2018年高一物理竞赛完整讲义(word版)含答案解析第8讲 电势 电势能.教师版

1.电势的概念

2.电势与场强的关系

3.电势叠加原理

4.电势分布图

    本讲的概念看似深奥抽象，其实有很多相似的概念可以类比；本讲的题看似思路单一，计算简洁，但是对于物理思想方法的提炼帮助很大。

一 定义概念体系

引入：势的概念

     物理学名词 [potential]。亦称“位”。当一个物理量只随空间变化的时，这种随着空间分布的物理量就可以叫势。比如地理图中的等高面，每个面上的点势都是一样的，表示这种高度的物理量就可以叫重力势。

 物理学的核心竞争力在于更高效率的描述现实规律，我们不妨反省以上定义的行为，定义重力势（高度）的最大作用对于计算重力做功与重力作用下能量变化会减少描述的步骤。所以在我们了解了电场力的性质后，我们继续研究电场力做功的特点，并定义一个类似重力势能的概念--电势能。

知识点睛

1．电场力做功的特点

在静电场中，电场力对移动电荷做功，只与始末位置有关，与电荷的运动路径无关（这一点理解不难，用点电荷的力推理一下就可以了，不过要写成严格的数学表达式有些废纸，略去了）．只要在电场中初末位置、确定了，移动电荷做的功便确定了．如果在电场中沿闭合路径运动一周，则电场力做功为零，这跟重力做功的情况类似。

2．电势差

  适用于任何电场．

电势差与移动电荷的路径和电荷量无关，只跟两点的位置有关．在电场中任何两点间的电势差都有确定的值，不能认为与成正比，与成反比．

，若，其意义是点电势比点电势低，或者说点电势比点电势高．

3．电势

电场中某点的电势，等于该点与零电势点间的电势差，在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场所做的功．令，则．

电势具有相对性，电势的数值与零点电势点的选取有关，零点电势点的选取不同，同一点的电势的数值则不同，理论研究中，通常以无限远点为零电势点，在实际处理问题中，又常取大地为零电势．

电势是标量，但有正负，表示各点电势的高低．在规定零电势点后，电场中各点的电势可以是正值，也可以是负值，正值表示该点电势高于零电势，负值表示该点电势低于零电势．

沿着电场方向，电势越来越低．电场强度的方向是电势降低最快的方向．

4．电势高低的判断方法

电场线法：顺着电场线方向电势逐渐降低．

由及来判断：若，则，若，则，若，则．

根据场源电荷的电场来判断：在正电荷产生的电场中，离它越近电势越高；在负电荷产生的电场中，离电荷越近电势越低．

根据电场力做功来判断：正电荷在电场力作用下移动时，电场力做正功，电荷由高电势处移向低电势处；正电荷克服电场力做功，电荷由低电势处移向高电势处，对于负电荷，情况恰好相反．

5．电势能

电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，通常习惯说成是电场中的电荷具有多少电势能．

电势能是一个相对量，其数值与零电势能的选择有关，因此确定电荷的电势能首先确定参考点，也就是零电势能位置，即电势为零的位置．

电势能是标量，电势能的正负仅表示大小，正值有示高于零电势能；负值有示低于零电势能．

电场做功与电势能变化的关系：电场力对电荷做正功，电势能减少，电场力对电荷做负功，电势能增加，且电势能的改变量等于电场力做功的多少，即．

6.等势面的特点

既然电场中我们根据其做功的特点定义了每一个点有一个电势，那么我们把电势相等的点连接就成为一个等势面。不难得出，等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直．

电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面．

在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．

不同的等势面不会相交．

等差等势面越密的地方，电场强度越大，即等差等势面的分布疏密可以描述电场强弱．

8．电势与电场强度的关系

在匀强电场中，沿电场强度方向的两点间的电势差等于场强与这两点的距离的乘积，． 

如果电场中两点不沿场强方向，的取值应为在场强方向的投影，即电场中两点所在的等势面的垂直距离．

对于非匀强场，我们只需要对局部求导即可，即：

以上三个式子简便记作：。

9.电势叠加原理

电势和场强一样，也可以叠加．因为电势是标量，因此在点电荷组形成的电场中，任一点的电势等于每个电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，这就是电势叠加原理．叠加原理原因是因为功的叠加原理是代数叠加。

例题精讲

【例1】电荷面密度一样的两块“无限大”均匀带异种电的平行平板，放在与平面相垂直的x轴上的+a和－a位置上，如图所示．设坐标原点O处电势为零，则在－a＜x＜+a区域的电势分布曲线为（ ）

 【答案】c

【例2】如图，三根绝缘细棒构成等边三角形，棒上均匀带电，点是三角形的中心，是点相对于边的对称点，测得两点的电势分别是，．现在将棒取走，并设棒上的电荷分布保持原样，试求，点的电势．

    【答案与提示】利用叠加原理，每根棒在A电势大小一样不妨设为U1，设ac与ab在B电势为    U2，列式解U1与U2

【例3】有N个电量均为q的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无规则地分布，另一种是均匀分布．比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平面的Z轴上任一点p的场强与电势，则有               （   ）

（A）场强相等，电势相等．

（B）场强不等，电势不等．

（C）场强分量Ez相等，电势相等．

（D）场强分量Ez相等，电势不等．

【答案】C

二．几种常见带电体的电势分布

1.点电荷周围的电势

如图所示，场源电荷电量为，在离为的点处有一带电量为的检验电荷，现将该检验电荷由点移至无穷远处（取无穷远处为零电势），由于此过程中，所受电场力为变力，故将移动的整个过程理解为由移至很近的（离距离为）点，再由移至很近的（离距离为）点……直至无穷远处．在每一段很小的过程中，电场力可视作恒力，因此这一过程中，电场力做功可表示为：

.

所以点电荷周围任一点的电势可表示为：式中为场源电荷的电量，为该点到场源电荷的距离．

2.可以推导一些对称分布的带电体的电势分布

(1)均匀带电球壳产生的电场 设球壳的电荷量为，半径为，则: 

(2)均匀带电球体产生的电场 高球的电荷量为，半径为，则:

例题精讲

【例4】如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点， = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。

【解析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL ，它在P点形成的电势

ΔU = k

环共有段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。       

【思考】如果电荷在上面不均匀分布结论改变么

【例5】一个金属球，半径为R，本身不带电，距离球心L远处有一个点电荷q。

（1）计算球心处电势。

（2）如果L>R,且已知整个球以及球的内部电势处处一样（下讲讲介绍这个结论），计算整个球的电势。

【答案】Kq/L

【例6】两个点电荷位于轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正轴上各点的电势如图中曲线所示，当时，电势：当时，电势；电势为零的点的坐标, 电势为极小值的点的坐标为．试根据图线提供的信息，确定1.这两个点电荷所带电荷的符号

        2.电量的大小

        3.它们在轴上的位置．

【解析】在点电荷形成的电场中一点的电势与离开该点电荷的距离成反比。因为取无限远处为电势的零点，故正电荷在空间各点的电势为正；负电荷在空间各点的电势为负。现已知处的电势为零，故可知这两个点电荷必定是一正一负。根据所提供的电势的曲线，当考察点离坐标原点很近时，电势为正，且随的减小而很快趋向无限大，故正的点电荷必定位于原点处，以表示该点电荷的电量。当从0增大时，电势没有出现负无限大，即没有经过负的点电荷，这表明负的点电荷必定在原点的左侧。设它到原点的距离为，当很大时，电势一定为负，且趋向于零，这表明负的点电荷的电量的数值应大于。即产生题目所给的电势的两个点电荷，一个是位于原点的正电荷，电量为；另一个是位于负轴上离原点距离处的负电荷，电量的大小为，且＞。按题目所给的条件有                                             （1）

                                         （2）

因时，电势为极小值，故任一电量为的正检测电荷位于处的电势能也为极小值，这表明该点是检测电荷的平衡位置，位于该点的检测电荷受到的电场力等于零，因而有

                                         （3）

由式（1）、（2）和（3）可解得

                                                       （4）

                                                      （5）

                                              （6）

式中为静电力常量。

【例7】电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP ，试求Q点的电势UQ 。

【解析】将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图所示。

从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变。

而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。

考查P点，UP = k + U半球面

其中 U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U半球面= －UQ 

以上的两个关系已经足以解题了。

【答】UQ = k － UP 。

【例8】如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为和，带有净电量，现在其内部距球心为的地方放一个电量为的点电荷，试求球心处的电势．

【答案】Uo = k － k + k 。

【例9】半径为的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为的电荷，求该球开口处圆面上任一点的电势．

【解析】注意到开口圆是个等势面，所以任意点电势等于球心处电势，所以

【例10】两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB ，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。

【解析】这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。

此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果，它是点电荷q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时在A中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心O点为对象，有

UO = k + k + k = 0

QB应指B球壳上的净电荷量，故 QB = 0

所以 QA = －q

【例11】在一个半径为的导体球外，有一个半径为的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为，且与环面垂直，如图所示．已知环上均匀带电，总电量为，且已知整个球以及内部电势处处一样，试问：

⑴ 当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少?

⑵ 当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何?

⑶ 当导体球的电势为U时，球上总电荷又是多少?

⑷ 情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何?(选讲)

【答案】1）       2）   3）       4）

【例12】图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000 V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以 Ek＝2000 eV 的动能沿与O O平行的方向射向a．以l表示b与O O线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值．

【解析】令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，表示元电荷，由能量守恒可知                                  

因为a不动，可取其球心为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对点的角动量守恒。所求的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切。以表示的最大值，由角动量守恒有

由式（1）、（2）可得                                 

代入数据，可得                         

【例13】两个异号的点电荷，其带电的大小比为，互相距离为，证明电势为的等势面为一个球面，并求该球的半径，并问什么时候该球面变成一个平面．（提示，建立坐标系计算）

【提示】只要求学生列出式子即可

【总结】有几个关键的推导原则，处于静电平衡的物体：

1.金属实体内部处处是等势的，如金属空腔内无电荷，则电势也处处相等。

2.两点等势，两点间一定不能有电场线，反之亦反。静电场电场线一定由正电荷发出，终止于等量异种电荷。

3.均匀带电球壳在内部处处电势一样

4.非均匀带电球壳在球心处电势等于，但并不是处处一样。计算必须巧妙实用等效原理构造。

课后练习

1.如图所示，半径为r的金属球远离其他物体，通过R的电阻器接地。电子束从远处以速度v落到球上，每秒钟有n个电子落到球上。试求金属球每秒钟释放的热量及球上电量。

2.半径为Ra的导体球A外，同心地放置半径分别为Rb、Rc（Rc＞Rb）的导体球壳B和C，已知A的电势为Ua，B的净电荷为零，C的净电荷为Qc，试问：

（1）用导线将A和B连接后，A的电势增量ΔU1为多少？

（2）再用导线将B和C连接后，A的第二次电势增量ΔU2为多少？

3.一个半径为a的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U0，将此球靠近圆心为O1、半径为b的接地的导体球，只有球中心O位于球面上，如图所示，试求球上感应电荷的电量。

库仑与库伦定律

库仑，电磁学奠基人之一，于1736年6月14日出生于法国昂古莱姆．在青少年时期，受到了良好的教育．后来到巴黎军事工程学院学习，离开学校后，他进入西印度马提尼克皇家工程公司工作．八年后，他又在埃克斯岛瑟堡等地服役．法国大时期，库仑辞去一切职务，到布卢瓦致力于科学研究工作，他把主要精力放在研究工程力学和静力学问题上．

1777年法国科学院悬赏，征求改良航海指南针中的磁针的方法．库仑认为磁针支架在轴上，必然会带来摩擦，要改良磁针，必须从这根本问题着手．他提出用细头发丝或丝线悬挂磁针．同时他对磁力进行深入细致的研究，特别注意了温度对磁体性质的影响．他又发现线扭转时的扭力和针转过的角度成比例关系，从而可利用这种装置算出静电力或磁力的大小．这导致他发明了扭秤，扭秤能以极高的精度测出非常小的力．

人类对电现象的熟悉、研究，经历了很长的时间。直到16世纪人们才对电的现象有了深入的熟悉。吉尔伯特比较系统地研究了静电现象，第一个提出了比较系统原始理论，并引人了“电吸引”这个概念。但是吉尔伯特的工作仍停留在定性的阶段，进展不大。18世纪中叶，人们借助于万有引力定律，对电和磁做了种种猜测。18世纪后期，科学家开始了电荷相互作用的研究。 

富兰克林最早观察到电荷只分布在导体表面。普利斯特利重复了富兰克林的实验，在《电学的历史和现状》一书中他根据牛顿的《自然哲学的数学原理》最先预言电荷之间的作用力只能与距离平方成反比。虽然这个思想很重要，但是普利斯特利的结论在当时并没有得到科学界的重视。 

在库仑定律提出前有两个人曾作过定量的实验研究，并得到明确的结论。可惜，都没有及时发表而未对科学的发展起到应有的推动作用。一位是英国爱丁堡大学的罗宾逊，认为电力服从平方反比律，并且得到指数n=2.06，从而电学的研究也就开始进行精确研究。不过，他的这项工作直到1801年才发表。另一位是英国的卡文迪许。1772～1773年间，他做了双层同心球实验，第一次精确测量出电作用力与距离的关系。发现带电导体的电荷全部分布在表面而内部不带电。卡文迪许进一步分析，得到n=2.002。他的这个同心球实验结果在当时的条件下是相当精确的。但可惜的是他一直没有公开发表这一结果。 

库仑的扭秤巧妙的利用了对称性原理按实验的需要对电量进行了改变。库仑让这个可移动球和固定的球带上同量的同种电荷，并改变它们之间的距离。通过实验数据可知，斥力的大小与距离的平方成反比。但是对于异种电荷之间的引力，用扭称来测量就碰到了麻烦。经过反复的思考，库仑借鉴动力学实验加以解决。库仑设想：假如异种电荷之间的引力也是与它们之间的距离平方成反比，那么只要设计出一种电摆就可进行实验。 

通过电摆实验，库仑认为：“异性电流体之间的作用力，与同性电流体的相互作用一样，都与距离的平方成反比。”库仑利用与单摆相类似的方法测定了异种电荷之间的引力也与它们的距离的平方成反比，不是通过扭力与静电力的平衡得到的。可见库仑在确定电荷之间相互作用力与距离的关系时使用了两种方法，对于同性电荷，使用的是静电力学的方法；对于异性电荷使用的是动力学的方法。 

库仑注重修正实验中的误差，最后得到：“在进行刚才我所说的必要的修正后，我总是发现磁流体的作用不管是吸引还是排斥都是按距离平方倒数规律变化的。”但是应当指出的是，库仑只是精确的测定了距离平方的反比关系，并把静电力和静磁力从形式归纳于万有引力的范畴，我们这里要强调的是库仑并没有验证静电力与电量之积成正比。“库仑仅仅认为应该是这样。也就是说库仑验证了电力与距离平方成反比，但仅仅是推测电力与电量的乘积成正比。” 

库仑定律是平方反比定律，自发现以来，科学家不断检验指数2的精度。1971年威廉等人的实验表明库仑定律中指数2的偏差不超过10-16，因此假定为2。事实上，指数为2和光子静止质量为零是可以互推的。其实假如不为零，即使这个值很小，也会动摇物理学大厦的重要基石，因为现有理论都是以等于零为前提。到目前为止，理论和实验表明点电荷作用力的平方反比定律是相当精确的。200多年来，电力平方反比律的精度提高了十几个数量级，使它成为当今物理学中最精确的实验定律之一。回顾库仑定律的建立过程，库仑并不是第一个做这类实验的人，而且他的实验结果也不是最精确的。我们之所以把平方反比定律称为库仑定律是因为库仑结束了电学发展的第一个时期。库仑的工作使静电学趋于高度完善。电量的单位也是为了纪念库仑而以他的名字命名的。