（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分.    对于函数，称满足的为函数的“不动点”，称满足的为函数的“稳定点”.

（1）求函数的“不动点”；

（2）求函数的“稳定点”；

（3）已知函数有无数个“稳定点”，若且，

     求的取值范围（用表示）.

解：（1）0、1

（2）

（3）或时，则

时，则

（2017年全国中学生数学能力竞赛高一年级组决赛）17、对于函数f(x)，若f(x)=x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))=x，则称x为f(x)的“稳定点”。函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f(x)=x}，B={x|f(f(x))=x}.

(Ⅰ)求证：A⊆B；

(Ⅱ)若，且，求实数a的取值范围.

考点：[集合的包含关系判断及应用, 集合的相等, 函数单调性的性质]

解：(Ⅰ)若A=∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，

设t∈A，则f(t)=t，f(f(t))=f(t)=t，

∴t∈B，故A⊆B

(Ⅱ)  有解

  有解

A⊆B  ∴的左边有因式

∴；

又A=B  ∴无实数根，或实数根是方程的根；

①若无实数根，则

②若有实根，且实根是方程的根

得

∴a的取值范围为

【数列中的应用】

1、求线性递推数列的通项：

法四：不动点法构造等比数列

令为函数的不动点，递推公式两边同减不动点，

得

若，则；

若，则.

2、形如型 ：不动点法构造等比数列或线性递推数列

将均换成，得是函数的两个不动点

两边同减两个不动点，得

法一：构造等比数列/，得

是以为首项，为公比的等比数列

法二：构造线性递推数列

对或取倒数，得

或

数列或均为线性递推数列，可用线性递推数列的方法解决

【点评】数列递推公式两边同时减去不动点，起到整型的作用

例1、数列.

解：令   

法一：

/，得

法二： 

例2、数列中满足，求通项.

解：令，则

    ①当

②当

综上：