四川省成都市郫都区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题及参

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A． ． ． ．

2．如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ）

A． ． ． ．

3．若是方程的根，则的值为（ ）

A．2022 ．2021 ．2019 ．2018

4．若是二次函数，则的取值范围是（ ）

A． ． ． ．

5．如图，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，则的值是（ ）

A． ． ． ．

6．如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ）

A．一直都在变短 ．先变短后变长

C．一直都在变长 ．先变长后变短

7．如图，在中，点是上一点，交于点，，，则与的比是（ ）

A． ． ． ．

8．抛物线与轴交点的横坐标分别为（ ）

A．， ．3，4 ．，4 ．3，

9．如图，过双曲线在第一象限上的一支上的点作轴于点，连接，则的面积为（ ）

A．4 ．3 ．2 ．1

10．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小 颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如 图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）

A．朝上的点数是 5 的概率 ．朝上的点数是奇数的概率

C．朝上的点数是大于 2 的概率 ．朝上的点数是 3 的倍数的概率

二、填空题

11．若，则的值为______．

12．反比例函数y=，在每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围____．

13．如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，若点的坐标为，则点的坐标为：________．

14．如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．若选取拱形顶点为坐标原点，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为______．

15．在比例尺的地图上，、两地间的距离为．若还是用单位，则、两地的实际距离用科学记数法表示应为______．

16．在长度分别为3、4、7、9的四条线段中，任意选取三条，端点顺次连接，能组成三角形的概率为______．

17．设，分别是方程的两个实数根，则的值是______．

18．如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为为______．

19．如图，每个台阶的高和宽分别是1和2，台阶凸出的角的顶点记作（其中为1～8的整数），函数的图象为曲线．若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的取值范围为______．

三、解答题

20．（1）计算：．

（2）解方程：．

21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

22．如图，航拍无人机在处测得正前方某建筑物顶部处的仰角为45°，测得底部的俯角为31°．此时航拍无人机距地面的高度为12米，求该建筑物的高度（结果保留整数）．（参考数据：．）

23．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．

（1）甲组抽到A小区的概率是多少；

（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．

24．如图，直线与双曲线交于、两点，且点的坐标为．

（1）求双曲线与直线的解析式；

（2）求点的坐标；

（3）若，直接写出的取值范围．

25．如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）求证：；

（3）若，，求线段的长度．

26．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价促销措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出2件．

（1）求出商场盈利与每件衬衫降价之间的函数关系式；

（2）若每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？

27．如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．

（1）求证：；

（2）求的度数及的长；

（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．

28．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的动点．

（1）求、、的值；

（2）连接、、，求面积的最大值；

（3）过作，垂足为，是否存在这样的点、，使得，若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

参

1．C

【分析】

本题利用一元二次方程的定义“只有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的整式方程称为一元二次方程”即可判断答案.

【详解】

A选项含有两个未知数x和y，并且未知数的最高次数为一次，是二元一次方程，排除；

B选项只有一个未知数，未知数的最高次数为二次，但是有一个未知数处于分母的位置，是一个分式方程，排除；

C选项只有一个未知数，未知数的最高次数为二次，并且是一个整式方程，是一个一元二次方程，所以C选项是正确的；

D选项含有两个未知数x和y，属于二元方程，排除.

故选：C.

【点睛】

本题主要考察一元二次方程的定义，属于简单题型，特别注意B选项属于分式方程，不是一元二次方程.

2．B

【分析】

根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

【详解】

解：从上边看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形．

故选：B．

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，理解从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．

3．B

【分析】

利用一元二次方程根的定义，代入变形计算即可．

【详解】

∵是方程的根，

∴，

∴，

∴=2021，

故选B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的定义，熟练把方程的根转化为所含字母的一元二次方程是解题的关键．

4．A

【分析】

根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案．

【详解】

解：由题意得： a-2 ≠0，则a≠2．

故选择：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．

5．C

【分析】

利用网格特点得到∠ABC=90°，然后利用正切的定义求解．

【详解】

解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，

∴tan∠BAC．

故选：C．

【点睛】

本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理使用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决问题的关键．

6．B

【分析】

根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．

【详解】

解：在小明由A处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短，当他从路灯下走到B处时，他在地上的影子逐渐变长．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．

7．A

【分析】

直接利用平行线分线段成比例定理求解．

【详解】

解：∵DE∥BC，

∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

8．D

【分析】

根据抛物线解析式直接得到答案．

【详解】

解：由抛物线y=2（x-3）（x+4）知，该抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，-4．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了抛物线与x轴的交点，此题是根据抛物线交点式表达式求得抛物线y=2（x-3）（x+4）与x轴交点的横坐标，二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．属于基础题．

9．D

【分析】

设过双曲线在第一象限上的一支上的点的坐标为(x，)，利用k意义，由S△OAB=|k|可求．

【详解】

解：设过双曲线在第一象限上的一支上的点的坐标为(x，)，

∴OB=x，AB=，

S△OAB=．

故选择：D．

【点睛】

本题考查反比例函数的性质，掌握|k|的意义及其求法是解题关键．

10．D

【分析】

随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为16.67%，根据频率估计概率实验统计的频率，随着实验次数的增加，频率越稳定在35%左右，因此可以判断各选项.

【详解】

解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在35%左右，

A的概率为1÷6×100%≈16.67%，

B的概率为3÷6×100%=50%，

C的概率为4÷6×100%≈66.67%，

D的概率为2÷6×100%≈33.33%，

即朝上的点数是 3 的倍数的概率与之最接近，

故选：D

【点睛】

本题考查随机事件发生的概率，折线统计图的制作方法，求出每个选项的事件发生概率，再依据折线统计图中反映的频率进行判断．

11．

【分析】

先根据已知设出a=k，b=5k，再把a，b的值代入即可求出答案．

【详解】

解：∵，

∴设a=k，b=5k，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．

12．m＞3

【详解】

根据反比例函数的增减性，由反比例函数y=，在每一象限内，y随x的增大而减小，可得m﹣3＞0，解得m＞3．

故答案为：m＞3．

13．

【分析】

过B作于E，过点C作于F，求出CF和OF即可；

【详解】

如图，过B作于E，过点C作于F，

由题意可知：，

∴，

又∵，

∴，

∴，

同理可得：，

即，

∴，

综上所述：C点的坐标为．

故答案是．

【点睛】

本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，准确分析计算是解题的关键．

14．

【分析】

设抛物线解析式为y=ax2，根据题意得出点B的坐标，代入解析式求出a的值即可．

【详解】

解：如图，拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，

由题意知B（6，-4），

设抛物线解析式为y=ax2，

将点B（6，-4）代入，得：-4=36a，

解得，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．

15．

【分析】

设A、B两地的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x=1：200000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．

【详解】

解：设A、B两地的实际距离为xcm，

∵比例尺为1：200000，

∴4：x=1：200000，

∴x=800000，

∴A、B两地的实际距离用科学记数法表示应为8×105cm．

故答案为：8×105cm．

【点睛】

本题考查了比例线段，用到的知识点是比例线段的性质，关键是根据比例线段的性质列出算式，注意单位的统一．

16．

【分析】

根据题意写出所有的可能性，从而可以求得能组成三角形的概率．

【详解】

解：从长度分别为3，4，7，9的四条线段中任取三条的所有可能性是：

（3，4，7）、（3，4，9）、（3，7，9）、（4，7，9），

能组成三角形的有两种，分别为（3，7，9）、（4，7，9），

∴能组成三角形的概率为：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查列举法求概率、三角形三边关系，解答此类问题的关键是写出所有的可能性．

17．2021

【分析】

根据题意得a2+a-2022=0，即a2+a=2022，利用根与系数的关系得到a+b=-1，代入整理后的代数式求值．

【详解】

解：a，b分别是方程x2+x-2022=0的两个实数根，

∴a+b=-1，a2+a-2022=0，

∴a2+a=2022，

故a2+2a+b=a2+a+（a+b）=2022-1=2021，

故答案为：2021．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，一元二次方程() 的根与系数的关系为，．

18．

【分析】

过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连结MH，HB由等腰的顶角，可得DG平分∠ADC，AG=CG=，可求∠GDC=60°，∠DCG=30°，在Rt△DGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即4DG2=DG2+9，可求DG=，CD=2由M，H为中点，可得MH=，根据两点之间线段最短，可得MBMH+HB，MH为定值，HB最小时，MB最短，BH⊥CF，可求∠HCB=60°，CH=，由勾股定理BH=，BH最小=．

【详解】

解：过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连结MH，HB，

∵等腰的顶角，

∴DG平分∠ADC，AG=CG=，

∴∠GDC=60°，∠DCG=90°-∠GDC=90°-60°=30°，

∴CD=2DG，

在Rt△DGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即4DG2=DG2+9，

∴DG=，CD=2，

∵M，H为中点，

∴MH=，

根据两点之间线段最短，则有MBMH+HB，MH为定值，

∴HB最小时，MB最短，

∴BH⊥CF，

∠HCB=180°-∠DCA-∠DCF=180°-30°-90°=60°，

CH=，

BH=，

BH最小=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关系是解题关键．

19．

【分析】

先求出各点的坐标，再求得经过各点时k的值，根据题意即可求解．

【详解】

解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，

∴T1（-16，1），T2（-14，2），T3（-12，3），T4（-10，4），T5（-8，5），T6（-6，6），T7（-4，7），T8（-2，8），

∵L过点T1，

∴k=-16×1=-16，

若曲线L过点T2（-14，2），T7（-4，7）时，k=-14×2=-28，

若曲线L过点T3（-12，3），T6（-6，6）时，k=-12×3=-36，

若曲线L过点T4（-10，4），T5（-8，5）时，k=-40，

若曲线L过点T8（-2，8）时，k=-16，

∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，

∴-36＜k＜-28，

故答案为：-36＜k＜-28．

【点睛】

本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．

20．（1）；（2），

【分析】

（1）原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的意义计算即可求出值；

（2）将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【详解】

解：（1）

；

（2）∵，

∴，

∴或，

∴，．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程－因式分解法，以及实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．且．

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

【详解】

解：∵原方程是一元二次方程，

∴，解得；

∵方程有两个不相等的实数根，

∴，

解得；

∴使原方程有两个不相等的实数根，的取值范围为且．

【点睛】

本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．

22．32米

【分析】

过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DBEC是矩形，再根据锐角三角函数即可求出建筑物的高度AB．

【详解】

解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，

根据题意可知：

CD⊥BD，AB⊥BD，

∴四边形DBEC是矩形，

∴CD=BE=12米．

在Rt△BEC中，∠BCE=31°，

∴，即，

∴CE=20米．

在Rt△ACE中，∠ACE=45°，

∴AE=CE，

∴CE=AE=20米，

∴AB=BE+AE=32米．

答：该建筑物的高度AB约为32米．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．

23．（1）甲组抽到A小区的概率是；（2）甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．

【分析】

（1）直接利用概率公式求解可得；

（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．

【详解】

（1）甲组抽到A小区的概率是，

故答案为．

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，

∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．

【点睛】

此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.

24．（1），；（2）（-3，-2）；（3）或；

【分析】

（1）把A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；

（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可；

（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．

【详解】

解：（1）∵点A（2，3）在双曲线上，也在直线上，

∴，；

∴双曲线的解析式为，

直线的解析式为；

（2）∵点是直线和双曲线的交点，

∴点的坐标是方程组的一个解；

∴，；

∴点的坐标为（-3，-2）；

（3）由图象可知，若，则x的范围是：-3＜x＜0或x＞2．

．  

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数与不等式等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．

25．（1）见解析；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）由已知可证得，，根据相似三角形的对应边成比例即可得到；

（3）由已知可得到，的长，又因为，从而求得的长，则根据就得到了线段的长度．

【详解】

（1）证明：四边形是矩形，

，，

延长到点，使，

，，

四边形是平行四边形；

（2）证明：是矩形，且，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

；

（3）解：四边形为平行四边形，，相交点，

，，

在中，

，

在中，，

，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．

26．(1)﹣2x2+60x+800；(2) 20元．

【分析】

（1）一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件，则设每件降价x元时，销售量为：20+2x，每件盈利：40-x元，所以每天盈利为：（40-x）（20+2x）；

（2）此题首先根据盈利1200元，列出一元二次方程，然后解出．要注意x=10应舍去，要考虑符合实际的要求．

【详解】

解（1）设每件降低x元，获得的总利润为y元

则y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800；

（2）∵当y＝1200元时，即﹣2x2+60x+800＝1200，

∴x1＝10，x2＝20，

∵需尽快减少库存，

∴每件应降低20元时，商场每天盈利1200元．

【点睛】

此题是二次函数的和一元二次方程的实际应用题，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此外要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

27．（1）见解析；（2）60°，12；（3）

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得到AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，得到∠DAC=∠BAE，即可证明△ADC≌△ABE；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ADP=∠ABP，设AB，PD交于O，根据三角形的内角和即可得到∠DPB=∠DAB=60°；在PE上取点F，使∠PCF=60°，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论；

（3）过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，根据等边三角形的性质得到AQ=2x，AG=x，AB=x，证明△ABE∽△AQR，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

解：（1）∵△ABD和△ACE都为等边三角形，

∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

即∠DAC=∠BAE，

在△ADC与△ABE中，

，

∴△ADC≌△ABE（SAS）；

（2）∵△ADC≌△ABE；

∴∠ADP=∠ABP，

设AB，PD交于O，

∵∠AOD=∠POB，

∴∠DPB=∠DAB=60°；

如图①，在PE上取点F，使∠PCF=60°，

同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，

∴EF=AP=3，△CPF为等边三角形，

∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；

（3）如图②，过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，

∵点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，

∴AQ=2x，AG=x，AB=x，

∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，

∴∠QAR=∠BAE，

∴△ABE∽△AQR，

∴QR：BE=AQ：AB，

∴．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

28．（1），，；（2）；（3）存在，．

【分析】

（1）设抛物线的解析式为．将代入得：，抛物线的解析式化为，可得，，；

（2）过点作轴，交于点，设点的横坐标为，由点在抛物线上，设，可求直线解析式为：，，可得，可求配方即可；

（3）假设存在，过点作轴的平行线，过点、作的垂线，垂足为，由， 可得，可证；可得，设，可求，，，，可得，，解方程即可．

【详解】

解：（1）设抛物线的解析式为．

∵将代入得：，

解得，

∴抛物线的解析式为，即，

∴，，；

（2）过点作轴，交于点，设点的横坐标为，

∵点在抛物线上，

∴，

∵直线过点、点，

∴直线解析式可求得为：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴当点的横坐标为时，面积的最大值为；

（3）假设存在，过点作轴的平行线，过点、作的垂线，垂足为，

∵，

∴，

∴，

∵∠PMQ=∠QNC=∠PQC=90°，

∴∠MQP+∠CQN=90°，∠CQN+∠QCN=90°，

∴∠MQP=∠NCQ，

∴；

∴，

设，，

∴，，，，

∴，，

∴，

∴，存在，．

【点睛】

本题考查抛物线解析式，三角形面积最值，三角形相似判定与性质，解方程组，掌握抛物线解析式，三角形面积最值，三角形相似判定与性质，解方程组，解题关键是利用相似三角形的性质构造方程组．