一轮复习同角三角函数基本关系式与诱导公式(教师版)

最新考纲　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导公式．

知 识 梳 理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tan α.

2．三角函数的诱导公式

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示

(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(×)

(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)

(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)

(4)若α≠kπ＋(k∈Z)，则cos2α＝.(√)

2．tan 300°＋sin 450°的值为(　　)

A．1＋　    B．1－

C．－1－　    D．－1＋

解析　tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋1＝1－.

答案　B

3．(2015·广州调研)已知sin＝，那么cos α＝(　　)

A．－　    B．－

C．　    D．

解析　∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.故选C．

答案　C

4．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)

A．－　    B．－

C．　    D．

解析　由平方关系，得cos α＝－＝－.

答案　B

5．已知tan θ ＝2，则sin θcos θ＝________.

解析　sin θcos θ＝＝＝＝.

答案　

考点一　同角三角函数基本关系式及应用

【例1】 (1)已知tan α＝2，则＝____________________________________________________.

(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2 θ＝(　　)

A．－　    B．　

C．－　    D．

解析　(1)＝＝＝－1.

(2)由于tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝＝＝.

答案　(1)－1　(2)D

规律方法　若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．

【训练1】 若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)

A．　    B．　

C．　    D．－2

解析　3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝

＝＝.

答案　A

【例2】 (1)(2014·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝，且＜θ＜，则cos θ－sin θ的值为________.

(2)已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝，则的值为(　　)

A．　    B．　

C．　    D．

解析　(1)当＜θ＜时，sin θ＞cos θ，

∴cos θ－sin θ＜0，

深度思考　第(2)小题有两种解法，其一结合平方关系解方程组求sin α与cos α；其二求cos α－sin α；你用到的哪一种？但作为选择题本题还可以根据已有的结论猜测sin α与cos α.

又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，

∴cos θ－sin θ＝－.

(2)　法一　联立

由①得，sin α＝－cos α，将其代入②，

整理得25cos2α－5cos α－12＝0.

因为－＜α＜0，

所以

于是＝＝.

法二　因为sin α＋cos α＝，

所以(sin α＋cos α)2＝2，可得2sin αcos α＝－.

而(cos α－sin α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1＋＝，又－＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，

所以cos α－sin α＝.于是

＝＝.

答案　(1)－　(2)C

规律方法　求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用．

【训练2】 已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)

A．－1　    B．－　

C．　    D．1

解析　法一　由

得：2cos2α＋2cos α＋1＝0，

即2＝0，∴cos α＝－.

又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan＝－1.

法二　因为sin α－cos α＝，

所以sin＝，所以sin＝1.

因为α∈(0，π)，所以α＝，所以tan α＝－1.

法三　因为sin α－cos α＝，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝，所以α＝，所以tan α＝－1.

答案　A

考点二　利用诱导公式化简三角函数式

【例3】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)

＝________.

(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.

解析　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°

＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)

＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°

＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.

(2)∵f(α)＝

＝＝＝，

∴f＝＝＝＝.

答案　(1)1　(2) 

规律方法　利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．

【训练3】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 0°)tan(－540°)＝________.

(2)化简：＝________.

解析　(1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·

sin 261°＋tan 1 0°·tan 540°

＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·

sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°)

＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180°

＝0＋0＝0.

(2)原式＝

＝＝＝－1.

答案　(1)0　(2)－1

 考点三　利用诱导公式求值

【例4】 (1)已知sin＝，则cos＝______.

(2)已知tan＝，则tan＝________.

解析　(1)∵＋＝，

∴cos＝cos＝sin＝.

(2)∵＋＝π，

∴tan＝－tan

＝－tan＝－.

答案　(1)　(2)－

规律方法　巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等．

【训练4】 (1)已知sin＝，则cos＝________.

(2)若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________.

解析　(1)cos＝cos＝cos

＝－cos，

而sin＝sin＝cos＝，

所以cos＝－.

(2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－，

所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝.

答案　(1)－　(2) 

[思想方法]

1．同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．

2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝….

[易错防范]

1．诱导公式的应用及注意事项

(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．

(2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似kπ±α的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．

2．化简三角函数应注意的几点

(1)化简不同名的三角函数的式子，解答此类问题的一般规律是利用“化弦法”，即把非正弦和非余弦的函数都化为正弦和余弦，以达到消元的目的．

(2)化简形如(A可化为形如a2的三角函数式)，这种问题是利用＝＝|a|(a是实数)化去根号．

(3)化简含有较高次数的三角函数式，此类问题多用因式分解、约分等．

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．＝(　　)

A．sin 2－cos 2　    B．sin 2＋cos 2

C．±(sin 2－cos 2)　    D．cos 2－sin 2

解析　＝

＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.

答案　A

2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)

A．－　    B．－

C．　    D．

解析　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.

答案　B

3．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α等于(　　)

A．－　    B．　

C．－　    D．

解析　因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝.

答案　D

4．(2014·肇庆模拟)已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝(　　)

A．　    B．－

C．　    D．－

解析　由已知sin＝，得cos α＝，∵α∈，∴sin α＝，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－.

答案　D

5．已知sin＝，则cos＝(　　)

A．　    B．－　

C．　    D．－

解析　∵cos＝sin

＝sin＝－sin＝－.

答案　D 

二、填空题

6．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________.

解析　∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝.

∴cos＝－sin A＝.

答案　

7．sinπ·cosπ·tan的值是________.

解析　原式＝sin·cos·tan

＝··

＝××(－)＝－.

答案　－

8．(2015·长沙一模)若cos(2π－α)＝，且α∈，则sin(π－α)＝________.

解析　由诱导公式可知cos(2π－α)＝cos α＝，sin(π－α)＝sin α，由sin2α＋cos2α＝1可得，sin α＝±，

∵α∈，∴sin α＝－.

答案　－

三、解答题

9．已知sin θ＝，＜θ＜π.

(1)求tan θ的值；

(2)求的值．

解　(1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝.

又＜θ＜π，∴cos θ＝－.∴tan θ＝＝－.

(2)由(1)知，＝＝－.

10．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.

(1)求sin Acos A的值；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；

(3)求tan A的值．

解　(1)∵sin A＋cos A＝，①

∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，

∴sin Acos A＝－，

(2)由sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π，

可知cos A＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．

(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，

又sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0，

∴sin A－cos A＝，②

∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，

∴tan A＝＝＝－.

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

11．若sin＝，则cos等于(　　)

A．－　    B．－

C．　    D．

解析　∵＋＝.

∴sin＝sin

＝cos＝.

则cos＝2cos2－1＝－.

答案　A

12．(2014·武汉模拟)已知α∈，sin α＋cos α＝－，则tan等于(　　)

A．7　    B．－7

C．　    D．－

解析　由sin α＋cos α＝－两边平方得1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－，∵＜α＜π，此时sin α＞0，cos α＜0，sin α－cos α＝＝＝＝，联立得

解得sin α＝，cos α＝－，∴tan α＝＝－，

∴tan＝＝＝，故选C．

答案　C

13．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.

解析　sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.

答案　

14．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos， cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

解　假设存在角α，β满足条件，

则由已知条件可得

由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.

∴sin2α＝，∴sin α＝±.

∵α∈，∴α＝±.

当α＝时，由②式知cos β＝，

又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；

当α＝－时，由②式知cos β＝，

又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．

∴存在α＝，β＝满足条件.