湖北省孝感高级中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题

数学试题 

考试时间：120分钟  分值：150分

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．若，则下列不等式成立的是（    ）

A．    B．     C．     D． 

2．已知，，则直线通过（    ）

A．第一、二、四象限               B．第一、二、三象限  

C．第一、三、四象限               D．第二、三、四象限

3．如果方程表示圆，那么的取值范围是（    ）

A．         B．             C．         D． 

4．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面：

① 若m⊥α，n∥α，则m⊥n；

② 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③ 若m∥α，n∥α，则m∥n；

④ 若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.

正确的命题是（    ）

A．①③     B．②③      C．①④     D．②④

5．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出

的S是（    ）

A．2              B．     

C．         D． 

6．的内角的对边分别为，，，，那么角等于

    （    ）

A．     B．或    C．      D． 

7．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（    ）

A．          

B．      

C．         

D．   

8．已知点和在直线的两侧，则直线倾斜角的取值范围是（   ）

A．      B．      C．       D． 

9．已知数列满足，若，则（    ）

A．2             B．-2             C．            D． 

10．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ）

A．        B．          C．         D． 

11．已知数列为等差数列，若，且它们的前项和有最大值，则使得的的最大值为（    ）

A．11           B．19             C．20             D．21

12．已知的三边长分别为，，，是边上的点，是平面外一点，给出下列四个命题：

若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；

若平面，且是边的中点，则有；

若，平面，则面积的最小值为；

若，平面,则三棱锥的外接球体积为；

其中正确命题的个数是（    ） 

A．1            B．2              C．3              D．4

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

13．已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.

14．设实数x，y满足约束条件则的最大值为      .

15．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．

16．若函数没有零点，则a的取值范围是________．

三、解答题（共6大题，共74分）

17．（本题满分12分）已知两直线和，试确定，的值，使（1）；（2），且在轴上的截距为-1.

18．（本题满分12分）已知的内角的对边分别为，且满足，.

（1）求的面积；

（2）若，求的值.

19．（本题满分12分）三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且，，，分别是，，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.    

20．（本题满分12分）某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2015年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

（1）将2015年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2015年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

21. （本题满分12分）如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于, 与圆相交于,两点，是中点. 

（1）当时，求直线的方程；

（2）设,试问是否为定值,若为定值，请求出的值；

若不为定值，请说明理由.

.

/

22. （本题满分14分）已知数列是首项为，公比的等比数列， 

，数列满足．

（1）求证：是等差数列；

（2）求数列的前项和；

（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．

高一数学期末考试参

一．选择题

13.           14.              15.             16. 

三．解答题

17.（1），，

解得，或                                  ……………6分

（2）由题得，解得                  ……………12分

18.（1），，             ……………2分

又，，                                ……………4分

，                         ……………6分

  （2）由余弦定理，，解得，                                       ……………12分

19.（1）(1)证明　取AB中点O，连接CO，DO，

∵DO∥AA1，DO＝AA1，∴DO∥CE，DO＝CE，

∴四边形DOCE为平行四边形，∴DE∥CO，DE⊄平面ABC，CO⊂平面ABC，

∴DE∥平面ABC.……………5分

（2）证明　等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，连接AF，∴AF⊥BC. ………6分

又∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，

∴AF⊥平面BB1C1C，∴AF⊥B1F， …………8分

设AB＝AA1＝1，∴B1F＝，EF＝，B1E＝，

∴B1F2＋EF2＝B1E2，∴B1F⊥EF，又AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.          ………12分

20. 解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，

∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－，                             ……………2分

每件产品的销售价格为1.5×(元)，

∴2015年的利润y＝1.5x×－8－16x－m

＝ ……………6分

(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，

∴y≤－8＋29＝21，

当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．

故该厂家2015年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元

                                                               ……………12分

21解: (1) 当直线与轴垂直时,易知P，Q的坐标为，，所以，故符合题意;                ……………1分

当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,所以，由,解得.

故直线的方程为或.               ………………5分

(2)当与轴垂直时,由（1）得, ,又,则,,即               ……………6分

当的斜率存在时,设P，Q，直线的方程为,代入圆的方程得                        ……………7分

则， ，即，，                                        ……………9分

又由，得，则…………11分

故

综上，的值为定值-5                                         ……………12分

22解.（1）由题意，，， ，，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列     ……………3分

（2）由（1）知，，， 

两式相减得

，， ……………9分

（3）,

  当时，；当时，，即

∴当时，, 取最大值是，又对一切正整数恒成立

，即，解得或    ……………14分