初中数学直角三角形的判定

1.熟练掌握勾股定理，并会用勾股定理去验证、直角三角形的判别条件以及勾股数。

2运用所学勾股定理解决一些问题

3.经历探索勾股定理过程，发展合情推理能力，体会由特殊到一般及数形结合思想。

1. 掌握好勾股定理并能运用勾股定理解决遇到的相关实际问题。

2. 掌握好勾股定理的逆定理。

3. 能熟练的区分勾股定理和勾股定理的逆定理。

4. 能把勾股定理和勾股定理的逆定理运用于实际，解决实际问题。

一、导入

【典型例题】

1、关于勾股定理

结论——如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

注意：

（1）由于我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此上结论被称为“勾股定理”。

（2）勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦和古中国人最早发现（看出）了这个关系，古希腊毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，因此，国际上称该结论为“毕达哥拉斯定理”

（3）勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的性质。它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，体现了重要的数学思想-数形结合。

（4）勾股定理不仅源于生活，同时又广泛应用于生活。

2、关于勾股逆定理

结论——如果直角三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

（且∠C=90°）

注意：

（1）勾股定理是直角三角形的性质定理，而此结论是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定直角三角形中哪一个角为直角，这种利用计算的方法来证明的方法，体现了数形结合的思想。

（2）事实上，当三角形三边为a、b、c，且c为最大边时，

①若a2+b2=c2，则∠C为直角；

②若c2>a2+b2，则∠C为钝角；

③若c2（3）满足条件a2+b2=c2的三个整数，称为勾股数。

常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。

3、关于勾股定理的证明

这里再介绍几种典型的利用拼图验证的方法：

（1）赵爽的方法——如图，由大正方形面积等于四个小直角三角形及中间一个小正方形面积之和，可得勾股定理。

（2）拼图的方法——如图，由图1中两个小正方形的面积之和等于图2中的小正方形面积可得勾股定理。

（3）总统的方法——如图，用两个全等的正方形纸板拼得，由梯形面积等于三个三角形面积之和可得勾股定理。

（4）七巧板拼法——利用两付同样大小的七巧板拼图，也能验证勾股定理。

四．典型例题

例1] 已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm，求：第三边的长。

解：（1）已知的两边若是直角边，则第三边是斜边。

根据勾股定理，斜边c2＝a2+b2=32+42=52

所以第三边（斜边）的长为5cm。

（2）已知的两边若一边是直角边、另一边是斜边，则较大的斜边，第三边就为另一条直角边。

根据勾股定理：c2＝a2+b2，则b2=c2-a2=42-32=17，所以第三边（直角边）的长为。

答：第三边长是5cm或。

点析：因为不清楚已知的两边是否全是直角边还是其中一条是斜边，所以在求第三边的长时，应考虑到分类进行，从而避免漏解。

[例2] 如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,CA=13求BC边上的高AD。

解：设CD=x，则BD=14-x，在RT△ABD和RT△ACD中，由勾股定理可得：

(14-x)2+AD2=152和x2+AD2=132，两式相减，可得：(14-x)2- x2=56解之得：x =5在RT△ACD中，由勾股定理得：AD=12

点析：△ABC被高AD分成的两个直角三角形的直角边都是未知数，需在两个直角三角形中分别用勾股定理，构成方程组，才能求得结果，这种方法在直角三角形的有关计算中是经常应用的。

 [例3] 已知：如图，在△ABC中，∠E=∠C=90°，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于E于，求证：AC2=AE2-BE2 

证明：根据勾股定理，在RT△ACD中，AC2=AD2-CD2，在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2，在RT△BDE中，DE2=BD2-BE2

∴AC2=AE2+DE2-CD2=AE2+BD2-BE2-CD2 

又 ∵BD=CD      ∴ AC2=AE2-BE2

点析：证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件。

例4  如图，已知：△ABC中，∠C=90°，点D是AC上的任意一点，

请判断AB2+CD2与AC2+BD2的大小关系。

分析：这里有两个直角三角形，结论又是平方形式，故考虑用勾股定理

解：Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2, 

Rt△BCD中，CD2=BD2-BC

两式相加得，AB2+CD2= AC2+BD2

例5  如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，CB=CD，

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）若AB=21，AD=9，CB=CD=10，求AC。

解：（1）由角平分线性质得CE=CF，由“HL”可证△BCE≌△DCF

（2）由（1）可设BE=DF=x，则AE=21-x，AF=9+x，

∵易知△ACE≌△ACF

∴AE=AF，∴21-x=9+ x，x=6

∴Rt△BCE中CE2=CB2-BE2=102-62=，CE=8

∴Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2=152+82=2，AC=17

说明：在几何证明和计算中出现直角时，常考虑运用勾股定理。

考点一：勾股定理

例1：在△ABC中，∠C=90°，

（1）若a=3，b=4，则c=__________；

（2）若a=6，c=10，则b=__________；

（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.

方法与规律：学会正确应用勾股定理，关键是能准确判断斜边（直角所对的边）；若不能直接运用勾股定理：如已知边的比值时通常可以引入一个辅助未知量，通过建立方程（或方程组）来解决边的问题.

例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。

考点二：勾股定理的验证

例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2） 是以c为直角边的等腰三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。

（2）用这个图形证明勾股定理。

（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。（无需证明）

【思路分析】将三个图形拼接在一起，可得到一个直角梯形，用两种方法表示出该直角梯形的面积，利用面积相等即可验证勾股定理。

解：（1）如下图。直角梯形

（2）∵S梯形=（a+b）（a+b）  =（a+b）2                  

S梯形=2×ab+c2= ab+c2       

∴（a+b）2=ab+c2整理得：a2+b2=c2

（3）用4个全等的直角三角形，可以拼出如下图形。

考点三：直角三角形的判别条件

例4：已知△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是否为直角三角形?

【思路分析】本题关键是确定最大边，然后根据直角三角形的判别条件来判定该三角形为直角三角形.

解：因m，n是正整数，且m＞n，所以c＞b，c>a.a2+b2=（m2－n2）2+（2mn）2=m4－2m2n2+n4+4m2n2 = m4+2m2n2+n4，c2=（m2+n2）2= m4+2m2n2+n4，所以a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形.

方法与规律: 已知三角形的三边长判定三角形的形状时，一般做法是：验证较小两边的平方和与最长边的平方之间的关系，满足“a2+b2=c2”形式，就是直角三角形，否则不是.

例5：如图，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD，说明BC⊥BD. 

【思路分析】利用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形时，当较小两边的平方和等于较大边的平方时，才可判断这个三角形是直角三角形.较大边的对角是直角.不能机械地认为c边所对角是直角. 

解：在Rt△ABD中，有BD2=AB2+AD2=42+32=25，

又BD＞0，∴BD=5.

∵BD2+BC2=52+122=169=132=CD2，

∴∠DBC=90°∴BC⊥BD. 

方法与规律：判定直角三角形的方法是：①当已知一个三角形的两内角度数或三个角的度数之比时，利用定义判定.②当已知三边长或三边长的比时，利用勾股定理的逆定理来判定. 

例6：若△ABC的三边长a、b、c满足条件a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，试判断△ABC的形状。

【思路分析】欲判断△ABC的形状，先将条件中的等式变形，求出a、b、c的值，然后确定a、b、c的关系，从而判断出△ABC的形状。

解：由a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，得（a2－12a+36）+（b2－16b+）+（c2－20c+100）=0，所以（a－6）2+（b－8）2+（c－10）2=0.又因为（a－6）2≥0，（b－8）2≥0，（c－10）2≥0，所以a=6，b=8，c=10，所以a2+b2=62+82=102=c2.所以△ABC是直角三角形。

考点四：勾股数的考查

例7：下列各组数是勾股数吗？为什么？

（1）7，24，25  （2）0.3，0.4，0.5

【思路分析】判断一组数是否是勾股数，需具备如下两个条件：（1）三个数必须是正整数；（2）其中两个数的平方和等于第三个数的平方。

解：（1）因为7，24，25都是正整数，且满足72+242=252，所以7，24，25是一组勾股数；

（2）因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数。

巩固练习

一、选择题

1. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（   ）

A. 13             B. 13或       C. 13或15         D. 15

2. 直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（    ）

A. 12            B. 10             C. 8              D. 6

3. 如果一个等腰直角三角形的面积是2，则斜边长的平方为（   ）

A. 2              B. 4             C. 8              D. 

*4. 若直角三角形两条直角边长分别为5㎝，12㎝，则斜边上的高为（    ）

A. 6㎝            B. ㎝          C. 8㎝            D. ㎝

*5. 等腰三角形底边长10，腰长为13，则此三角形的面积为（　　）

A. 40             B. 50              C. 60            D. 70

6. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）

A. b2=c2－a2                                  

B. a∶b∶c=3∶4∶5

C. ∠C=∠A－∠B             

D. ∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15

*7. 三角形的三边长为，则这个三角形是（   ）

A. 等边三角形       B. 钝角三角形       C. 直角三角形      D. 锐角三角形

*8. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中，由此可知（   ）

A. ∠A符合要求

B. ∠BDC符合要求

C. ∠A 和 ∠ BDC都符合要求

D. ∠A 和∠BDC都不符合要求

*9. 一根旗杆在离地面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高（    ） 

A. 10.5米        B. 7.5米            C. 12米             D. 8米       

10. 如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子将平滑（    ）

A. 9分米         B. 15分米           C. 5分米         D. 8分米 

二、填空题：

11. 假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a、b、c之间应满足      ，其中      边是直角所对的边.

*

13. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数        ，          ，          . 

*14. 若一个三角形的三边之比为3：4：5，且周长为60cm，则它的面积为       .

15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.

*

三、计算题：

*17. 如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.