习题7-3定积分的计算

⒈  设函数连续，求下列函数的导数：

（2）。

（3）。

⒉ 求下列极限：

（2）。

（3）。

（4）。

⒊ 设是上的连续函数且恒有，证明是定义在 上的单调增加函数。

证  因为 

，

所以是定义在 上的单调增加函数。

4. 求函数的极值。

解 ，令，得到。因为当时，

，当或时，，所以是极小值点，

不是极值点。由

            ,

可知在处有极小值。

5 利用中值定理求下列极限：

=。

（2）由积分第一中值定理，，使得，

所以 

。

6.  求下列定积分：

     （2）。

（3）。

（4）。

（5）。

（6）。

（7）。（奇函数在对称区间上的积分为零）

（8）

     。

（9），由

， 得到，所以  

。

（10）

      , 

所以 

。

（11）

      。

（12）

      ,

所以 

。

（13）

。

（14）令，于是 

。

（15）

。

（16） 令 ，则 

。

（17）令，则 ，于是

 。

注：本题也可令，得到

。

（18） 。

（19）。

（20） 

       。

注：本题也可令，得到

。

7.  求下列极限：

（2）原式=。

（3）原式=。

8.  求下列定积分：

在第二个积分中，令，则

 ，

所以当为奇数时，;

当为偶数时，。

（2）当为奇数时，显然；

  当为偶数时，

，

在积分中，令，则

       ，

所以 

。

（3）令，则

。

（4）令，则

       。

（5）

  。

（6）

            。

9.  设在上连续，证明：

。

   （2）令，则 

，

所以

 =。

10.  利用上题结果计算：

（2）。

（3）

    。

11.  求下列定积分： 

（2）。

（3）当时，

；

     当时，

；

     当时，

。

（4）

             。

12．设在上可积且关于对称，这里。则

。

   并给出它的几何解释。

证  ，

由于关于对称，所以，于是，令，则

，

所以 

。

从几何上说，由于关于对称，所以积分与积分表示的是相同的面积，从而上述等式成立。

13．设 计算。

 解  令，则

          。

14．设函数，其中函数在上连续，且，，证明，并计算和。

 解  ，

等式两边求导，得到 

         。

再求导，得到，所以 

，。

15．设上的连续函数满足，求。

 解  记，则 ，于是

，

所以 

。

16. 设函数连续，且，。求。

解 在中，令，则 

，

于是 

，

两边求导，得到 

，

将 代入上式，得到

 。

17. 求，其中为正整数。

解  首先有

，

。

当时， 

   ；

当时，

。

所以 

。

18. 设函数, 求。

 解  设，为正整数，则 。由于

   ，，

可知 

，

所以 

。

19. 设在上连续，且对于任何有

常数，。

证明：，，其中为常数。

 证  在两边关于求导，得到 

。

取，则，此式对任何都成立。记，就得到 

，。

20. 设在上连续，证明

。

 证  令，则 ，于是

              ，

所以 

。

21．设在上连续。证明

。

证  由于在上连续，可设 及

，。于是

。

另一方面，由积分中值定理，，使，于是 

。

所以 

。

22．设在上连续，证明

。

证  利用分部积分法，

=。

注：本题也可令，证明。

23. 设在上二阶可导（），且，证明：

。

证  将在展开成1阶的Taylor公式，有

，。

由 ，得到

。

对上述不等式两边从到积分，由于，就得到     

。

24. 设函数在上二阶可导，且，, 证明：

。

证  将在展开成1阶的Taylor公式，有

，。

由 ，得到，，再用替换，即得到

 。

对上述不等式两边从到积分，由于，就得到    

 。

25．设为上的单调减少函数, 证明：对任何正整数成立

。

 证  ，

在与中，分别令与

，得到

，

。

由于在上单调减少，在上非负，所以

。

26. 设函数在上连续，且，。证明：在内至少存在两个不同的点，，使得。

 证 证明一： 设，，则 

，

， 

，

对在上应用Rolle定理, 可知存在, 使得 , 即，再在和上对分别运用Rolle定理，可知，使得

。

证明二：用反证法。若不然，只有一个点，使得，由

于在上连续，所以在和上异号，不妨设在

中，在中。

   设，则 ，可知在中

单调减少，而在中单调增加，从而。

另一方面，在上不恒等于零（否则恒为零与反证法假

设矛盾），于是 

，

与题设矛盾。