苏教版-初三-圆专题复习

2：掌握圆有关题型的解答思路和方法。

  二、简要回顾上次课内容

一、圆的概念

集合形式的概念：

 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

 圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

二、点与圆的位置关系

 1、点在圆内      点在圆内；

 2、点在圆上      点在圆上；

 3、点在圆外      点在圆外；

三、直线与圆的位置关系

 1、直线与圆相离    无交点；

 2、直线与圆相切    有一个交点；

 3、直线与圆相交    有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）  无交点    ；

外切（图2）有一个交点 ；

相交（图3）有两个交点 ；

内切（图4）有一个交点 ；

内含（图5）   无交点   ；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（此弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

      （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

      （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

 ①是直径   ②  ③  ④ 弧弧  ⑤ 弧弧

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

          即：在⊙中，∵∥

              ∴弧弧

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①；②；

③；④ 弧弧

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角

    ∴

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角

             ∴

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙中，∵是直径        或∵

              ∴          ∴是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△中，∵

               ∴△是直角三角形或

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

     即：在⊙中，

              ∵四边形是内接四边形

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

     两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

               即：∵且过半径外端

                      ∴是⊙的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

     推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

     推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

     以上三个定理及推论也称二推一定理：

     即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

    切线长定理：

    从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

    即：∵、是的两条切线

        ∴平分

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

    即：在⊙中，∵弦、相交于点，

                  ∴

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

    即：在⊙中，∵直径，

                  ∴

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

    即：在⊙中，∵是切线，是割线

               ∴ 

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

    即：在⊙中，∵、是割线   ∴

十二、两圆公共弦定理

    圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

    如图：垂直平分。

即：∵⊙、⊙相交于、两点

    ∴垂直平分

十三、圆的公切线

    两圆公切线长的计算公式：

   （1）公切线长：中，；

    是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。

十四、圆内正多边形的计算

   （1）正三角形   

    在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；

   （2）正四边形

    同理，四边形的有关计算在中进行，：

   （3）正六边形

    同理，六边形的有关计算在中进行，.

十五 三角形外接圆   内切圆

   三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是  三边的垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心

锐角三角形外心在三角形内部。 

　　直角三角形外心在三角形斜边中点上。 

　　钝角三角形外心在三角形外。 

　　有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心） 

　　外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等 

　　过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心 

　　在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形） 

　　也可能在三角形上（如直角三角形） 

过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。 

　　三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。 

　　在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。 

　　内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。

　在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。 

　　　1、r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△内切圆的半径，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） 

　　　2、r=ab/ (a+b+c)

十六、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：；

（2）扇形面积公式： 

：圆心角  ：扇形多对应的圆的半径   ：扇形弧长：扇形面积

2、圆柱： 

（1）圆柱侧面展开图

     =

（2）圆柱的体积： 

（2）圆锥侧面展开图

（1）=

（2）圆锥的体积： 

圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的底面半径，母线长，高组成直角三角形，可利用勾股定理求解．

4、典型例题讲解或例文分析

点与圆的位置关系

1.已知四边形ABCD是菱形，设点E、F、G、H是各边的中点，试判断点E、F、G、H是否在同一个圆上，为什么？又自AC、BD的交点O向菱形各边作垂线，垂足分别为M、N、P、Q点，问:这四点在同一个圆上吗?为什么？

2.已知⊙O的直径为16厘米，点E是⊙O内任意一点，（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米，则最短弦在长度是多少？

垂径定理

1.如图，在⊙O中，弦AB=2a，点C是弧的中点，CD⊥AB,CD=b,则⊙O的半径R=______.

   2. ⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD∥O1O2 ,分别交两圆于点C、D.求证:CD= 2O1O2

3.如图7-12，圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面上升1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽AB为多少?

圆心角、圆周角

1.如图，设点P是⊙O的直径AB上的一点，在AB的同侧由点P到圆上作两条线段PQ、PR，若∠APQ=∠BPR.求证：△APQ∽△RPB.

2.如图，AB是⊙O的直径，D是的中点，CD交AB于点E，（！）求证：AD2=CD•DE; (2)若AC=,BC=,求BE的长。

3.如图，△ABC的高AD、BE交于点M，延长AD，交△ABC外接圆于点G,求证：D为GM的中点。

圆的内接四边形

1．圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，求证：(1)PB•AC＝PC•BD；

(2)点P到AD的距离与点P到BC的距离之比等于AD:BC.

2.四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥BC,对角线AC、BD相交于点E.求证：OE平分∠BEC.

直线和圆的位置关系

1.如图，AB是⊙O的直径，BP切⊙O于点B，⊙O的弦AC平行于OP。(1)求证：PC是⊙O的切线；

     (2)如果切线PC和BA的延长线相交于点D，且DA等于⊙O的半径，求证：.

    2.如图，AT切⊙O于点T，CB为⊙O直径，∠BCT=30O,CT=，求BC、AC、S△ABT .

 3.AB是⊙O的直径，CD⊥AB,AD、DB是方程x2-5x+4=0的两个根，求CD的长。

圆和圆的位置关系

1.如图，互相外切的两圆⊙O1和⊙O2都与∠MPN的两边PM、PN相切，若∠MPN=

60°，则小圆半径r1和大圆半径r2的比值为______．

2.如图，⊙O1与⊙O2外切于T点，过点了的直线分别交两圆于点A、B，∠AO1T＝80°，C是⊙O2上任一点，则∠TCB=_____．

3.如图，⊙O和⊙O1相交于A、B两点，一直线CEDF依次交⊙O于点C、D，交⊙O1于点E、F，则∠EAD+∠CBF＝_____度．

五、课内巩固性练习

 1.（2011福建福州）如图,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦切小圆于点,若,则大圆半径与小圆半径之间满足（      ）

  A．    B． C．     D．    

 2.（2011山东东营）如图，直线与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O。若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（   ）

A．2     B．3     C．4     D．    5

 3.（2011四川广安）如图l圆柱的底面周长为6cm，是底面圆的直径，高= 6cm，点是母线上一点且=．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（       ）  

   A．（）cm  B．5cm    C．cm    D．7cm

 4.（11湘潭）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径 OA＝10 m，高度CD为_    ____m．

 5.（2011四川宜宾）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____．

 6.如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是     

       7.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标（0，4），M是圆上

      一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

8.（11南昌）如图，为⊙O的直径，于点，交⊙O于点，于点．

（1）请写出三条与有关的正确结论；

（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．

 9.（2011广东肇庆）已知：如图， ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD． 

（1）求证：∠DAC ＝∠DBA；

（2）求证：是线段AF的中点； 

（3）若⊙O 的半径为5，AF ＝，求tan∠ABF的值．

六、课内巩固性练习批阅及讲解    

教学内容与过程（三）

1、本次课你学到了什么知识                                                                 

2、你对本次课评价：    特别满意    满意      一般      差        学生签字：

兼职教师课堂情况反馈（便于学管师回访）：

                                                               教师签字：