高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习:1-3-2命题的四...

一、选择题

1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

[答案]　B

[解析]　原命题和它的逆否命题为真．

2．(2009·重庆高考)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

[答案]　B

3．下列说法中，不正确的是(　　)

A．“若p则q”与“若q则p”是互逆命题

B．“若綈p则綈q”与“若q则p”是互否命题

C．“若綈p则綈q”与“若p则q”是互否命题

D．“若綈p则綈q”与“若q则p”是互为逆否命题

[答案]　B

[解析]　“若綈p则綈q”与“若q则p”互为逆否命题．

4．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中以下结论成立的是(　　)

A．都真              B．都假

C．否命题真          D．逆否命题真

[答案]　D

[解析]　原命题为真，则它的逆否命题为真．

5．如果命题p的否命题为r，命题r的逆命题是s，则s是p的逆命题t的(　　)

A．逆否命题　　　　　    B．逆命题

C．否命题                  D．原命题

[答案]　C

[解析]　不妨设p为“若m，则n”则r为“若綈m，则綈n，”则s为“若綈n则綈m”，p的逆命题为“若n则m”，∴s是p的逆命题t的否命题．

6．给定原命题：“若a2＋b2＝0，则a、b全为零”，下面正确的是(　　)

A．逆命题：若a、b全不为0，则a2＋b2＝0

B．否命题：若a2＋b2≠0，则a，b全为0

C．逆否命题：若a、b不全为0，则a2＋b2≠0

D．以上都不对

[答案]　C

[解析]　由四种命题的关系可得C.

7．如果x2＝1，则x＝1的否命题为(　　)

A．如果x2≠1，则x＝1

B．如果x2＝1，则x≠1

C．如果x2≠1，则x≠1

D．如果x≠1，则x2≠1

[答案]　C

[解析]　“若p则q”的否命题形式为“若綈p则綈q”．

8．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是(　　)

A．若ab≠0，则a≠0或b≠0

B．若a≠0或b≠0，则ab≠0

C．若ab≠0，则a≠0且b≠0

D．若a≠0且b≠0，则ab≠0

[答案]　D

[解析]　注意a＝0或b＝0的否定是a≠0且b≠0，故选D.

9．给出命题：如果函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)

A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0

[答案]　C

[解析]　易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题，否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题只有一个．

10．命题“如果函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　　)

A．如果loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．如果loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．如果loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

D．如果loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

[答案]　A

[解析]　根据逆否命题的定义，易得答案．

二、填空题

11．已知下列四个命题：

①a是正数；　②b是负数；

③a＋b是负数；　④ab是非正数．

选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的命题是____________________．

[答案]　若a是正数且a＋b是负数，则一定有b是负数．

逆否命题为真命题，即该命题为真，a是正数，且a＋b是负数，则b一定是负数，故填a是正数且a＋b是负数，则b一定是负数．

12．(2009·江苏南京4月考)以命题“如果2x2－3x－2＝0，则x＝－或x＝2”为原命题，在它的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定这四个命题中，有______个真命题，其中它的否定形式的逆命题是________．

[答案]　3　如果x≠－且x≠2，则2x2－3x－2＝0

[解析]　当2x2－3x－2＝0时(2x＋1)(x－2)＝0.

∴x＝－或x＝2，

∴原命题及其逆否命题是真命题．

反之，当x≠－且x≠2时，2x2－3x－2≠0，

∴否命题和逆命题也是真命题．

其否定为：如果2x2－3x－2＝0则x≠－且x≠2，

其逆命题为：

如果x≠－且x≠2，则2x2－3x－2＝0.

13．(1)命题“如果a>b，则2a>2b－1”的否命题是______________．

(2)命题“已知a，b∈R，如果|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”的逆否命题是______________．

[答案]　(1)如果a≤b，则2a≤2b－1

(2)已知a，b∈R，如果a≠1或b≠1，则|a－1|＋|b－1|≠0

14．命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

[答案]　[－3,0]

[解析]　因为ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得

解得－3≤a<0.

故－3≤a≤0.

三、解答题

15．若m≤0或n≤0，则m＋n≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，同时指出它们的真假．

[解析]　逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，逆命题为真；

否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，否命题为真；(逆命题与否命题是等价的)

逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，逆否命题为假．(逆否命题与原命题等价)

16．命题：“已知p>0，q>0，若p＋q≤2，则p3＋q3＝2”写出它的逆命题，判断其真假，并证明你的结论．

[解析]　逆命题：已知p>0，q>0，若p3＋q3＝2，则p＋q≤2，为真命题．

证明：设p＋q>2，∵p>0，q>0，

∴(p＋q)3＝p3＋3p2q＋3pq2＋q3＝p3＋q3＋3pq(p＋q)>8.

又p3＋q3＝2，∴3pq(p＋q)>6，即pq(p＋q)>2.

因为p3＋q3＝(p＋q)(p2－pq＋q2)＝2，

所以pq(p＋q)>(p＋q)(p2－pq＋q2)，

于是有(p－q)2<0，这是不可能的，故必有p＋q≤2.

17．写出以下原命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；

(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；

(3)正方形既是矩形又是菱形；

(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．

[解析]　(1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学；(假)

否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑；(假)

逆否命题：如果不会使用电脑，那就学不好数学．(假)

(2)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7；(真)

否命题：x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0；(真)

逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0则x≠3且x≠7.(真)

(3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形；(真)

否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形；(真)

逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形．(真)

(4)逆命题：若ab是奇数，则a，b都是奇数；(真)

否命题：若a或b是偶数，则ab是偶数；(真)

逆否命题：若ab是偶数，则a或b是偶数．(真)

18．证明：如果m2＋n2＝2，则m＋n≤2.

[证明]　将“如果m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“如果m＋n>2，则m2＋n2≠2”．

由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，所以m2＋n2≠2.

这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．