2008年高考北京文科数学

（北京卷）

数学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题  共40分）

注意事项：

    1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

    2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．若集合，，则集合等于（    ）

A．        B． 

C．            D． 

2．若，则（    ）

A．        B．        C．            D． 

3．“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（    ）

A．充分而不必要条件            B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                D．既不充分也不必要条件

4．已知中，，，，那么角等于（    ）

A．        B．        C．        D． 

5．函数的反函数为（    ）

A．        B． 

C．        D． 

6．若实数满足则的最小值是（    ）

A．0        B．        C．1        D．2

7．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（    ）

A．30        B．45        C．90        D．186

8．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（    ）

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文史类）（北京卷）

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．

9．若角的终边经过点，则的值为           ．

10．不等式的解集是           ．

11．已知向量与的夹角为，且，那么的值为           ．

12．的展开式中常数项为           ；各项系数之和为           ．（用数字作答）

13．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则           ；

函数在处的导数          ．

14．已知函数，对于上的任意，有如下条件：

①；    ②；    ③．

其中能使恒成立的条件序号是            ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题共13分）

已知函数（）的最小正周期为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

16．（本小题共14分）

如图，在三棱锥中，，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小．

17．（本小题共13分）

已知函数，且是奇函数．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间．

18．（本小题共13分）

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．

19．（本小题共14分）

已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．

（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；

（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

20．（本小题共13分）

数列满足，（），是常数．

（Ⅰ）当时，求及的值；

（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文史类）（北京卷）参

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．D    2．A    3．A    4．C    5．B    6．A    7．C    8．B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．            10．        11．        12．10    32        

13．            14．② 

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（共13分）

解：（Ⅰ） 

．

因为函数的最小正周期为，且，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

因为，

所以，

所以．

因此，即的取值范围为．

16．（共14分）

解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ），，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小为．

解法二：

（Ⅰ），，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．

设．

，

，．

取中点，连结．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小为．

17．（共13分）

解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，

所以，对任意的，，即．

又

所以．

所以

解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

所以．

当时，由得．

变化时，的变化情况如下表：

当时，，所以函数在上单调递增．

18．（共13分）

解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，

即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．

（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．

19．（共14分）

解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．

设两点坐标分别为．

由得．

所以．

又因为边上的高等于原点到直线的距离．

所以，．

（Ⅱ）设所在直线的方程为，

由得．

因为在椭圆上，

所以．

设两点坐标分别为，

则，，

所以．

又因为的长等于点到直线的距离，即．

所以．

所以当时，边最长，（这时）

此时所在直线的方程为．

20．（共13分）

解：（Ⅰ）由于，且．

所以当时，得，

故．

从而．

（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：

由，得

，，．

若存在，使为等差数列，则，即，

解得．

于是，．

这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．

（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，．

所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．

因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，

记，则满足

．

故的取值范围是．