《复变函数与积分变换》考试试卷A及答案

装         订         线         内         不         准         答         题

考试时间： 类型：闭卷  时间：120分钟  总分：100分 专业：信工

一、填空题（）

1、幂级数的敛散性是____________（绝对收敛、条件收敛、发散）。   

2、的三角形式____________________。

3、z=0是f(z)=[ln(l+z)]/z的奇点，其类型为_____

4、。

5、为函数的_____阶极点；在该点处的留数为_____

6、。

7、。

8、。 

二、选择题 （）

１、不等式所表示的区域为（ ）

A.角形区域         B.圆环内部

C.圆的内部        D.椭圆内部

2. 复数  的辐角主值 

(A)  2 ;  ;

3. 设v(x，y)=eaxsiny是调和函数，则常数a可以取下列哪个值（   ）

（A）0       （B）1

（C）2        （D）3

4.  是函数 的 (    )

  (A) 本性奇点;一级极点;  零点 可去奇点

５、下列积分值不为零的是 (         )

A、　 B、 　　　 C、　D、

三、解答题（共７题，共计61分）

　　１、（８分）已知f(z)=u+iv是解析函数，且v=2xy、f(1)=2， 求f(z)

２、（1）（8分）计算积分(1)　

(2)(6分)

３、（８分）设f(z)=x 3 – 3xy 2 + i(3x 2y – y 3)，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.

４、(10分) （1）将函数在圆环内展开为Laurent级数。（2）求函数在处的泰勒级数。

５、(6分)求Ｆ（Ｓ）＝的拉普拉斯逆变换。

６、. (８分) 求的解

７、（７分）设，求的卷积

院系：                        专业班级：                       姓名：                      学号：                    

装         订         线         内         不         准         答         题

考试时间： 类型：闭卷  时间：120分钟  总分：100分 专业：信工

一、填空题（）

1、幂级数的敛散性是______发散______（绝对收敛、条件收敛、发散）。   

2、的三角形式____________________。

3、z=0是f(z)=[ln(l+z)]/z的奇点，其类型为___可去奇点__

4、。

5、为函数的___7__阶极点；在该点处的留数为_0____

6、。

7、。

8、1。 

二、选择题 （）

１、不等式所表示的区域为（  A ）

A.角形区域         B.圆环内部

C.圆的内部        D.椭圆内部

2. 复数  的辐角主值 

(A)  2 ;  ;

3. 设v(x，y)=eaxsiny是调和函数，则常数a=（B）

（A）0       （B）1

（C）2        （D）3

4.  是函数 的 (  D  )

  (A) 本性奇点;一级极点;  零点 可去奇点

５、下列积分值不为零的是 (     D    )

A、　 B、 　　　 C、　D、

三、解答题（共７题，共计61分）

　　１、（８分）已知f(z)=u+iv是解析函数，且v=2xy、f(1)=2， 求f(z)

 解：==2z

      f(z)=z+c,c=1

２、（8分）计算积分(1)　

(2)(6分)

解：(1)Res[f(z),]=-

I=-Res[f(z),]=Res[f(),]=

(2)-、0、3都是函数的一阶级点，但是3不在积分闭曲线内，所以积分值可以用-、0的留数求出，Res[f（z）,0]=-1/3，Res[f（z）,-]=-2/7

所以I=

３、（８分）设f(z)=x 3 – 3xy 2 + i(x 2y – y 3)，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.

u(x，y) = x 3 – 3xy 2，v(x，y) = 3x 2y – y 3，

ux = 3x 2 – 3y 2， uy = – 6xy，vx = 6xy，vy = 3x 2 – 3y 2。

∴  ux，uy，vx，vy在C上连续且ux = vy，uy = – vx，从而所给出函数在整个复平面C上解析且

(x) = ux + ivx = (3x 2 – 3y 2) + i6xy = 3(x + iy) 2 = 3z 2。

另解：∵  w = (x + iy) 3 = z 3，

 ∴  w = f(x) = z 3在复平面C上解析且(z) = 3z 2。

４、(10分) （1）将函数在圆环内展开为Laurent级数。（2）求函数在处的泰勒级数。

５、(6分)求Ｆ（Ｓ）＝的拉普拉斯逆变换。

解：=

因此Ｆ（Ｓ）＝的拉普拉斯逆变换为

６、. (８分) 求的解

解：原方程等价于：

两边去拉氏变换：

取逆变换得

７、（７分）设，求的卷积

解：t<0时，