人教版七年级数学上册二次备课教学设计(含答案)：1.2有理数(5课时)

第1课时　有理数

1．理解有理数的概念，能够把给出的有理数按要求分类，了解0在有理数分类中的作用．

2．了解有理数的分类方法，体会分类讨论的数学思想．

把所给的有理数进行正确的分类．

各概念之间的关系．

　(设计者：　　　)

一、创设情景　明确目标

1．回顾：我们在小学里学过哪些数？请举例说明．

2．进入七年级，你又认识了哪些新的数呢？现在又将如何对这些数进行分类呢？

二、自主学习　指向目标

自学教材第6页，完成下列问题：

1．整数：__正整数__、__负整数__、__零__统称为整数．

2．所有正整数组成__正整数__集合，所有__负整数__组成负整数集合．

3．分数：__正分数__、__负分数__统称为分数．

4．有理数：__整数__和__分数__统称为有理数．

5．__正整数__、__负整数__、__零__、__正分数__、__负分数__都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数．

三、合作探究　达成目标

　有理数的概念

活动一：阅读教材第6页，相互交流思考下面的问题：

例1　把下列各数填在表示相应集合的大括号中：

＋6，－8，25，－0.4，0，－，9.15，1，7.9，200，0.5，－39，－9%

正整数集合{　　　　　　　…}；

负整数集合{　　　　　　　…}；

整数集合{　　　　　　　…}；

正分数集合{　　　　　　　…}；

负分数集合{　　　　　　　…}；

分数集合{　　　　　　　　　　　　…}．

【展示点评】正数是相对于负数而言的，而整数是相对于分数而言的；0既不是正数，也不是负数，它是整数；有限小数、无限循环小数和百分数都可化为分数，因此都属于分数．

【小组讨论】从例1中你发现：整数包括哪些数？分数包括哪些数？你在我们学过的数(圆周率π除外)中，能找到一个既不是整数又不是分数的数吗？为什么把整数和分数统称为有理数？

【反思小结】有理数就是指可以写成两个整数的比的数．例如：分数是3与4的比，所以是有理数；整数8可以看作是8与1的比，即：，所以8是有理数；1.5可以看作是3与2的比，即：，所以1.5也是有理数．

【针对训练】见“学生用书”．

　有理数的分类

活动二：结合例1说一说，有理数按定义可分为：

有理数

例2　把下列各数填在表示相应集合的大括号中：

＋3，－2，30，0.4，0，－，3.4，π，－1，60，0.5

正整数集合{　　　　　　　…}；

正分数集合{　　　　　　　…}；

正有理数集合{　　　　　　　…}；

负整数集合{　　　　　　　…}；

负分数集合{　　　　　　　…}；

负有理数集合{　　　　　　　…}；

【展示点评】要注意分类标准的选择要使分类对象不重不漏．

【小组讨论】从例2中你发现：正有理数包括哪些数？负有理数包括哪些数？你发现有一个数无家可归吗？它是谁？由此，你发现有理数还有另外一种分类的方法吗？

有理数

【反思小结】正整数，0，负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数和分娄统称为有理数．有理数还可以通过正有理数、负有理数和0来分类．

【针对训练】见“学生用书”．

四、总结梳理　内化目标

1．概念：有理数．

2．有理数的分类方法．

3．数学思想方法：分类讨论．

五、达标检测　反思目标

1．判断题：

①自然数是整数( √ )；

②有理数包括正有理数和负有理数( × )；

③零是自然数( √ )；

④正整数包括零和自然数( × )；

⑤正整数是自然数( × )；

⑥任何分数都是有理数( √ )；

⑦没有最大的有理数( √ )；

⑧有最小的有理数( × )．

2．在－，0，0.333，－1四个数中，有理数的个数为( D )

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4

3．把下面的有理数填入它所属于的集合的圈内：

15，－，－5，，－，0.1，0，－5.32，－80，123，2.333，0..

4．把下列各数分别填在相应集合中：

1，－0.20，325，－7，0，－23.13，0.618，－2014.

整数集合：{　1，325，－7，0，－2014　…}；

分数集合：{　－0.20，－23.13，0.618　…}；

正数集合：{　1，325，0.618　…}；

负数集合：{　－0.20，－7，－23.13，－2014　…}．

六、布置作业　巩固目标

课后作业　见“学生用书”．

第2课时　数　轴

1．了解数轴的概念，能准确画出数轴．

2．会用数轴上点表示有理数，能说出数轴上已知点表示的有理数，体验数形结合的思想方法，初步认识事物之间的联系性，体会数轴的三要素．

体会数轴的三要素，体会用数轴上的点表示数的合理性．

数轴的“三要素”与有理数中0，1以及数的符号的对应性．

　(设计者：　　　)

一、创设情境　明确目标

1．观察下面的温度计，读出温度，分别是______℃、______℃、______℃.

2．在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东20 m和50 m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西30 m和50 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境？

二、自主学习　指向目标

自学教材第7至9页，完成下列问题：

1．规定了__原点__、__正方向__和__单位长度__的直线叫数轴．

2．数轴的画法：先画一条__水平直线__，在直线上任取一点作__原点__，用数0表示；一般选取原点向右为__正方向__，并用箭头表示；根据需要，取适当的长度作__单位长度__．

3．任何一个有理数都可以用数轴上的一个__点__表示，正有理数都在原点的__右__边，负有理数都在原点的__左__边．

4．在数轴上表示－4的点在原点的__左__侧，与原点的距离是__4__个单位长度．

三、合作探究　达成目标

　数轴的意义和画法

活动一：阅读教材第7－8页，相互交流思考下面的问题：

1．什么是数轴？

2．画数轴的一般步骤是什么？

3．根据教科书中的实例，说一说原点起什么作用？

【展示点评】规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

数轴的画法步骤：(1)首先画一条直线(通常画成水平位置)；(2)在一条直线上任取一点，作为原点；通常取适中的位置，如果所需的数都是正数，可偏向左边；(3)确定正方向(一般规定向右为正)，画上箭头．(4)最后选取适当的长度为单位长度．原点表示数0，具有“分界”的作用．

【小组讨论】数轴的概念中包含哪些内容？关键是什么？

【反思小结】数轴的定义有三层含义(1)数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；(2)数轴有三要素：原点、正方向和单位长度；(3)原点位置的确定、单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向．

【针对训练】见“学生用书”．

　数轴上的点与有理数的关系

活动二：画出数轴并在数轴上表示下列有理数：

1．5，－2，2，－2.5，，－，0.

【展示点评】先画出数轴，然后根据单位长度将正数标在原点右侧相应位置，0标在原点处，负数标在原点左侧相应位置．

【小组讨论】结合例题说一说怎样在数轴上表示出给定的有理数？每个数到原点的距离是多少？由此你发现了什么规律？

【反思小结】一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的________边，与原点的距离是________个单位长度；表示数－a的点在原点的________边，与原点的距离是________个单位长度．数轴是数形结合的基础，能把数与直线联系起来，零用原点表示，它是正数和负数的分界点．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但反过来，不能说数轴上的点都表示有理数(还可表示无理数)．

【针对训练】见“学生用书”．

四、总结梳理　内化目标

1．概念：数轴．

2．数轴的“三要素”及作用．

3．方法：在数轴上表示一个有理数．

―→―→

五、达标检测　反思目标

1．一个点从数轴的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，这时它表示的数是( D )

A．2　　　　　　B．1　　　　　　C．－1　　　　　　D．－2

2．在数轴上表示－19的点与表示－10的点之间的距离是( C )

A．29  B．－29  C．9  D．－9

3．在数轴上，0和－1之间表示的点的个数有( D )

A．0个  B．1个  C．2个  D．无数个

4．如图所示，指出数轴上A，B，C，D，E各点表示什么数．

解：－3，－2，0，2，3.

5．小明的家门口(记为A)，他上学的学校门口(记为B)以及书店门口(记为C)依次坐落在一条东西向的大街上，A位于B西边300 m处，C位于B东边500 m处．小明从学校门口出发，沿这条街向东走400 m，接着又向西走了700 m到达D处，试用数轴表示上述A，B，C，D的位置．

解：

六、布置作业　巩固目标

课后作业　见“学生用书”．

第3课时　相反数

1．借助数轴理解相反数的概念，了解互为相反数在数轴上的位置关系．

2．能求出一个有理数的相反数．

3．会运用有理数相反数的意义简化多重符号．

1．借助数轴理解相反数的意义．

2．掌握求一个有理数的相反数的方法．

多重符号的数的化简．

　(设计者：　　　)

一、创设情境　明确目标

1．在数轴上分别找出表示下列各数的点：

2与－2，5与－5，－2.5与2.5

2．观察数2与－2，5与－5，－2.5与2.5有何特点？观察每组数所对应的两个点到原点的距离相等吗？

思考：(1)数轴上与原点的距离是2的点有________个，这些点表示的数是________．

(2)数轴上与原点的距离是5的点有________个，这些点表示的数是________．

二、自主学习　指向目标

自学教材第9至10页，完成下列问题：

1．数轴上与原点的距离是2的点有__2__个，这些点表示的数是__2和－2__，与原点的距离是5的点有__2__个，这些点表示的数是__5和－5__．

2．__只有符号不同的两个数__叫做互为相反数．

3．一般地a与__－a__互为相反数．

4．－2.5是__2.5__的相反数，__－__的相反数是，m与－m互为__相反数__．

5．0的相反数是__0__．

三、合作探究　达成目标

　相反数的概念

活动一：阅读教科书第9－10页的内容，回答下列问题：

例1　写出下列各数的相反数：

6，－8，－3.9，－，100，0.

【展示点评】根据数a的相反数是－a，直接写出结果．

【小组讨论】1.数a是一个正数，数轴上与原点的距离等于a的点有几个？它们之间有什么关系？

2．什么叫做相反数？在数轴上表示两个互为相反数的点到原点的距离有什么关系？因此，这两个点与原点的位置关系是怎样的？

3．在数轴上有两个点到原点的距离相等，那么这两个点表示的数有什么关系？

4．如果一个数是a，那么它的相反数如何表示？

【反思小结】(1)互为相反数的两个数分别在原点的________，且到原点的________相等，因此，在数轴上表示两个互为相反数的点关于________对称；

(2)一般地，数a的相反数是________；

(3)在一个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数如：－3是________的相反数，－a是________的相反数，因此，当a是负数时，－a是一个________．－(－3)是________的相反数，所以－(－3)＝________．

【针对训练】见“学生用书”．

　有理数符号的化简

活动二：阅读教材第10页“思考”及其下面一段话，相互交流思考下面的问题：

例2　①－(－7)表示什么意思？它的值等于多少？

②－(＋7)表示什么意思？它的值等于多少？

③－0表示什么意思？它的值等于多少？

④＋(－7)表示什么意思？它的值等于多少？

【展示点评】－a表示a的相反数，但是－a不一定是负数．当a是正数时，如第②小题中的a＝＋7，－a＝－7，即a是正数，－a是负数；当a＝0时，－a＝0，0的相反数是它本身；当a是负数时，如第①小题中的a＝－7时，－a＝－(－7)＝7，即a是负数，－a是正数．

【小组讨论】有多重符号的数如何化简？依据是什么？

【反思小结】在一个数的前面添上一个“－”号，这个数就成了原数的相反数，－a不一定是负数，应该分类讨论：当a为正数时，－a是负数；当a为0数时，－a是0；当a为负数时，－a是正数．

【针对训练】见“学生用书”．

四、总结梳理　内化目标

1．概念：相反数．

2．互为相反数的两数在数轴上的位置关系．

3．有多重符号的数的化简．

五、达标检测　反思目标

1．下列叙述正确的是( C )

A．符号不同的两个数是互为相反数

B．一个有理数的相反数一定是负有理数

C．2与2.75都是－的相反数

D．0没有相反数

2．填空：

(1)－1.6是__1.6__的相反数，__－2__的相反数是2.

(2)与__－__互为相反数．

(3)如果a＝－a，则表示a的点在数轴的__原点__．(什么位置)

(4)如果a＝－13，那么－a＝__13__；

(5)如果－a＝－5.4，那么a＝__5.4__；

(6)如果－x＝9，那么x＝__－9__．

3．在数轴上标出2、－4.5、0各数与它们的相反数．

解：

4．化简下列各数：

(1)－(－68)；　　　　(2)－(＋0.75)；

(3)－(－);  (4)＋(＋50)．

解：(1)68　(2)－0.75　(3)　(4)50

5．已知4－m与－1互为相反数，求m的值．

解：m＝3.

六、布置作业　巩固目标

课后作业　见“学生用书”．

第4课时　绝对值

1．了解绝对值的几何意义和代数意义．

2．了解绝对值的性质，会求一个数的绝对值．

会求一个数的绝对值．

理解绝对值的性质．

　(设计者：　　　)

一、创设情景　明确目标

正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定的质量(g)，用负数记不足规定的质量(g)：

－25，＋10，－20，＋30，＋15，－40.

请指出哪个足球的质量好一些，你的依据是什么？

二、自主学习　指向目标

自学教材第11页，完成下面问题：

1．一般地，__数轴__上表示数a的点与__原点__的距离叫做数a的绝对值，记作__|a|__．

2．绝对值的性质

(1)当a是正数时，|a|＝__a__；

(2)当a是负数时，|a|＝__－a__；

(3)当a是0时，|a|＝__0__；若|a|＝a，则a__≥__0；若|a|＝－a，则a__≤__0.

3．一个正数的绝对值是__正数__，一个负数的绝对值是__它的相反数__，0的绝对值是__0__．

4．|－5|在数轴上的表示的意义是表示__－5的点到原点的距离__．

三、合作探究　达成目标

　绝对值的概念

活动一：阅读教科书第11页的内容，相互交流思考下列问题：

1．在数轴上表示10和－10的点到原点的距离相等吗？举例说明一个数的绝对值用符号如何表示？

2．利用数轴说明∣－2∣表示的意义．

3．一个数的绝对值的大小与它和原点之间的距离有什么关系？

4．概念中的数a可以表示什么数？请举例说明．

【展示点评】数a的绝对值记作|a|，|a|表示数轴上数a处的点到原点的距离，距离原点越远的点表示的数的绝对值越大，反之越小．对于数a，它可以表示任何数．

【小组讨论】一个数的绝对值与它本身有什么关系？请用字母表示出来．

【反思小结】从数轴上看，一个数的绝对值表示它与原点之间的距离，离原点的距离越远，绝对值大；离原点的距离越近，绝对值小．由于距离总是正数或0，所以任何一个有理数的绝对值是一个非负数，即|a|≥0.当a是正数(即a>0)时，∣a∣＝________；当a是负数(即a<0)时，∣a∣＝________；当a＝0时，∣a∣＝________．(双重性)

【针对训练】见“学生用书”．

　求一个数的绝对值

活动二：例　求－5，0.8，0，－，7的绝对值．

【展示点评】正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

【小组讨论】求一个数的绝对值的一般方法是什么？

【反思小结】 求一个数的绝对值的方法：先判断这个数是正数、负数还是0，再由绝对值的意义来确定去掉绝对值符号后的结果．任何一个有理数的绝对值必为__________，绝对值等于本身的数是__________，绝对值等于它的相反数的数是________．

【针对训练】见“学生用书”．

四、总结梳理　内化目标

1．概念：绝对值．

2．一个数的绝对值的化简．

3．数学思想：分类讨论、数形结合．

绝对值

五、达标检测　反思目标

1．|－3.7|＝__3.7__；|0|＝__0__；－|＋0.75|＝__－0.75__；＝____；－＝__－__；＋＝____；|－10|＋|－5|＝__15__；|－6.5|－|－5.5|＝__1__．

2．__0__的相反数是它本身，__非负数__的绝对值是它本身，__非正数__的绝对值是它的相反数．

3．一个数的绝对值是正数，这个数一定是( D )

A．正数　　　　　　　　　　　　 B．非负数

C．任何数  D．以上都不是

4．给出下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等．其中正确的有( B )

A．0个　　　　　B．1个　　　　　C．2个　　　　　D．3个

5．绝对值不大于5.1的整数有( D )

A．8个  B．9个  C．10个  D．11个

6．|x|＝7，则x＝__±7__；|－x|＝7，则x＝__±7__.

六、布置作业　巩固目标

课后作业　见“学生用书”．

第5课时　有理数大小的比较

会比较任意两个有理数的大小．

会比较两个有理数的大小．

比较两个负分数的大小．

　(设计者：　　　)

一、创设情景　明确目标

1．说一说：某一天5个城市的最低气温

从图片中你获得了哪些信息？

比较这一天下列两个城市间最低气温的高低(填“高于”或“低于”)

广州________上海；北京________上海；北京________哈尔滨；武汉________哈尔滨；武汉________广州．

2．画一画：(1)把上述表示5个城市最低气温的数表示在数轴上；

(2)观察这5个数在数轴上的位置，从中你发现了什么？

(3)温度的高低与相应的数在数轴上的位置有什么关系？

二、自主学习　指向目标

自学教材第12至13页，完成下列问题：

1．数学中规定：在数轴上表示有理数，他们从左到右的顺序，就是从__小__到__大__的顺序，即左边的数小于__右边__的数，由这个规定可知：

－6__＜__－5；－5__＜__－4；－4＜__－3；

－2__＜__－1；－1__＜__0，0__＜__1.

2．(1)正数__＞__0，0__＞__负数，正数__＞负数；

(2)两个负数，绝对值大的反而__小__，绝对值小的反而__大__．

3．阅读教材第12页图1.2－7未来一周天气预报其中最低气温是__－3__摄氏度，最高气温是__9__摄氏度．

三、合作探究　达成目标

　有理数的大小比较

活动一：阅读教科书第12页的内容，相互交流思考下列问题：

1．图1.2－7中，最低和最高气温分别是多少？你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？

2．把这七天最低气温的数值在数轴上表示出来，它们在数轴上的位置有什么规律？

3．正数、负数和0这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数如何比较大小？

例1　比较下列各对数的大小

(1)－(－1)和－(＋2)；(2)－和－；

(3)－(－0.3)和.

【展示点评】异号两数比较大小，看符号(正负)；同号两数比较大小，看绝对值；0位于正、负数之间，0小于所有正数，但是大于所有负数．

【小组讨论】如何比较有理数的大小？

【反思小结】1.利用数轴比较；2.利用有理数大小的比较的法则；3.两个负数比较大小时的一般步骤：①求绝对值；②比较绝对值的大小；③比较负数的大小．

比较两数大小时，通常需判断数的符号和求数的绝对值．有时需先化简原数，但最后的结果在书写时一定是原来的两数．

【针对训练】见“学生用书”．

　有理数的大小比较的综合应用

活动二：有理数在数轴上对应的点如图所示，则a，－a，－1的大小关系是(　　)

A．－a＜a＜－1　　　B．－1＜－a＜a

C．a＜－1＜－a  D．a＜－a＜－1

【展示点评】从数轴上可以看出a在－1的左侧，所以a<－1.

【小组讨论】比较用字母表示的数的大小时，可用哪些方法？

【反思小结】学习了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

【针对训练】见“学生用书”．

四、总结梳理　内化目标

1．方法：有理数的大小比较．

2．数学思想：数形结合，分类讨论．

有理数的大小比较的方法

五、达标检测　反思目标

1．有没有最大的有理数，有没有最小的有理数，为什么？

解：既没有最大的有理数，也没有最小的有理数．

2．有没有绝对值最小的有理数？若有，请把它写出来．

解：绝对值最小的有理数是0.

3．等于－1.5且小于4.2的整数有__6__个，它们分别是__－1，0，1，2，3，4__．

4．比较下列每对数的大小，并说明理由：

(1)1与－10；(2)－0.001与0；(3)－8与＋2；(4)－与－；(5)－(＋)与－|－0.8|.

解：(1)1>－10　(2)－0.01<0　(3)－8<＋2　(4)－<－　(5)－(＋)>－|－0.8|

5．若a>0，b<0，a<|b|，你能比较a、b、－a、－b这四个数的大小吗？

解：b<－a六、布置作业　巩固目标

课后作业　见“学生用书”．