柯西不等式要点解读

作者：岳峻

来源：《青苹果·高二版》2016年第05期

        柯西不等式是由大数学家柯西发现的经典不等式，它不仅具有简洁、对称的数学美感，而且具有重要的应用价值。灵活巧妙地运用柯西不等式，可以使得一些较难解决的问题迎刃而解。

        如何破解柯西不等式应用的关键点呢？解题者应立足于已知信息和待求（证）式结构的特征，敏锐地捕捉到这些关键结构，并对这些结构进行分析，分析常量与变量之间的关系，加以思考、处理，灵活应对。

        一、二维形式的柯西不等式

        （1）若a、b、c、d都是实数，则（a +b ）（c +d ）≥（ac+bd） ，当且仅当ad=bc时，等号成立。

        （2）（向量形式）设α、β是两个平面向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立。

        （3）（三角不等式Ⅰ）若x 、y 、x 、y ∈R，

        则 + ≥ 。

        （4）（三角不等式Ⅱ）若x 、y 、x 、y 、x 、y ∈R，

        则 + ≥ 。

        例1 设a、b、m、n∈R，且a +b =5，ma+nb=5，则 的最小值为 。

        分析 二维形式的柯西不等式（a +b ）（c +d ）≥（ac+bd） 的左边是平方和的乘积的结构，而右边是对应之积的平方的结构，即（□ +○ ）（□ + ）≥（□ +○ ） ，已知信息a +b =5，ma+nb=5中的代数式ma+nb为乘积之和，具有柯西不等式右边代数式的结构，而已知信息中的代数式a +b 与待求最值的代数式 显然都含有平方和，具有柯西不等式左边两个代数式的结构，因此令□=a，○=b， =m， =n即可。

        解析 由柯西不等式得（a +b ）（m +n ）≥（ma+nb） ，

        当且仅当an=bm时，等号成立。

        所以m +n ≥ ，

        代入数据得m +n ≥ =5，

        故 的最小值为 。

        点评 在运用柯西不等式时，我们要着眼于已知信息与待解（证）式的结构特点，构造出柯西不等式的形式。

        例2 已知x、y∈R，3x +2y ≤6，求2x+y的最值。

        分析 二维形式的柯西不等式的结构特征是（□ +○ ）（ + ）≥（□ +○ ） ，代数式2x+y=2×x+1×y是积之和的结构，而3x +2y 可以改写为平方和的形式：（ x） +（ y） ，灵活运用柯西不等式便可达到解决问题的目的。

        解析 由柯西不等式可得：

        [（ x） +（ y） ] + ≥（ x）× +（ y）× ，

        即（3x +2y ） + ≥（2x+y） ，

        当且仅当3x=4y时，等号成立。

        因为3x +2y ≤6，

        所以（2x+y） ≤11，

        即- ≤2x+y≤ ，

        故2x+y的最大值是 ，最小值是- 。

        例3 求函数f（x）=3sinx+4 的最大值。

        解析 化简可得f（x）=3sinx+4 |cosx|，

        由柯西不等式可得：[3 +（4 ） ][sin x+（|cosx|） ]≥（3sinx+4 |cosx|） ，

        即41≥（3sinx+4 |cosx|） ，

        当且仅当 = 时，等号成立。

        故函数f（x）=3sinx+4 的最大值是 。

        点评 本例展示了柯西不等式的变形应用。柯西不等式是一个十分重要的解题工具，在应用时，我们要善于构造出柯西不等式的形式，配凑系数，合理变化关系式，并注意等号成立的条件。

        二、三维形式的柯西不等式

        （1）若a 、a 、a 、b 、b 、b 都是实数，则（a +a +a ）（b +b +b ）≥（a b +a b +a b ） ，当且仅当b =0（i=1，2，3）或存在实数k，使a =kb （i=1，2，3）时，等号成立。

        （2）（向量形式）设α、β是两个空间向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立。

        例4 设x、y、z∈R，若x-2y+z=4。

        （1）求x +y +z 的最小值。

        （2）求x +（y-1） +z 的最小值。

        解析 柯西不等式（a +a +a ）（b +b +b ）≥（a b +a b +a b ） 的左边是平方和的乘积的结构，而右边是对应之积的平方的结构，即（□ +○ +△ ）（ + +▲ ）≥（□ +○ +△▲） ，

        （1）已知信息x-2y+z=4中的x-2y+z可以视为乘积之和，

        即1×x+（-2）×y+1×z，具有柯西不等式右边代数式的结构，

        待求最值的代数式x +y +z 显然是平方和的结构，具有柯西不等式左边代数式之一的结构，

        因此，可令 =x， =y，▲=z，

        而已知信息x-2y+z=4中，x、y、z的系数分别为1、-2、1，

        相应的，令□=1，○=-2，△=1，

        所以，[1 +（-2） +1 ]（x +y +z ）≥[1×x+（-2）×y+1×z] ，

        当且仅当 = = 时，等号成立。

        即6（x +y +z ）≥（x-2y+z） =16，

        故x +y +z ≥ ，

        当且仅当x=z= ，y=- 时，等号成立。

        所以x +y +z 的最小值为 。

        （2）待求最值的代数式x +（y-1） +z 显然也是平方和的结构，具有柯西不等式左边代数式之一的结构，

        因此，可令 =x， =y-1，▲=z，

        而已知信息x-2y+z=4中，x、y、z的系数分别为1、-2、1，

        相应的，令□=1，○=-2，△=1，

        所以，[1 +（-2） +1 ][x +（y-1） +z ]≥[1×x+（-2）×（y-1）+1×z] ，

        当且仅当 = = 时，等号成立，

        即6[x +（y-1） +z ]≥（x-2y+z+2） =36，

        故x +（y-1） +z ≥6，

        当且仅当x=z=1，y=-1时，等号成立。

        所以x +（y-1） +z 的最小值为6。

        点评 我们在运用柯西不等式时，不仅要注意它的数学意义，还要注意它的外在形式。当一个代数式与柯西不等式的左边或右边具有一致的形式时，就可以考虑利用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大。

        例5 设a、b、c∈R 。

        （1）若a+b+c=9，则 + + 的最小值为 。

        （2）若a+2b+3c=2，则 + + 的最小值为 。

        解析 （1）由柯西不等式，得

        + + [（ ） +（ ） +（ ） ]≥（2+3+4） ，

        由于a+b+c=9，则 + + ≥9，

        当且仅当a=2，b=3，c=4时，等号成立，

        + + 的最小值为9。

        （2）由柯西不等式，得

        + + [（ ） +（ ） +（ ） ]≥（1+2+3） ，

        由于a+2b+3c=2，则 + + ≥18，

        当且仅当a=b=c= 时，等号成立，

        故 + + 的最小值为18。

        三、n维形式的柯西不等式

        若a 、a 、…、a 、b 、b 、…、b 都是实数，则 a b ≥ a b ，

        即（a +a +…+a ）（b +b +…+b ）≥（a b +a b +…+a b ） ，

        当且仅当b =0（i=1，2，…，n）或存在实数k，使a =kb （i=1，2，…，n）时，等号成立。

        例9 设实数y 、y 、…、y ∈R ，且y +y +…+y =1。

        证明：（1） + +…+ ≥n 。

        （2） + +…+ ≥ 。

        证明 （1） + +…+ y +y +…+y ≥（ ） ，

        即 + +…+ y +y +…+y ≥n ，

        因为y +y +…+y =1，

        所以 + +…+ ≥n 。

        （2） + +…+ [（ ） +（ ） +…+（ ） ]≥

        y +y +…+y ，

        即 + +…+ （y +y +…+y +n）≥1，

        因为y +y +…+y =1，

        所以 + +…+ ≥ 。