湖北省孝感高级中学2012—2013学年高一下学期期中考试数学

数  学

考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．    已知数列则是它的（   ）

A．第25项            B．第26项            C．第27项            D．第2

2．    在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（   ）

3．    等比数列中，如果，，则等于（   ）

A．4            B．            C．                D．3

4．    正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是（   ）

A．            B．            C．                D．

5．    已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)cosx<0的解集是（   ）

A．     

B．

C．      

D．

6．    已知数列，若，记Sn为的前n项和，则使Sn达到最大的n值为（   ）

A．13                B．12                C．11            D．10

7．    如图，一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（   ）

A．1        B．错误！未找到引用源。        C．            D．错误！未找到引用源。

8．    已知函数，则f()的值是（   ）

A．        B．1        C．        D．2

9．    如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中,有以下5个命题：

①与垂直；

②与平行；

③与是异面直线；

④与成角；

⑤异面直线。

其中正确的个数为（   ）

A．1                B．2                C．3                D．4

10．若关于x的不等式a≤x23x+4≤b的解集恰好是［a,b］，则的值为（   ）

A．1                B．2                C．3                D．4

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将各题的答案填写在答题卷中对应的横线上。

11．若数列满足，且，则_______.

12．如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为＿＿＿（平方单位）.

13．已知，，且，则向量与向量    的夹角是＿＿＿.

14．当太阳光线与地面成30°角时，长为18cm的一支铅笔在地面上的影子最长为＿＿＿cm.

15．已知函数，且是它的最大值，(其中m、n为常数且)给出下列命题：

①是偶函数；            ②函数的图象关于点对称；

③是函数的最小值；

④记函数的图象在轴右侧与直线的交点按横坐标从小到大依次记为，，，，…，则；

⑤.

其中真命题的是_____________.（写出所有正确命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．记函数的定义域为A，的定义域为B.

（Ⅰ）求A；  （Ⅱ）若，求实数a的取值范围.（12分）

17．已知在△ABC中，，且与是方程的两个根.

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）若AB=，求的面积.（12分）

18．已知数列中，，.

（Ⅰ）求证：数列为等差数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式.（12分）

19．为了加强对H7N9的防控，某养鸭场要围成相同面积的长方形鸭笼四间（无盖），如图所示，一面可利用原有的墙，其他各面用铁丝网围成.

（Ⅰ）现有可围72m长的铁丝网，则每间鸭笼的长、宽各设计为多少时，可使每间鸭笼面积最大？

（Ⅱ）若使每间鸭笼面积为24 m2，则每间鸭笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间        鸭笼的铁丝网总长最小？（12分）

20．已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，且，求x的值；

（Ⅲ）若，求不等式：的解集A.（13分）

21．已知数列错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，其前n项和满足错误！未找到引用源。．

（Ⅰ）求数列错误！未找到引用源。的通项公式；

（Ⅱ）令错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前n项和，求错误！未找到引用源。；

（Ⅲ）求证：对任意的错误！未找到引用源。，均存在错误！未找到引用源。，使得当时，（Ⅱ）中的错误！未找到引用源。恒成立．（14分）

湖北省孝感高级中学2012—2013学年度高中一年级

下学期期中考试数学   参及评分标准

一、选择题：

11：   12：    13：  14：15：① ② ⑤

三、解答题。

16、解：（1）函数定义域为-------------------------------------------------5分

   (2) B= --------------------------------------------------8分 

 要 则----------------12分

17、解：（Ⅰ）由所给条件，方程的两根.…………2分

∴………………………………………………………………4分

……………………………………………………………………………… 6分

（或由韦达定理直接给出）

(Ⅱ)∵,∴.

由（Ⅰ）知，，

∵为三角形的内角，∴…………………………………………8分

∵，为三角形的内角，∴，

由正弦定理得： 

∴..……………………………………………………………………9分

由        ∴

∴………………………………………12分

（亦可由其它边角关系求）

18、解：（1）证：由

有…………………………………………………………3分

∴

即是公差为1的等差数列…………………………………………………………6分

（2）∵    ∴        ∴………………………………8分

∴

∴………………………………………………………………………………12分

19、(1)设每间鸭笼长x m，宽为y m,则由条件得4x+6y=72,即2x+3y=36,

设每间鸭笼面积为S,则S=xy.

由于

∴得

即当且仅当2x=3y时，等号成立,

由解得

故每间鸭笼长为9 m,宽为6 m时，可使面积最大.

(2)由条件知S=xy=24,设铁丝网总长为l，则l=4x+6y.

∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48

当且仅当2x=3y时，等号成立,

由解得

故每间鸭笼长6 m,宽4 m时，可使铁丝网总长最小.

20、解（1）……………………………………………………4分

（2）

令得……………………………………………………6分

由得        ∴或

从而或……………………………………………………………………9分

（3）由得

∴………………………………………………………………11分

又，∴        ∴

从而……………………………………………………13分

21、（1）由得

，，即……3分

又，…………………………4分

故数列的通项公式为．…………………………………………6分

（2）……………………8分

            ………………………………………10分

（3）证明：由（2）可知

若,则得,化简得

，

…………………………………12分

当，即

当，即

，取即可,

综上可知,对任意的均存在使得时（2）中的成立……14分.