江苏省南京市、盐城市2022届高三上学期期末考试(一模)数学

数学

(满分：150分考试时间：120分钟)

2022．1

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合M＝{y|y＝sin x，x∈R}，N＝{y|y＝2x，x∈R)，则M∩N＝()

A.[－1，＋∞)

B.[－1，0)

C.[0，1]

D.(0，1]

2.在等比数列{a n}中，公比为q.已知a1＝1，则0A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X～N(110，100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为()

(参考数据：P(|X－μ|<σ)≈0.68，P(|X－μ|<2σ)≈0.95)

A.16

B.10

C.8

D.2

4.若f(α)＝cosα＋isinα(i为虚数单位)，则[f(α)]2＝()

A.f(α)

B.f(2α)

C.2f(α)

D.f(α2)

5.已知直线2x＋y＋a＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝()

A.－4或2

B.－2或4

C.－1±3

D.－1±6

6.在平面直角坐标系xOy中，设A(1，0)，B(3，4)，向量OC→＝xOA→＋yOB→，x＋y＝6，则|AC→|的

最小值为()

A.1

B.2

C.5

D.25

7.已知α＋β＝π

4

(α>0，β>0)，则tanα＋tanβ的最小值为()

A.2

2

B.1

C.－2－22

D.－2＋22

8.已知f(x)

e x－4，x≤4，

（x－16）2－143，x>4，则当x≥0时，f(2x)与f(x2)的大小关系是()

A.f(2x)≤f(x2)

B.f(2x)≥f(x2)

C.f(2x)＝f(x2)

D.不确定

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.若函数f(x)＝cos2x＋sin x，则关于f(x)的性质说法正确的有()

A.偶函数

B.最小正周期为π

C.既有最大值也有最小值

D.有无数个零点

10.若椭圆C：x2

9＋y2

b2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1

，F2，则下列b的值能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有()

A.b＝2

B.b＝3

C.b＝2

D.b＝5

11.若数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n－1，记在数列{a n}的前n＋2(n∈N*)项中任取两项都是正数的概率为P n，则()

A.P1＝1

B.P2n3

C.P2n－1D.P2n－1＋P2n12.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB ＝AD＝CD＝1，BC＝PA＝2.记四棱锥PABCD的外接球为球O，平面PAD与平面PBC的交线为l，BC的中点为E，则()

A.l∥BC

B.AB⊥PC

C.平面PDE⊥平面PAD

D.l被球O截得的弦长为1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.若f(x)＝(x＋3)5＋(x＋m)5是奇函数，则m＝________．

14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3b，则cos B的最小值是________．

15.计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制，一个十进制数n(n∈N*)可以表示成二进制数(a0a1a2…a k)2，k∈N，则n＝a0·2k＋a1·2k－1＋a2·2k－2＋…＋a k·20，其中a0＝1，当i≥1时a i∈{0，1}．若记a0，a1，a2，…，a k中1的个数为f(n)，则满足k＝6，f(n)＝3的n的个数为________．

16.已知：若函数f(x)，g(x)在R上可导，f(x)＝g(x)，则f′(x)＝g′(x).又英国数学家泰勒发现了一

个恒等式e2x＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n＋…，则a0＝________，＝________．(第一空2分，第二空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分10分)

＝3S△BCD；③DB→·DC→＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面的从①sin D＝sin A；②S

△ABC

问题中，并完成解答．

已知点D在△ABC内，cos A>cos D，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，若________，求△ABC 的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.(本小题满分12分)

已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋4，数列{b n}的首项为b1＝2.

(1)若{b n}是公差为3的等差数列，求证：{ab n}也是等差数列；

(2)若{ab n}是公比为2的等比数列，求数列{b n}的前n项和．佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：

年度2018201920202021

年度序号x1234

不戴头盔人数y125010501000900

(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程y＝b x＋a，并估算

该路口2022年不戴头盔的人数；

(2)交警统计2018～2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？

不戴头盔戴头盔

伤亡73

不伤亡1327

参考公式和数据：

K2

＝

n（ad－bc）2

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

，其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.005

k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879

在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1＝13，AB ＝8，BC ＝6，AB ⊥BC ，AB 1＝B 1C ，D 为AC 中点，平面AB 1C ⊥平面ABC.

(1)求证：B 1D ⊥平面ABC ；

(2)求直线C 1D 与平面AB 1C 所成角的正弦值．

21.(本小题满分12分)

设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A ，虚轴长为2，两准线间的距离为26

3.

(1)求双曲线C 的方程；

(2)设动直线l 与双曲线C 交于P ，Q 两点，已知AP ⊥AQ ，设点A 到动直线l 的距离为d ，求d 的最大值．

(1)求函数f(x)在x＝1处的切线方程；

(2)若x1，x2为函数f(x)的两个不等于1的极值点，设P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，求证：k＋22021～2022学年高三年级期末试卷(南京、盐城)

数学参及评分标准

1.D

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.D

8.B

9.CD 10.ABC 11.AB 12.ABD 13.－314.22315.1516.1

201117.解：若选①.

∵cos A ＞cos D ，A ∈(0，π)，D ∈(0，π)，∴A ＜D .

又sin D ＝sin A ，∴D ＋A ＝π，∴cos D ＝－cos A ．(4分)

设BC ＝x ，在△ABC 与△BCD 中，由余弦定理得

cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝42＋62－x 22×4×6，cos D ＝DB 2＋DC 2－BC 22DB ·DC ＝42＋22－x 22×4×2

，∴42＋22－x 22×4×2＝－42＋62－x 22×4×6

，(6分)解得x 2＝28,∴cos A ＝42＋62－282×4×6

＝12.(8分)∵A ∈(0，π)，∴A ＝

π3，∴S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×6×4×32＝6 3.(10分)若选②.

∵S △ABC ＝3S △BCD ，∴12AB ·AC sin A ＝3×12

DB ·DC sin D .又AB ＝6，AC ＝BD ＝4，CD ＝2，∴12×6×4sin A ＝3×12

×4×2sin D ，∴sin D ＝sin A ．(2分)

∵cos A >cos D ，A ∈(0，π)，D ∈(0，π)，∴A 又sin D ＝sin A ，∴D ＋A ＝π，∴cos D ＝－cos A ．(4分)

设BC ＝x ，在△ABC 与△BCD 中由余弦定理得

cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝42＋62－x 22×4×6，cos D ＝DB 2＋DC 2－BC 22DB ·DC ＝42＋22－x 22×4×2

，∴42＋22－x 22×4×2＝－42＋62－x 22×4×6

，(6分)解得x 2＝28，∴cos A ＝42＋62－282×4×6

＝12.(8分)∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×6×4×32＝6 3.(10分)若选③.

在△BCD 中，由余弦定理得

BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ×DC ·cos D ＝DB 2＋DC 2－2DB →·DC →＝42＋22－2×(－4)＝28.(4分)

在△ABC 中，由余弦定理得

cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝42＋62－282×4×6

＝12.(8分)∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3

，∴S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×6×4×32＝6 3.(10分)18.(1)证明：∵{b n }是公差为3的等差数列，∴b n ＋1－b n ＝3.(2分)

又a n ＝2n ＋4，

∴ab n ＋1－ab n ＝2(b n ＋1＋4)－2(b n ＋4)＝2(b n ＋1－b n )＝6，

∴{ab n }是等差数列．(6分)

注：写出b n ＝3n －1得2分．

(2)解：∵{ab n }是公比为2的等比数列，首项为ab 1＝a 2＝2×2＋4＝8，∴ab n ＝8×2n －1＝2n ＋2.(8分)

又ab n ＝2b n ＋4＝2n ＋2，∴b n ＝2n ＋1－2，(10分)

则数列{b n }的前n 项和

S n ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(2n ＋1－2)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－2n ＝2n ＋2－2n －4.(12分)

19.解：(1)由表中数据知，x ＝

1＋2＋3＋44＝52，y ＝1250＋1050＋1000＋9004＝1050，所以b ＝∑n i ＝1x i y i －nxy ∑n i ＝

1x 2i －nx 2＝9950－1050030－25＝－110，(2分)所以a ＝y －b x ＝1050－(－110)×5

2＝1325，故所求回归直线的方程为y ＝－110x ＋1325.(4分)令x ＝5，则y ＝－110×5＋1325＝775(人)，

故该路口2022年不戴头盔的人数约775人．(6分)

(2)提出假设H 0：不戴头盔行为与事故伤亡无关．

由表中数据得K 2＝50×（7×27－3×13）210×30×40×20

＝4.6875>3.841.(9分)而P(K 2≥3.841)＝0.05，

故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．(12分)

20.(1)证明：∵AB 1＝B 1C ，D 为AC 中点，∴B 1D ⊥AC ，(2分)

∵平面AB 1C ⊥平面ABC ，平面AB 1C ∩平面ABC ＝AC ，B 1D ⊂平面AB 1C ，

∴B 1D ⊥平面ABC.(5分)

(2)解：(解法1：向量法)在平面ABC 内过点D 分别作AB ，BC 的平行线，交AB ，BC 于点E ，F.

由(1)知B 1D ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，以{DE →，DF →，DB 1}为基底建立如图所示的空间直角坐标系

Dxyz.(7分)

∵AB ＝8，BC ＝6，∴AC ＝10，BD ＝5.

∵AA 1＝BB 1＝13，∴B 1D ＝12，

得D(0，0，0)，A(3，－4，0)，B(3，4，0)，C(－3，4，0)，B 1(0，0，12).

设点C 1(x ，y ，z)，由BC →＝B 1C 1，得(－6，0，0)＝(x ，y ，z －12)，

即点C 1(－6，0，12)，则AC →＝(－6，8，0)，B 1C ＝(－3，4，－12)，C 1D ＝(6，0，－12).

设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·AC →＝－6x ＋8y ＝0，

n ·B 1C ＝－3x ＋4y －12z ＝0，得3x ＝4y ，z ＝0.

不妨取x ＝4，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(4，3，0).(10分)

设直线C 1D 与平面AB 1C 所成的角为θ，

则sin θ＝|cos 〈n ，C 1D 〉|＝|n ·C 1D ||n |·|C 1D |＝|6×4＋0×3＋（－12）×0|5·62＋02＋（－12）2

＝4525.(12分)(解法2：综合法)设B 1C ∩BC 1＝M ，由BM ＝MC 1知点C 1到平面AB 1C 的距离d 和点B 到平面AB 1C 的距离相等．

过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接C 1H (图略)，

∵BH ⊥AC ，平面AB 1C ⊥平面ABC ，平面AB 1C ∩平面ABC ＝AC ，BH ⊂平面ABC ，∴BH ⊥平面AB 1C ，则BH 为点B 到平面AB 1C 的距离．(7分)

在Rt △ABC 中，易知d ＝BH ＝6×810

＝245.(9分)由(1)知B 1D ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴B 1D ⊥BC .

∵B 1C 1∥BC ，∴B 1D ⊥B 1C 1，则△B 1DC 1为直角三角形．

∵AB ＝8，BC ＝6，AB ⊥BC ，∴AC ＝10，BD ＝5.

∵AA 1＝BB 1＝13，∴B 1D ＝12.

∵B 1C 1＝BC ＝6，∴C 1D ＝62＋122＝6 5.(11分)

设直线BC 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝d C 1D ＝24565＝4525

.(12分)(解法3)设B 1C ∩BC 1＝M ，由BM ＝MC 1知点C 1到平面AB 1C 的距离d 和点B 到平面AB 1C 的距离相等．

利用等积法VB 1ABC ＝VBAB 1C ，求点B 到平面AB 1C 的距离．下同解法2.

21.解：(1)由虚轴长为2知b ＝22

，(1分)

由两准线间的距离为263知a 2c ＝63

，(2分)平方得3a 4＝2c 2＝2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋12

)，解得a 2＝1，故双曲线方程为x 2－2y 2＝1.(4分)(2)①若动直线l 的斜率不存在，则设l ：x ＝t ，代入双曲线方程得P (t ，

t 2－12)，Q (t ，－t 2－12).由AP ⊥AQ ，得(t －1)2－t 2－12

＝0，解得t ＝3或t ＝1(舍)，此时点A 到l 的距离为d ＝2；(6分)②若动直线l 的斜率存在，则可设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋t ，

代入双曲线的方程，得(1－2k 2)x 2－4ktx －(2t 2＋1)＝0，

则x 1＋x 2＝4kt 1－2k 2，x 1x 2＝－2t 2＋11－2k

2.(8分)由AP ⊥AQ 知(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0.

由y ＝kx ＋t 可知(x 1－1)(x 2－1)＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0，

化简：得(1＋k 2)x 1x 2＋(kt －1)(x 1＋x 2)＋t 2＋1＝0，

代入x 1＋x 2＝4kt 1－2k 2，x 1x 2＝－2t 2＋11－2k 2

，化简，得(3k ＋t )(k ＋t )＝0.(10分)若k ＋t ＝0，则直线经过右顶点A ，舍去；

故3k ＋t ＝0，即直线经过定点M (3，0)，(11分)

则d ≤AM ＝2.

综上①②，d 的最大值为2.(12分)

注：也可建立d 关于k 的函数解析式来求最值，参照评分．

22.解：(1)由f (x )＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax ，得f ′(x )＝－3x

＋3x 2＋2ax －2a ，所以f ′(1)＝0.又f (1)＝－3ln 1＋13＋a ·12－2a ·1＝1－a ，

所以函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝1－a .(3分)

(2)由(1)得f ′(x )＝x －1x

[3x 2＋(2a ＋3)x ＋3]，因为x 1，x 2为函数f (x )的两个不等于1的极值点，且不妨设x 1>x 2>0，所以x 1＋x 2＝－2a ＋33

，x 1x 2＝1，(5分)

＝（2a ＋3）2－36>0，a ＋3<0，

所以a <－92，(6分)直线PQ 的斜率为k ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝3ln x 1x 2x 2－x 1

＋x 22＋1＋x 21＋a (x 2＋x 1)－2a ，(7分)先证：ln x 1x 2>2（x 1－x 2）x 1＋x 2(x 1>x 2>0).证明：令x 1x 2＝u >1，不等式即证φ(u )＝ln u －2（u －1）u ＋1

>0，所以φ′(u )＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2

>0，所以φ(u )在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t )>φ(1)＝0，故不等式成立．(9分)

所以k ＝3ln

x 1

x 2x 2－x 1＋(x 2＋x 1)2－2x 1x 2＋1＋a (x 2＋x 1)－2a <－6x 2＋x 1＋(x 2＋x 1)2－1＋a (x 2＋x 1)－2a .令x 1＋x 2＝t ，则a ＝－

3t ＋32<－92，所以t >2，则k <－6t ＋t 2－1－3t ＋32(t －2)，所以k <（t －2）（t 2＋2t ＋3）t －（3t ＋3）（t －2）2＝t －22

(－t ＋6t ＋1).因为t >2，所以k (－2＋62＋1)＝t －2，故k ＋2