近世代数习题解答2

第二章  群论

1 群论

1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?

证  不是一个群,因为不适合结合律.

  2.  举一个有两个元的群的例子.

      证  对于普通乘法来说是一个群.

  3.   证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件

       来作群的定义:

  .  至少存在一个右单位元,能让  对于的任何元都成立

  .   对于的每一个元,在里至少存在一个右逆元能让     

       证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由     得

           因为由有元能使

           所以

           即   

          (2) 一个右恒等元一定也是一个左恒等元,意即

             由      得 

             即   

              这样就得到群的第二定义.

          (3) 证  可解

                取

              这就得到群的第一定义.

              反过来有群的定义得到是不困难的.

2 单位元,逆元,消去律

1.若群的每一个元都适合方程,那么就是交换群.

证  由条件知中的任一元等于它的逆元,因此对有.

2.在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.

证  (1) 先证的阶是则的阶也是.

若有  使  即因而    这与的阶是矛盾.的阶等于的阶

(2) 的阶大于, 则若    这与的阶大于矛盾

(3)      则  

总起来可知阶大于的元与双双出现,因此有限群里阶大于的元的个数一定是偶数

3.假定是个数一个阶是偶数的有限群,在里阶等于的元的

个数一定是奇数.

证  根据上题知,有限群里的元大于的个数是偶数;因此阶

的元的个数仍是偶数,但阶是的元只有单位元,所以阶

的元的个数一定是奇数.

4.一个有限群的每一个元的阶都是有限的.

证  

故 

由于是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:

                故 

是整数,因而的阶不超过它.

4 群的同态

  假定在两个群和的一个同态映射之下,，和的阶是不是一定相同?

  证  不一定相同

      例如 

      对普通乘法都作成群,且(这里是

的任意元,是的元)

由  可知  ∽

但的阶都是.

而的阶是.

5 变换群

1.假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元,使得?

证 我们的回答是回有的

:    1→1       1→1

2→1          2→3        

3→2          3→4

4→3          4→5

…            …

显然是一个非一一变换但  

2.假定是所有实数作成的集合.证明.所有的可以写成是有理数,形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群?

     证 (1)   

        是有理数      是关闭的.

(2)显然时候结合律

(3)     则  

(4)  

而所以构成变换群.

又:    

故因而不是交换群.

  3.  假定是一个集合的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号: 来说明一个变换.证明,我们可以用:来规定一个的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是的单位元.

       证      

       那么  

       显然也是的一个变换.

       现在证这个乘法适合结合律:

       故    

       再证还是的单位元

  4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。

      证 设是是变换群的单位元

       ，是变换群，故是一一变换，因此对集合

      的任意元，有的元，

      =

       另证  

      根据习题知

5.证明实数域上一切有逆的矩阵乘法来说，作成一个群。

证  ={实数域上一切有逆的矩阵}

  则是的逆

从而   

对矩阵乘法来说，当然适合结合律且（阶的单位阵） 是的单位元。

故  作成群。

  6 置换群

  1.  找出所有的不能和交换的元.

     证  不能和交换的元有   这是难验证的.

2.把的所有的元写成不相连的循环置换的乘积

解:的所有元用不相连的循环置换写出来是: 

(1), (12), (13), (23), (123), (132).

  3.  证明:

      (1)  两个不相连的循环置换可以交换

      (2)  

      证(1) =

 =(

      又   )=

      =,故

        (2),故.

3.证明一个K一循环置换的阶是K.

证  设

     …………

设,  那么　

5．证明的每一个元都可以写成这个２－循环置换

中的若干个乘积。

　　　证　根据定理２。的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积

　　  而我们又能证明

　　　同时有, 这样就得到所要证明的结论。

则

                         7 循环群

1．证明 一个循环群一定是交换群。

证   ， 

则

2．假设群的元的阶是，证明的阶是这里是和的最大公因子

证   因为  所以而 

3.假设生成一个阶是的循环群。

    证明也生成，假如(这就是说和互素)

  证生成一个阶是的循环群，可得生成元的阶是，这样利用上题即得所证，

或者，由于有

  即 

故

4 假定是循环群，并且与同态，证明也是循环群。

证 有2。4。定理1知也是群，

设    且(是同态满射)  

则存在使  因而∽

故   即    

因而即Ã=（ã）

 5．假设是无限阶的循环群，是任何循环群，证明与同态。

  证 ⅰ）设是无限阶的循环群，

             令

且

所以∽

ⅱ）设而的阶是。

令：      当且只当,

易 知是到的一个满射

设则

那么 

   ∽

8 子群

1．找出S3的所有子群

   证S3={}的子群一定包含单位元。

   ⅰ）S3本身及只有单位元都是子群

   ⅱ）包含和一个2一循环的集合一定是子群因

={}， ={}， ={}亦为三个子群

ⅲ）包含及两个3—循环置换的集合是一个子群

，  ={}是子群，有以上6个子群，

今证只有这6个子群，

ⅳ）包含及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因不属于此集合

ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群

因

ⅵ)一个集合若出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子群

 因

ⅶ）3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群

 因若出现     则

故有且只有6个子群。

  2.证明；群的两个子群的交集也是的子群。

证是的两个子群， 

显然非空     则   同时

因是子群，故，同时

所以

故是的子群

  3．取的子集，生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群？

证  

       从而  

群的两个不同的子集会生成相同的子群

生成的子群为{}

  生成的子群为{}

 4．证明，循环群的子群也是循环群。

证 =（）是循环群，是的子群

设，而时。

任意   则因而 

因，所以是循环群.

 5. 找出模12的剩余类加群的所有子群

证 剩余类加群是循环群故其子群是循环群.

={}

(ⅰ) 

(ⅱ)  

(ⅲ)即

(ⅳ)  即

(ⅴ)即

(ⅵ) ([6])        即

有且只有以上6个 子群.

  6.假定是群的一个非空子集,并且的每一个元的阶都有限,证明,作成子群的充要条件:推出 

    证  必要性  显然

充分性推出,(*)所以只证推出即可. 

,的阶有限  设为

  即  

所以

由(*) 可知,因而

这样作成的子群.

9 子群的陪群

1.  证明阶是素数的群一定是循环群

证：设群的阶是素数,

则可找到而, 则的阶,

根据定理3知, 但是素数,故, 

那么是的个不同元,所以恰是的不同元,故.

2.  证明阶是的群(是素数)一定包含一个阶是的子群.

证：设阶是的群为,是正整数, 可取, 而,

根据定理3,的阶是而, 进一步可得的阶为.

是阶为的的子群.

3.  假定和是一个群的两个元,并且,又假定的阶是，

的阶是并且.证明:的阶是

证  .

设

则

故   

故又    

因此的阶是.

4.假定~是一个群的元间的一个等价关系,并且对于的任意三个元来说,证明与的单位元等价的元所作成的集合为

证 由于~是等价关系,故有即,则

因而

由题设可得

由对称律及推移律得

再由题设得

即      

这就证明了是的一个子群.

5.我们直接下右陪集的定义如下:刚好包含的可以写成

的每一个元属于而且只属于一个右陪集

.     证  任取则

这就是说,的每一个元的确属于一个右陪集

若则

则,因而

           故Ha=Hb

这就证明了,的每一个元只属于一个右陪集.

6.  若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是的群,

它们都是交换群.

        证  设是阶为的群.那么的元的阶只能是

        1．若有一个元的阶为,则为循环群;

        2.  若有一个元的阶为,则除单位元外,其他二元的阶亦均未.

        就同构的观点看阶为的群,只有两个; 由下表看出这样的群的确

存在.     循环群                         

  循环群是交换群，由乘法表看出是交换群

10 不变子群、商群

1.  假定群的不变子群的阶是,证明,的中心包含.

证  设

是不变子群,对于任意有

若       则，   矛盾

      则       即是中心元.

又  是中心元显然.

故的中心包含.

2.  证明,两个不变子群的交集还是不变子群令  

证  ,则是的子群.

及， 

故是不变子群.

3.  证明:指数是的子群一定是不变子群.

证  设群的指数是

则的右陪集为

的左陪集为

由      易知 

因此不论是否属于均有

4.  假定是的子群,是的不变子群,证明是的子群。

    证  任取 

至于HN非空是显然的

!HN是G的子群.

5.  列举证明,G的不变子群N的不变子群1未必是G的不变子群(取G=!)

    证  取

易知N是G的子群,是N的子群

我们说N是G的不变子群,这是因为

此即说明

因为N是阶为4的群,所以为交换群,故其子群是不变子群.

但却不是G的不变子群,原因是:

    6.  一个群G的可以写成!形式的元叫做换位子.证明:

     i)所有的有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群;

     ii)G/C是交换群;

     iii)若N是G的一个不变子群,并且G/N是交换群,那么

证  i)显然是有限个换位子的乘积;

        故

(有限个换位子的乘积) (有限个换位子的乘积)=

有限个换位子的乘积,故C对G的乘法是闭的.

由于1是换位子,故(有限个换位子的乘积)的逆仍为(有限个换位子的乘积)即有故C是子群;

由    有

即     所以C是不变子群.

(ii) 、   

   就有

故1

因而

即

所以是交换子群;

(iii)因G/N是交换子群

就有 

因此  

又由于是子群,所以包含有限个换位子的乘积,

即.

11 同态与不变子群

1． 我们看一个集合到集合的满射,证明,若是的逆象,一定是的象;但若的的象,不一定是的逆象.

        证 ⅰ ) 在之下的象一定是;

若有的元在之下的象,则有两个不同的象,故矛盾

又的逆象是

两者合起来,即得所证

 ⅱ)设 

    令

在之下

但的逆象是 

2.  假定群与群同态,是的一个不变子群, 是的逆象.证明:

证  设是到的同态满射;

是到的同态满射.

规定

则是到的同态满射.

事实上, 

则

故

这就是说, 

现在证明同态满射的核是

则 

由于是的逆象      故  

因而

另一方面,若  

则(是的逆象)

        根据1定理2.

3． 假定和是两个有限循环群,它们的阶各是和证明与同态,当而且只当的时候

证 （ⅰ）  

令为同态满射的核心,的阶一定整除的阶

但

故  的阶一定整除的阶.即

      （ⅱ）

设  

令

在下   

而      

即

4． 假定是一个循环群,是的一个子群,.证明,也是循环群.

        证  设 

            则 

另证  是循环群,由习题1知:

G是交换群,又由!.例3知是是一个不变子群,由这一节定理1得

再由习题4知是循环群.