2013年高考文科数学上海卷试题与答案word解析版

一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．不等式＜0的解为______．

2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝______.

3．设mR，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝______.

4．已知＝0，＝1，则y＝______.

5．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2＋ab＋b2－c2＝0，则角C的大小是______．

6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为______．

7．设常数aR.若的二项展开式中x7项的系数为－10，则a＝______.

8．方程＝3x的实数解为______．

9．若cosxcosy＋sinxsiny＝，则cos(2x－2y)＝______.

10．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为，则＝______.

11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．

12．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝.若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为______．

13．设常数a＞0.若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为______．

14．已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c1、c2、c3.若i，j，k，l{1,2,3}且i≠j，k≠l，则(ai＋aj)·(ck＋cl)的最小值是______．

二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．函数f(x)＝x2－1(x≥0)的反函数为f－1(x)，则f－1(2)的值是(　　)

A．                  B．              C．              D． 

16．设常数aR，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}．若A∪B＝R，则a的取值范围为(　　)

A．(－∞，2)      B．(－∞，2]       C．(2，＋∞)      D．[2，＋∞)

17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的(　　)

A．充分条件      B．必要条件      C．充分必要条件       D．既非充分又非必要条件

18．记椭圆＝1围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1，2，…)，当点(x，y)分别在Ω1，Ω2，…上时，x＋y的最大值分别是M1，M2，…，则＝(　　)

A．0              B．      `        C．2                  D． 

三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．如图，正三棱锥O－ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．

20．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是元．

(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为元；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

21．已知函数f(x)＝2sin(ωx)，其中常数ω＞0.

(1)令ω＝1，判断函数F(x)＝f(x)＋的奇偶性，并说明理由；

(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图像．对任意aR，求y＝g(x)在区间[a，a＋10π]上零点个数的所有可能值．

22．已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，nN*.

(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；

(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；

(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

23．如图，已知双曲线C1：－y2＝1，曲线C2：|y|＝|x|＋1.P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1、C2都有公共点，则称P为“C1－C2型点”．

(1)在正确证明C1的左焦点是“C1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；

(2)设直线y＝kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1－C2型点”；

(3)求证：圆x2＋y2＝内的点都不是“C1－C2型点”．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(上海卷)

一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．答案：0＜x＜　x(2x－1)＜0x (0，)．

2．答案：15　a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30a2＋a3＝15.

3．答案：－2　 m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数m＝－2.

4．答案：1　已知＝x－2＝0x＝2，又＝x－y＝1 联立上式，解得x＝2，y＝1.

5．答案：　a2＋ab＋b2－c2＝0cosC＝.

6．答案：78　平均成绩＝＝78.

7．答案：－2　＝－10x7r＝1，＝－105a＝－10，a＝－2

8．答案：log34　＋1＝3x＝3x－13x－1＝±33x＝±3＋1＞03x＝4x＝log34.

9．答案：　cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝cos2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝.

10答案：　由题知， .

11．答案：　考查排列组合；概率计算策略：正难则反。从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有＝21个，

2个数之积为奇数2个数分别为奇数，共有＝6个．

所以2个数之积为偶数的概率P＝1－＝1－.

12．答案：　如下图所示．设D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝，∠CBA＝45°CD＝1，DB＝1，AD＝3C(1,1) 2a＝4，把C(1,1)代入椭圆标准方程得＝1，a2＝b2＋c2b2＝，c2＝2c＝.

13．答案：[，＋∞)　考查均值不等式的应用．

由题知，当x＞0时，f(x)＝9x＋≥＝6a≥a＋1a≥.

14．答案：－5　根据对称性，当向量(ai＋aj)与(ck＋cl)互为相反向量，且它们的模最大时，(ai＋aj)(ck＋cl)最小。这时ai＝，aj＝，ck＝，cl＝，(ai＋aj)(ck＋cl)＝－|ai＋aj|2＝－5.

二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15

答案：A　 由反函数的定义可知，x≥0,2＝f(x)＝x2－1x＝，选A.

16．

答案：B　 方法一：代值排除法。当a＝1时，A＝R，符合题意；当a＝2时，∵B＝[1，＋∞)，A＝(－∞，1]∪[2，＋∞)∴A∪B＝R，符合题意．

综上，选B.

方法二： ∵B＝[a－1，＋∞)，A∪B＝R，∴A (－∞，a－1)．

由(x－1)(x－a)≥0当a＝1时，xR，当a＝1时符合题意；当a＞1时x (－∞，1]∪[a，＋∞)，

1≥a－1，解得1＜a≤2；当a＜1时x (－∞，a]∪[1，＋∞) a≥a－1a＜1.综上，a≤2，选B.

17．

答案：A　便宜没好货便宜则不是好货好货则不便宜，所以“好货”是“不便宜”的充分条件，选A.

18． 

答案：D　椭圆方程为：，

联立x2＋(u－x)2＝42x2－2ux＋u2－4＝0Δ＝4u2－8(u2－4)≥0u2－2(u2－4)≥08≤u2u [，]，所以x＋y的最大值为，选D.

三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．解：由已知条件可知，正三棱锥O－ABC 的底面△ABC是边长为2的正三角形，

经计算得底面△ABC的面积为.

所以该三棱锥的体积为.

设O′是正三角形ABC的中心．

由正三棱锥的性质可知，OO′垂直于平面ABC.

延长AO′交BC于D，得AD＝，.

又因为OO′＝1，所以正三棱锥的斜高OD＝.

故侧面积为×6×＝.

所以该三棱锥的表面积为＋＝，

因此，所求三棱锥的体积为，表面积为.

20．

解：(1)生产a千克该产品，所用的时间是小时，

所获得的利润为.

所以，生产a千克该产品所获得的利润为元．

(2)生产900千克该产品，获得的利润为，1≤x≤10.

记f(x)＝＋5,1≤x≤10，

则f(x)＝，当且仅当x＝6时取到最大值．

获得最大利润90 000×＝457 500元．

因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元．

21．

解：(1)f(x)＝2sinx，

F(x)＝f(x)＋＝2sinx＋2sin＝2(sinx＋cosx)．

＝，＝0，≠，≠－．

所以，F(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

(2)f(x)＝2sin2x，

将y＝f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2＋1的图像，所以g(x)＝2sin2＋1.

令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(kZ)．

因为[a，a＋10π]恰含10个周期，所以，

当a是零点时，在[a，a＋10π]上零点个数为21；

当a不是零点时，a＋kπ(kZ)也都不是零点，区间[a＋kπ，a＋(k＋1)π]上恰有两个零点，故在[a，a＋10π]上有20个零点．

综上，y＝g(x)在[a，a＋10π]上零点个数的所有可能值为21或20.

22． 

解：(1)a2＝2，a3＝0，a4＝2.

(2)a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|.

①当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1)＝a1，所以＝(2－a1)2，得a1＝1.

②当a1＞2时，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，所以a1(4－a1)＝(2－a1)2，

得a1＝(舍去)或a1＝.

综合①②得a1＝1或a1＝.

(3)假设这样的等差数列存在，那么a2＝2－|a1|，a3＝2－|2－|a1||.

由2a2＝a1＋a3得2－a1＋|2－|a1||＝2|a1|　(*)．

以下分情况讨论：

①当a1＞2时，由(*)得a1＝0，与a1＞2矛盾；

②当0＜a1≤2时，由(*)得a1＝1，从而an＝1(n＝1,2，…)，

所以{an}是一个等差数列；

③当a1≤0时，则公差d＝a2－a1＝(a1＋2)－a1＝2＞0，因此存在m≥2使得am＝a1＋2(m－1)＞2.此时d＝am＋1－am＝2－|am|－am＜0，矛盾．

综合①②③可知，当且仅当a1＝1时，a1，a2，a3，…构成等差数列．

23．

解：(1)C1的左焦点为(，0)，写出的直线方程可以是以下形式：

x＝或y＝，其中|k|≥.

(2)因为直线y＝kx与C2有公共点，

所以方程组有实数解，

因此|kx|＝|x|＋1，得|k|＝.

若原点是“C1－C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．

考虑过原点与C2有公共点的直线x＝0或y＝kx(|k|＞1)．

显然直线x＝0与C1无公共点．

如果直线为y＝kx(|k|＞1)，则由方程组

得x2＝＜0，矛盾．

所以直线y＝kx(|k|＞1)与C1也无公共点．

因此原点不是“C1－C2型点”．

(3)记圆O：x2＋y2＝，取圆O内的一点Q.设有经过Q的直线l与C1、C2都有公共点．显然l不垂直于x轴，故可设l：y＝kx＋b.

若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y＝x±1与y＝－x±1之间，因此圆O也夹在直线y＝kx±1与y＝－kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1.

因为l与C1有公共点，所以方程组有实数解，

得(1－2k2)x2－4kbx－2b2－2＝0.

因为|k|＞1，所以1－2k2≠0，

因此Δ＝(4kb)2－4(1－2k2)(－2b2－2)＝8(b2＋1－2k2)≥0，

即b2≥2k2－1.

因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝，

所以＝d2＜，从而＞b2≥2k2－1，

得k2＜1，与|k|＞1矛盾．

因此，圆x2＋y2＝内的点都不是“C1－C2型点”．