最新有理数总复习专题

5.1 有理数

知识框架：

有理数的定义：________和________统称为有理数。

有理数的分类：按照符号分类，可以分为________、________和________；按照定义分类，可以分为________和________：整数分为________、________和________；分数分为________和________。

典型例题：

例1：判断对错

①任何正整数都可以看做是由若干个“1”组成的。 （ ） ②正数、零和负数组成了全体有理数。 （ ） ③如果收入增加300元记作300+元，那么“500-元”表示的意义是支出500元。 （ ） ④任意一个自然数m 加上正整数n 等于m 进行n 次加1运算。 （ ）

例2：下列说法正确的是（ ）

A ．有理数就是正有理数和负有理数的统称

B ．最小的有理数是0

C ．有理数都可以在数轴上找到一个表示它的点

D ．整数不能写成分数形式

例3：把下列各数填在相应的集合内。

7，3

22，5-，3.0-，81，0，21-，6.8，431-，151，32-，38 正数集合{ }；负数集合{ }；正整数集合{ }；

整数集合{ }；负整数集合{ }；分数集合{ }。

例4：温度上升3-度后，又下降2度实际上就是（ ）

A ．上升1度

B ．上升5 度

C ．下降1 度

D ．下降5度

例5：一次数学测试，杨老师用如下方法统计成绩：凡是得分为100分的记作10+分，得分为87分的记作3-分。李刚在这次测试中得84分，应记作多少分？周亮的成绩记作9+分，他在这次测试中得了多少分？

拓展延伸：

已知3个互不相等的有理数可以写为0、a 、b ，也可以写为1、

a

b 、b a +，且b a >。求a 、b 的值。

5.2 数轴

知识框架：

数轴的定义：规定了________、________和________的________叫数轴。

数轴的三要素：数轴的三要素是指________、________和________，缺一不可。

用数轴比较有理数的大小：在数轴上，________的点表示的数总比________的点表示的数大。

相反数的定义：只有 的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的________，零的相反数是 。 表示一个数的相反数就是在这个数的前面添一个________号，如2的相反数可表示为________，3

2-

的相反数可表示为________。

典型例题：

例1：下列说法正确的是（ ）

A ．没有最大的正数，却有最大的负数

B ．数轴上离原点越远，表示数越大

C ．0大于一切非负数

D ．在原点左边离原点越远，数就越小

例2：在数轴上标出b a ，的相反数，并用“<”把这四个数连接起来。

例3：数轴上A 、B 两点对应的数分别为2-和m ，且线段3=AB ，则m =_______。

5.3 绝对值与相反数

知识框架：

绝对值的定义：一个数在数轴上____________与________的________，叫做这个数的绝对值。

绝对值的表示方法如下：2-的绝对值是2，记作________；3的绝对值是3，记作________；0的绝对值是________。 典型例题：

例1：下列说法正确的个数是（ ）

①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②正数和零的绝对值都等于它本身；③只有负数的绝对值是它的相反数；④互为相反数的两个数的绝对值一定相等；⑤任何一个有理数一定不大于它的绝对值。

A ．5个

B ．4个

C ．3个

D ．2个

例2：下列说法中：①a -一定是负数；②a -一定是正数；③倒数等它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1。其中正确的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例3：如果b a ，都代表有理数，并且0=+b a ，那么( )

A ．b a ，都是0

B ．b a ，两个数至少有一个为0

C ．b a ，互为相反数

D ．b a ，互为倒数

例4：a 代表有理数，那么a 和a -的大小关系是( )

A ．a 大于a -

B ．a 小于a -

C ．a 大于a -或a 小于a -

D ．a 不一定大于a -

例5：在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则=-3a ________。

例6：到原点的距离不大于2的整数有________个，它们是________；到原点的距离大于3且不大于6的整数有________个，它们是__________。

例7：在数轴上，点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是15，则两点表示的数分别是________和________。

例8：03|4|=-++b a ，求b a 2+的值。

例9：已知|2|-a 与|3|-b 互为相反数，求b a 23+的值。

拓展延伸：

1．如果b a ，互为相反数，那么下面结论中不一定正确的是（ ）

A ．0=+b a

B ．1-=b

a C ．2a a

b -= D ．b a = 2．若a a -=-22，则数a 在数轴上的对应点在（ ）

A ．表示数2的点的左侧

B ．表示数2的点的右侧

C ．表示数2的点或表示数2的点的左侧

D ．表示数2的点或表示数2的点的右侧

3. 已知3||=a ，5||=b ，且b a <，求b a +的值。

4. 已知a 是非零的有理数，求

a a 的值。

5. 我们都知道，)2(5--表示5与2-之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上表示5与表示2-的两个

点之间的距离。试探索： ①=--)2(5________。

②找出所有符合条件的整数x ，使得25++-x x 最小，这样的整数是________________。

③由以上探索猜想对于任何有理数x ，63-+-x x 是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由。

5.4 有理数的加法和减法

知识框架：

1．有理数加法法则：

①同号两数相加，取________的符号，并把________相加；

②异号两数相加，________相等时，和为________；绝对值不等时，其和的绝对值为_____________ __ _，其和的符号取_____ _____符号，

③一个数与0相加，______ __。

2．有理数减法法则：减去一个数，等于___ _________，a b -= 。

3．有理数加法运算律：加法交换律：=+b a ________；加法结合律：=++c b a )(________。

典型例题：

例1：判断对错

①个有理数的和为正数时，这两个数都是正数。 （ ）

②如果两个有理数的和比其中任何一个加数都大，那么这两个数都是正数。 （ ）

③两个不等的有理数相加，和一定不等于0。 （ ）

④零减去一个数等于这个数的相反数。 （ ）

例2：下列说法正确的是( )

A ．两数的和大于每一个加数

B ．两个数的和为负数，则这两个数都是负数

C ．两个数的和为0，则两个数都是0

D ．两个数互为相反数，则这两个数的和为0

例3：算式53--不能读作（ ）

A ．3-与5的差

B ．3-与5-的和

C ．3-与5-的差

D ．3-减去5

例4：计算：)4

9()2115()375()25.4(37153)371012

(+---+--++-

例5：计算：2010200920112010201020092011201120102012

+--

拓展延伸：

1．两数相减，差一定小于被减数吗？

2．计算：

+-+-+-3

1412131121…999110001-

5.5 有理数的乘法和除法

知识框架：

有理数乘法法则：两数相乘，同号________，异号________，并把________相乘；任何数与0相乘都得________。

几个非零的有理数相乘，积的符号是由________的个数决定的：当________的个数是奇数个时，积为________；当________的个数为偶数个时，积为________。

有理数除法法则：两数相除， 得正， 得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不为零的数，都得零。

除以一个数，等于________________。a - 的倒数是 ，p q -

的倒数是 。 典型例题：

例1：计算：①10.12512(16)(2)2-⨯⨯-⨯- ②5

1)716(5)31112(5)31137(51)7111(⨯++÷++÷-+⨯

-

例2：几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数个，则积为（ ）

A ．正数

B ．负数

C ．非正数

D ．非负数

例3：一个有理数和它的相反数相乘，积为（ ）

A ．正数

B ．负数

C ．正数或0

D ．负数或0

例4：一个非零的有理数与它的相反数的商是（ ）

A ．-1

B ．1

C ．0

D ．无法确定

拓展延伸：

1．两个不为零的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（ ）

A ．一定相等

B ．一定互为倒数

C ．一定互为相反数

D ．相等或互为相反数

2．一天，小红与小丽利用温差测量山的高度，小红在山顶测得温度是4-℃，小丽此时在山脚测得温度是6℃.已知该地区高度每增加100米，气温大约降低8.0℃，这个山峰的高度大约是多少米？

3．已知c b a 、、均为非零的有理数，且

1-=++c c b b a a ，求abc abc 的值。

变式：已知c b a 、、均为非零的有理数，且

1-=abc abc ，求c c b b a a ++的值。

5.6 有理数的乘方

知识框架：

乘方的定义：________________的运算叫做乘方。

对于式子n a ，________是指数，________是底数，________是幂，它表示的意义是________________。 乘方的符号法则：正数的________次幂都是正数；负数的________次幂是负数，负数的________次幂是正数。

典型例题：

例1：比较4)2(-和42-，并填表：

例2：计算：①2)43(- ②2)43(- ③2)43(-- ④4

32

- ⑤243-

例3：一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ）

A ．正数

B ．负数

C ．正数或负数

D ．奇数

例4：若a 是负数，则下列各式不正确的是（ ）

A ．22)(a a -=

B ．22a a =

C ．33)(a a -=

D ．)(33a a --= 例5：n 为正整数时，n )1(- +1)1(+-n 的值是（ ）

A ．2

B ．-2

C ．0

D ．不能确定

例6：平方得4的数是________；若25

42=m ，则=m ________。 例7：一个数的绝对值等于它本身，则这个数是________；一个数的相反数等于它本身，则这个数是________；一个数的平方等于它本身，则这个数是________；一个数的立方等于它本身，则这个数是________；一个数的倒数等于它本身，则这个数是________。

拓展延伸：

1．已知n 为正整数，一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是________，它的12+n 次幂是________（填“正数”或者“负数”）。

2．两个有理数互为相反数，那么它们的n 次幂的值（ ）

A ．相等

B ．不相等

C ．绝对值相等

D ．没有任何关系

3．观察下列算式发现规律：771=，4972=，34373=，240174=，1680775=，117976=，……，用你所发现的规律写出：20117的末位数字是________。

5.7 有理数的混合运算

知识框架：

有理数混合运算的顺序：先________，再________，最后________；若有括号，先________________。同级运算应该________依次计算；对于多重括号应该遵循________依次去括号。

典型例题：

例1：据不完全统计，2004年F1上海分站赛给上海带来的经济收入将达到267 000 000 美元，用科学记数例1：计算：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)324()715()714(322

)312()25.0()47(313-+-+-+

例2：计算： 1167(5)()()3716-⨯-

⨯- 74)31()57()3(⨯-⨯-⨯-

例3：计算：)91()515()1715(-⨯-÷-

)8(13)125.0()7(4949-⨯⨯-+-⨯

例4： )32()4()2(83216

2+⨯---÷+- )4

1()2()411()1.0(2323-⨯---÷-+-

拓展延伸：

甲从外地以3820元购得的一部手机，以3880元转卖给乙，乙又以3900元卖给丙，丙亏10元卖给甲，甲以丙卖给他的价格为基础再便宜30元卖给乙，乙买来后以3840元卖给丙，丙以3000元的价格卖给甲，最后甲又以3100元的价格处理给了某中介所。请问在此过程中，甲、乙、丙各自是亏了还是赚了？亏或赚了多少元？

5.7科学计数法

知识框架：

科学记数法的定义：把一个大于10的数记成a ⨯n 10的形式，其中________，n 是________，这样的记数法叫做科学记数法。科学计数法中，10的指数等于原数的整数位数减去_______。

典型例题：

法可表示为 （ ）

A 、910672.2⨯

B 、910267.0⨯

C 、81067.2⨯

D 、610267⨯

例2：下列各数用科学记数法表示正确的是（ ）

A.0.58×105

B. 12.3×107 30.213C ⨯ D.3.06×106

例3：对4.5983取近似值，保留三个有效数字，其结果正确的是（ ）。

A 、4.59

B 、4.598

C 、4.60

D 、4.6

例4：我国继“神舟六号”成功升空并安全返回后，于2007年向距地球384401千米的月球发射了“嫦娥一号”卫星，这是我们中国人的骄傲。用科学记数法并保留三个有效数字表示地球到月球的距离是 （ ）

A. 3.84×106千米

B. 3.84×105千米

C. 3.85×106千米

D. 3.85×105千米

例5：对于近似数0.1830，下列说法正确的是（ ）

A. 有三个有效数字，精确到千分位

B. 有四个有效数字，精确到千分位

C. 有四个有效数字，精确到万分位

D. 有五个有效数字，精确到万分位

例6：北京市申办2008年奥运会，得到了全国人民的热情支持。据统计，某一日北京申奥网站的访问人次为201947，用四舍五入法保留两个有效数字的近似值是（ ）

A. 20105.⨯

B. 21105.⨯

C. 22105.⨯

D. 2105

⨯

拓展延伸： 1. 近似数1.20所表示的准确数a 的范围是（ ）

A. 11951205..≤B. 115

116..≤130..≤A. 两个,精确到万分位

B. 四个, 精确到十万分位

C. 四个,精确到万分位

D. 四个,精确到千分位

3. 下列说法正确的是（ ）

A 、0.720有两个有效数字

B 、3.6万精确到个位C 、5.078精确到千分位

D 、3000有一个有效数字

4. 4604608取近似值,保留三个有效数字,结果是( )

A.4.60×106

B.4600000;

C.4.61×106

D.4.605×106

5. 据统计，全国每小时约有510000000吨污水排入江海，用科学计数法表示为（ ）吨.

A.5.1

B.0.51×109

C.5.1×108

D.5.1×109

6. 2003年5月19日，国家邮政局特别发行“万众一心、 抗击‘非典’”邮票，收入全部捐赠给卫生部门，用以支持抗击“非典”斗争，其邮票发行量为12500000枚，用科学记数法表示正确的是（ ）． A ．125105.⨯枚 B ．125106

.⨯枚