高中数学 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

(一)复习指导

单调性：

设函数y＝f(x)定义域为A，区间MA，任取区间M中的两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称f(x)在区间M上是增函数，当Δy=f(x2)－f(x1)＜0时，就称f(x)在区间M上是减函数．

如果y＝f(x)在某个区间M上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M叫做y=f(x)的单调区间．

函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x1，x2，当x1＜x2时判断相应的函数值f(x1)与f(x2)的大小．

利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．

对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．

此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．

奇偶性：

(1)设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．

函数的奇偶性有如下重要性质：

f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称．

f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称．

此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点．

周期性：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

关于函数的周期性，下面结论是成立的．

(1)若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是f(x)的周期(k为非零整数)．

(2)若T为y=f(x)的最小正周期，则为y=Af(ωx+φ)+b的最小正周期，其中ω≠0．

对称性：

若函数y=f(x)满足f(a－x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线

对称，若函数y=f(x)满足f(a－x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(，0)对称．

函数的图象：

函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．

(1)利用平移变换作图：

y=f(x) y=f(x＋a)    y=f(x) y=f(x)＋b

(2)利用和y=f(x)对称关系作图：

y=f(－x)与y=f(x)的图象关于y轴对称；y=－f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称

y=－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称；y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称

(3)利用y=f(x)图象自身的某种对称性作图

y=|f(x)|的图象可通过将y=f(x)的图象在x轴下方的部分关于x轴旋转180°，其余部分不变的方法作出．

y=f(|x|)的图象：可先做出y=f(x)，当x≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y轴对称的性质，作出y=f(x)(x＜0)的图象．

此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．

还要记住一些结论：若函数y=f(x)满足f(a－x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线

对称，若函数y=f(x)满足f(a－x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(，0)对称．

(二)解题方法指导

例1．设a≠0，试确定函数在(－1，1)上的单调性．

例2．讨论的增减性．

例3．f(x)在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x均有f(4－x)=f(x)成立，判断f(x)在(2，+∞)上的增减性．

例4*．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n，都有且当时，f(x)＞0．又

(Ⅰ)求证    (Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并进行证明

例5．在R上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数

例6．判断下列函数的奇偶性

(2) (其中φ(x)为奇函数，a＞0且a≠1)．

例7．设函数是奇函数，判断它的增减性．

例8．设f(x)是定义域为R且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x∈[2，3]时f(x)=(x－1)2+1，求当x∈[1，2]时f(x)的解析式．

例9．作出的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性．

例10．作出函数的图象

(1)        (2)y=|lg|x||

例11．(1)作出方程｜x｜+｜y｜=1所表示的曲线．

(2)作出方程｜x－1｜+｜y+1｜=1所表示的曲线．

例12．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x．

(1)求函数g(x)的解析式；    (2)解不等式g(x)≥f(x)－｜x－1｜．

例 题 解 析

例1解：任取x1，x2∈(－1，1)，且Δx=x2－x1＞0，

则

由于－1＜x1＜x2＜1，所以Δx=x2－x1＞0，1＋x1x2＞0，1－＞0，1－＞0．

因此当a＞0时，Δy=f(x2)－f(x1)＞0，当a＜0时，Δy=f(x2)－f(x1)＜0．

所以当a＞0时f(x)在(－1，1)上是增函数，当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．

例2分析：可先在(0，＋∞)上研究f(x)的增减性，然后根据f(x)的奇偶性判断其在(－∞，0)上的增减性，而当x＞0时，有当且仅当即时“=”成立，即当时，f(x)取得最小值由此可知x=是函数单调区间的一个分界点．

解：任取x1，x2∈(0，]，且Δx=x2－x1＞0

则

因为Δx=x2－x1＞0，且，因此Δy=f(x2)－f(x1)＜0，故f(x)在上是减函数．同理可证f(x)在是增函数．

又由可知f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知f(x)在上是增函数，在上是减函数．

综上所述，在和上是增函数，在，上是减函数．

例3解：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，则由2＜x1＜x2得2＞4－x1＞4－x2

因为f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以有f(4－x1)＞f(4－x2)

而由已知又有f(4－x1)=f(x1)，f(4－x2)=f(x2)，所以f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(2，＋∞)上是减函数．

小结：注意体会解题中的划归思想．此题若是一个小题，由f(4－x)=f(x)可知f(x)的图像关于x=2对称，立即就可以判断出f(x)在(2，＋∞)上是减函数．

例4分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路．

解：(Ⅰ)由f(m＋n)=f(m)＋f(n)得f(0)=f(0＋0)=2f(0)有f(0)=－

又由及得

(Ⅱ)任取x1，x2∈R且Δx＝x2－x1＞0则根据已知可得

则有

函数f(x)在R上为增函数．

例5解：设所求的R上的函数为f(x)，则由函数奇偶性定义得f(－x)=－f(x)①，f(－x)=f(x)②，联立①②，消去f(－x)，得f(x)=0．

显然函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数，所以f(x)=0就是所求的函数．

例6解：(1)因为对任意x∈R，都有，所以函数定义域为R

任取x∈R，则－x∈R

且有

所以是奇函数

(2)函数的定义域为R．

任取x∈R，则－x∈R，

且有

所以是偶函数．

例7解：显然x∈[－1，1]，－x∈[－1，1]，因为f(x)为奇函数，所以对区间[－1，1]内任意实数x均有f(－x)=－f(x)成立，即，也就是这是关于x的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得a=b=0．

所以

任取x1，x2∈[－1，1]，且Δx=x2－x1＞0

则

因为－1≤x1＜x2≤1，所以Δx=x2－x1＞0，1－x1x2＞0，因此Δy=f(x2)－f(x1)＞0，所以当x∈[－1，1]时为增函数．

注：此题也可以通过f(0)=0，f(－1)=－f(－1)求得a=b=0

例8分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是f(x)为偶函数，再一个是f(x)为周期函数，通过画出草图，就会发现可以先求出当x∈[－3，－2]时函数的解析式，在利用周期性求出当x∈[1，2]时f(x)的解析式，要注意体会划归的思想方法．

解：当x∈[－3，－2]时－x∈[2，3]所以f(－x)=(－x－1)2＋1=(x＋1)2＋1，因为f(x)是偶函数，因此当x∈[－3，－2]时，f(x)=(x＋1)2＋1

当x∈[1，2]时，x－4∈[－3，－2]，有f(x－4)=(x－4＋1)2＋1=(x－3)2＋1，因为2为f(x)的周期，可知－4也为f(x)一个周期，有f(x－4)=f(x)

故x∈[1，2]时f(x)=(x－3)2＋1．

例9解：因为

所以将的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到的图象，如图

由图象可以得到：对称中心为(－1，2)

渐近线分别为x=－1，y=2

函数在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上都是增函数．

例10解：(1)将函数的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到，如图．

(2)y=｜lg｜x｜｜为偶函数，当x＞0时先作出y=lgx的图象，在根据奇偶性作出y=lg｜x｜的图象，最后将y=lg｜x｜在横轴下面的图象关于x轴旋转180°，其余部分不变．即可得到y=｜lg｜x｜｜的图象，如图．

例11分析，曲线｜x｜＋｜y｜=1是关于x轴，y轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线｜x－1｜＋｜y＋1｜=1，只需通过将曲线｜x｜＋｜y｜＝1适当平移即可得到．

解：(1)先作出线段x＋y=1(x≥1，y≥1)，再作出该线段分别关于x轴，y轴和原点分别对称的线段，就得到方程｜x｜＋｜y｜=1所表示的曲线，如图．

(2)将(1)中方程｜x｜＋｜y｜=1所表示的曲线右移一个单位，下移一个单位就得到方程｜x－1｜＋｜y＋1｜=1所表示的曲线，如图．

例12解：(1)设f(x)上任意一点P(x0，y0)关于原点的对称点为(x，y)

则即

因为点P(x0，y0)在f(x)=x2＋2x的图像上，所以2x0，即－y=(－x)2＋2(－x)

故g(x)=－x2＋2x．

(2)由g(x)≥f(x)－｜x－1｜得2x2≤｜x－1｜

当x≥1时，不等式化为2x2－x＋1≤0，此式无实数解．

当x＜1时，不等式化为2x2＋x－1≤0解得，因此g(x)≥f(x)－｜x－1｜解集为