二次函数与相似三角形

2、提高综合知识的应用能力

教学过程

例题如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

二、解题方法及切入点

  函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

       ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

三、例题讲解

练习1、已知抛物线经过及原点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形．是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？

分析总结：

练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠，且。

（1）判断与是否相似？请说明理由；

（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；

（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

分析总结：

练习3、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．

（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为）

（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由； 

（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．

O

分析总结：

练习4 如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

分析总结：

练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为，， 

（1）求过点的直线的函数表达式；点，， ， 

（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由．

分析总结：

四、课堂小结

二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。其实破解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如图1-1的几种基本型。

若是非直角三角形有如图1-2的几种基本型。

利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。

五、课后巩固

1、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

2、已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出

OBC的面积S的值.

（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于

直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴

于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED

（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由. 

3、如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

参

例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为

∵抛物线过原点，

∴

∴.

抛物线的解析式为,即 

⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CDOB,

由得,

∴B(4,0),OB＝4.

∴D点的横坐标为6 

将x＝6代入,得y＝－3,

∴D(6,－3); 

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3), 

当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)

⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.

若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO 

设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)

∴直线OP的解析式为 

由,

得

.∴P(6,－3)

过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,

∴PB＝≠4.

∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,

∴△PBO与△BAO不相似, 

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.

所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似. 

练习1、解：（1）由已知可得：

解之得，．

因而得，抛物线的解析式为：．

（2）存在．

设点的坐标为，则，

要使，则有，即

解之得，．

当时，，即为点，所以得

要使，则有，即

解之得，，当时，即为点，

当时，，所以得．

故存在两个点使得与相似．

点的坐标为．

（3）在中，因为．所以．

当点的坐标为时，．

所以．

因此，都是直角三角形．

又在中，因为．所以．

即有．

所以，

又因为，

所以．

练习2

解：（1）与相似。

理由如下：

由折叠知，，

， 

又，

。

（2），设AE=3t，

则AD=4t。

由勾股定理得DE=5t。

。

由（1），得，

，

。

在中，，

，解得t=1。

OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），

点E的坐标为（10，3），

设直线CE的解析式为y=kx+b，

解得

，则点P的坐标为（16，0）。

（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12，

y=2x－12。

如图2：准确画出两条直线。

练习3

解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，

由    解得

此二次函数的表达式为    ．

（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似．

在中，令，则由，解得

．

令，得．．

设过点的直线交于点，过点作轴于点．

点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．

．

要使或，

已有，则只需，        ①

或            ②

成立．

若是①，则有．

而．

在中，由勾股定理，得．

解得    （负值舍去）．

．

点的坐标为．

将点的坐标代入中，求得．

满足条件的直线的函数表达式为．

［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］

若是②，则有．

而．

在中，由勾股定理，得．

解得    （负值舍去）．

．

点的坐标为．

将点的坐标代入中，求得．

满足条件的直线的函数表达式为．

存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．

（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点．

将点的坐标代入中，求得．

此直线的函数表达式为．

设点的坐标为，并代入，得．

解得（不合题意，舍去）．

．

点的坐标为．

此时，锐角．

又二次函数的对称轴为，

点关于对称轴对称的点的坐标为．

当时，锐角；

当时，锐角；

当时，锐角．

练习四

解：（1）令，得   解得

令，得

∴ A   B   C  

（2）∵OA=OB=OC=    ∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB，        ∴PAB=

过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形

令OE=，则PE=  ∴P

∵点P在抛物线上 ∴   

解得，（不合题意，舍去）

∴PE=

∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=

(3)． 假设存在

∵PAB=BAC =   ∴PAAC

∵MG轴于点G，   ∴MGA=PAC =

在Rt△AOC中，OA=OC=   ∴AC=

在Rt△PAE中，AE=PE=   ∴AP=  

设M点的横坐标为，则M 

①点M在轴左侧时，则

(ⅰ) 当AMG PCA时，有=

∵AG=，MG=即  

解得（舍去）（舍去）

(ⅱ) 当MAG PCA时有=

即解得：（舍去）  

∴M 

② 点M在轴右侧时，则 

(ⅰ) 当AMG PCA时有=

∵AG=，MG=      

∴   解得（舍去）  

 ∴M 

(ⅱ) 当MAGPCA时有= 

即 

解得：（舍去）    

∴M

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似

M点的坐标为，， 

练习5、

解：（1）点， 

，，点坐标为

设过点的直线的函数表达式为，

由得， 直线的函数表达式为

（2）如图1，过点作，交轴于点，

在和中，

    ，

点为所求又，

， 

（3）这样的存在

在中，由勾股定理得如图1，当时， 

则，解得

如图2，当时， 

则，解得