2019北师大版八年级下册第一章 三角形证明 等腰三角形的性质精选试题附...

得①或②

解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；

解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，

即等腰三角形的底边长是11或7；

故选C．

∵DE垂直平分AC，∴∠DAC=∠DCA．

∴∠DCB=∠ACB﹣∠DCA=65°﹣50°=15°．

故选A．

∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，

∴∠A=180°﹣2x°，

∠B=180°﹣2y°，

∵∠ACB+∠A+∠B=180°，

∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，

∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．

当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；

所以此三角形的底角等于75°或15°，故选C．

∴∠ABC=∠C=

在Rt△BDC中，∠CBD=90°﹣∠C=90°﹣=．

故选A．

∴AD=CD，

∴△BDC的周长是：BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC，

∵AB=AC=9，BC=6，

∴△BDC的周长是：AB+BC=9+6=15．

故选D．

∴∠ABC=∠C=70°，

∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠C=40°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=40°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．

故选D．

∴∠B=∠C，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，

∴BD+DE=CE+DE

即：BE=CD，

∴△ABE≌△ACD，

∴图中全等的三角形共有2对，

选C．

∴∠B=∠C

∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E

∴∠BED=∠FDC=90°

∵∠AFD=158°

∴∠EDB=∠CFD=180°﹣158°=22°

∴∠EDF=90°﹣∠EDB=90°﹣22°=68°．

故选C．

∴当顶角∠A=40°时，则∠C=∠B=（180﹣40）=70°，

∴∠ACB的外角的度数是180﹣70=110°，

∴当底角∠A=40°时，∠B=40°，则∠ACB的外角的度数为2∠A=2×40=80°，

当底角∠A=40°时，∠ACB=40°，则∠ACB的外角的度数为180﹣40=140°．

故选C．

∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=40°，

∵DM、EN分别是边AB和AC的垂直平分线，

∴BD=AD，AE=CE，

∴∠B=∠BAD=40°，∠C=∠CAE=40°，

∴∠DAE=100°﹣40°﹣40°=20°，

故选C．

∴∠P2P1P3=32°，∠P1P3P2=32°

∴∠P1P2P3=116°

∴∠P3P2P4=48°

∴∠P3P2P4=48°

∴∠P2P3P4=96°

∴∠P4P3P5=52°

∴∠P3P5P4=52°

∴∠P3P4P5=52°

∴∠P5P4P6=76°

∴∠P4P6P5=76°

∴∠P4P5P6=28°

∴∠P6P5P7=86°，

此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．

故选B．

∴BD=DC=8，AD⊥BC，

∴△ABC关于直线AD对称，

∴B、C关于直线AD对称，

∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，

∴S△BEF=S△CEF，

∵△ABC的面积是×BC×AD=×8×6=24，

∴图中阴影部分的面积是 S△ABC=12．

故选C．

则P′C=PC，ACP′=∠ACP．

∵AB=AC，∠BAC=80°，

∴∠ABC=∠ACB=50°，

又∵∠PBC=10°，∠PCB=20°，

∴∠BPC=150°，∠ACP=30°，∠ACP′=30°，

∴∠PCP′=60°，

∴△PCP′是等边三角形，

∴PP′=PC，∠P′AC=∠PAC，∠P′PC=60°，

∴∠BPP′=360°﹣150°﹣60°=150°，

∴∠BPP′=∠BPC，

∴△PBP′≌△PBC，

∴∠PBP′=∠PBC=10°，

∴∠P′BC=20°，∠ABP′=30° 又∠ACP′=30°，

∴∠ABP′=∠ACP′，

∴A、B、C、P′四点共圆，

∴∠PAC=∠P′AC=∠P′BC=20°，

∴∠PAB=60°．

故选B．

∵点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，

∴AD=BD，BD=CD，

∴∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x，

根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°﹣2∠4=100°﹣2x，∠BDC=180°﹣2x，

∴∠ADC=∠BDC﹣∠ADB=80°．

故选D．

∴∠1=∠BCA，

∵AB=AD，

∴∠B=∠2，

∵∠1+∠B+∠ACB=180°，

∴2∠1+∠2=180°．

故选B．

②中，这两个概念不能混淆，当等腰三角形的顶角是钝角时，该三角形是钝角三角形，故错误；

③中，若等腰三角形有一个外角等于120°，则等腰三角形有一个内角等于60°，则这个三角形一定是等边三角形，故正确；

④中，此题应分为两种情况，底角可以是40°或70°，故错误；

⑤中，显然正确，如果都小于60°，则该三角形的内角和小于180度．

所以正确的是①，③，⑤三个．

故选B．

∴AD=BD，

∵△BCD的周长为8cm，

∴BC+CD+BD=8cm，

∴AD+DC+BC=8cm，

∴AC+BC=8cm，

∵AB=AC=5cm，

∴BC=8cm﹣5cm=3cm，

故选A．

∴∠C=∠D；

又∵∠EAD=∠C+∠D，∠C=32°，∠EAD=∠DAB，

∠EAD=∠DAB=°，

∴∠EAB=128°；

在△ABD中，∠DAB=°，∠D=32°，

∴∠ABD=180°﹣∠DAB﹣∠D=84°；

又有∠EBA=∠EBD，

∴∠EBA=42°；

∴在△ABE中，∠E=180°﹣∠EBA﹣∠EAB=10°；

故选A．

∴∠B=∠D=α，

∵AB=BC

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠ACB=α+β

∴在等腰三角形ABC中，2（α+β）+α=180°

∴3α+2β=180°，

故选B．

∠ADB=180°﹣∠ADC，

∴∠BAD=∠ADC﹣∠B，

∵∠B=∠C，∠CDE=15°，且∠AED=∠ADE，

∴∠BAD=∠ADE+15°﹣∠B=∠B+15°+15°﹣∠B=30°．

故答案为30°．

即可得出点B、C、D均在圆周上，

故有∠BAC=2∠BDC=50°，

即∠BDC=25°．

故答案为：25°．

∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，

即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．

故答案为：8．

∠B+∠C+∠BAC=∠B+∠C+126°=180°，故∠B+∠C=54°，由于∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，

即2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，再把∠B+∠C=54°代入即可求解．

∴AE=BE，AG=CG，

∴∠1=∠B，∠2=∠C，

∵∠B+∠C+∠BAC=∠B+∠C+126°=180°，

∴∠B+∠C=54°，

∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，

即2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，

故∠EAG=180°﹣2×54°=72°．

故答案为：72°．

①线段的垂直平分线到线段两端的距离相等；②三角形的内角和为180°．

计算这三个三角形的面积时，△ABC的面积直接用×4×3得出，其它两个三角形面积可用正方形面积减去多余三角形的面积即可，例如三角形ABC′的面积用正方形面积20减去2个相等的三角形面积，再减去梯形的面积即可．

∵网格中的每个小正方形的边长为1，

∴S△ABC=×4×3=6，

S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，

S△ABC″=2.5，

∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．

故答案分别为：3；15．

证明：过点C作CE∥AB，CE与AM的延长线交于点E．（2分）

则∠ECD=∠B，∠E=∠BAD．

（两直线平行，内错角相等）（3分）

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．

（角平分线定义）

∴∠E=∠CAD．（等量代换）

∴AC=EC．（等角对等边）（4分）

又CM⊥AD于M，

∴AM=ME，即AE=2AM．

（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合）

（5分）

∵AD=AB，∴∠B=∠ADB．（等边对等角）

又∠EDC=∠ADB，（对顶角相等）∴∠ECD=∠EDC．（等量代换）

∴ED=EC．（等角对等边）（6分）

∴AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE．（等量代换）

∴AB+AC=2AM．（7分）

（2）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；

（3）根据（1）（2）的结论猜出即可．

∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=45°，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°，

∵∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣30°=60°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAC）=60°，

∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=75°﹣60°=15°，

答：∠EDC的度数是15°．

（2）解：与（1）类似：∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=90°﹣α，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°﹣α+30°=120°﹣α，

∵∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=α﹣30°，

∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAC）=105°﹣α，

∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=（120°﹣α）﹣（105°﹣α）=15°，

答：∠EDC的度数是15°．

（3）∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC=∠BAD．

∵BC=10，

∴BE+CE=14，

∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴AE+CE=14，

即AC=14，

∵AB=AC，

∴AB=14．

（2）利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求∠BOC与∠A的关系，再把∠A代入即可求∠BOC的度数．

∵在等腰△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，

∴等腰△ABC关于线段AO所在的直线对称，

∵∠A=80°，

∴∠OAC=40°

（2）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）

=180°﹣（ ∠ABC+∠ACB）

=180°﹣（∠ABC+∠ACB）

=180°﹣（180°﹣∠A）

=90°+∠A．

∴当∠A=80°时，

=130°．