用分式方程解决实际问题

  考点分析

2、会将有关实际问题转化成分式方程来解决，感悟分式方程是反映现实数量关系的

  一种模型；

3、培养学生的逻辑思维和灵活运用所学知识点解决问题的能力。

分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。

　　一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：

　　1．审清题意；

　　2．设未知数；

　　3．根据题意找等量关系，列出分式方程；

　　4．解分式方程，并验根；

　　5．检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．

2、常见的实际问题中等量关系

1.工程问题

　　1．工作量＝工作效率×工作时间，，；

　　2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

基础练习：

1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？

例：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．

⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．

分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．

练习1：某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．

（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？

（2）若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a的代数式表示)可完成此

     项工程；

（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队

至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超

过万元？

练习2：某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款1.5万元，乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：

方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。

试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。

拓展：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．

　　⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

　　⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．

　　思路点拨：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．

　　解析：⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得

　　　　　　①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④

　　　　　　④－①×，得＝，即z ＝ 30，

　　　　　　④－②×，得＝，即x ＝ 10，

　　　　　　④－③×，得＝，即y ＝ 15．

　　　　　　经检验，x ＝ 10，y ＝ 15，z ＝ 30是原方程组的解．

　　　　　⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，

　　　　　　根据题意，得

　　　　　　由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．

　　　　　　此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.

　　　　　　所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．

总结升华：在求解时，把，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．

举一反三：

【变式1】 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？　

【答案】工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，

　　　　　　那么乙单独完成工程所需的天数就是(x＋3)天.

　　　　　　设工程总量为1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依题意，得

　　　　　　，解得　．

　　　　　　即规定日期是6天．

【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，20名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？

【答案】设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩，

　　　　　　依题意，得：

　　　　　　， 解得 x＝11 

　　　　　　经检验，x＝11是原方程的解，且当x＝11时，2x＝22，符合题意．

　　　　　　即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11名学生的成绩．

2.营销问题

　　1．商品利润＝商品售价一商品成本价；

　　2．；

　　3．商品销售额＝商品销售价×商品销售量；

　　4．商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量．

例：某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每0.5kg少3元，比乙种原料每0.5kg多1元，问混合后的单价每0.5kg是多少元？

例：某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？

总结升华：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解．同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考的热点问题．

练习：A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？

3.行程问题

　　1．路程＝速度×时间，，；

　　2．在航行问题中，其中数量关系是：

　　　 顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度；

　　3．航空问题类似于航行问题．

例：甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．

分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．

思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程＝速度×时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．

解析：设普通快车的平均速度为km／h，则直达快车的平均速度为1.5km／h，依题意，得：

　　　　　＝，解得

　　　　　经检验，是方程的根，且符合题意．

　　　　　∴当时，

　　　　　即普通快车的平均速度为46km／h，直达快车的平均速度为69km／h．

总结升华：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即满足实际意义．

举一反三：

【变式1】 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？

【答案】设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意，得：　　　

　　　　　　方程两边都乘以2x，去分母，得　　

　　　　　　30-15＝x，　　所以，x＝15．　　

　　　　　　检验：当x＝15时，2x＝2×15≠0，

　　　　　　所以x＝15是原分式方程的根，并且符合题意．

　　　　　　∵，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．

【变式2】农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．

【答案】设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意，得：

　　　　　　解得　x＝15．

　　　　　　经检验x＝15是这个方程的解．

　　　　　　当x＝15时，3x＝45．

　　　　　　即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．

例：轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度

分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间= 逆水中航行20千米的时间，即=．设船在静水中的速度为千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．

练习1：轮船顺流航行120km所用时间是逆流航行50km所用时间的2倍，如果水流速度为2km/h,求轮船在静水中的速度。

练习2：某人沿一条河顺流游泳l米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。

（1）小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳，她在静水中游泳的速度是0.39m/s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。

（2）志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了2.5min，假设当时水流的速度是0.015m/s，而志勇在静水中的游泳速度是0.585m/s，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？

4、货物运输应用性问题

例：一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运次、次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t．

问：（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；

（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t付运费20元计算)

分析：解题思路应先求出乙车与甲车每次运货量的比，再设出甲车每次运货量是丙车每次运货量的倍，列出分式方程．

2、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍。

⑴ 试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？

⑵ 如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售盈利多少元？

3、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

4、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？

5、某广告公司将一块广告牌任务交给师徒两人，已知师傅单独完成时间是徒弟单独完成时间的，现由徒弟先做一天，师徒再合作2天完成。

（1）师、徒两人单独完成任务各需几天？

（2）若完成后得到报酬540元，你若是部门经理，按个人完成的工作量计算报酬，该如何分配？

6、为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1 200件新产品进行精加工后再投放市场．现在甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：

    信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；

    信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍。

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

7、近几年高速公路建设有较大的发展，有力地促进了经济建设．欲修建的某高速公路要招标．现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，费用为120万元；若甲单独做20天后剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样所需费用110万元，问：

  （1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？

  （2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？

8、周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一路程所用时间之比为2：3．

（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比．

（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1．2 km，试求山脚到山顶的路程．

（3）在第（2）题所述内容（除最后的问句外）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇，请你先根据以上情景提出一个相应的间题，再给予解答．

（要求：①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有己知条件）．

1、本次课你学到了什么知识                                                                

2、你对老师下次上课的建议                                                                

 ⊙ 特别满意      ⊙ 满意      ⊙ 一般      ⊙ 差                 学生签字：         

课后练习：（无）

                                                                 教师签字：