2010年中考数学一轮复习——函数综合应用

◆课前热身

1．已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（    ）

A．        B．或

C．        D．或

2．在平面直角坐标系中，函数的图象经过（    ）

A．一、二、三象限        B．二、三、四象限

C．一、三、四象限        D．一、二、四象限

3.点在反比例函数（）的图象上，则k的值是（　　）．

A．              B．           C．         D．

4、如图为二次函数的图象，给出下列说法：

①；②方程的根为；③；④当时，y随x值的增大而增大；⑤当时，．

其中，正确的说法有        ．（请写出所有正确说法的序号）

【参】

1. B  2. D   3. B    4.①②④

◆考点聚焦

知识点

一次函数与反比例函数的综合应用；一次函数与二次函数的综合应用；二次函数与图象信息类有关的实际应用问题

大纲要求

灵活运用函数解决实际问题

考查重点及常考题型

利用函数解决实际问题，常出现在解答题中

◆备考兵法

1.四种常见函数的图象和性质总结

(1)关于点的坐标的求法：

方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组 就可以了。

(2)对解析式中常数的认识：

一次函数y=kx+b (k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y= (k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。

(3)对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+　k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标）。当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。

(4)二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到。当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。

2.中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力．此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的基本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点．善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键．

◆考点链接

1．点A在函数的图像上.则有                  .

2. 求函数与轴的交点横坐标，即令            ，解方程          ；

与y轴的交点纵坐标，即令       ，求y值

3. 求一次函数的图像与二次函数的图像的交点，解方程组                .

4．二次函数通过配方可得，

⑴ 当时，抛物线开口向      ，有最     （填“高”或“低”）点, 当

       时，有最     （“大”或“小”）值是           ；

⑵ 当时，抛物线开口向      ，有最     （填“高”或“低”）点, 当

       时，有最     （“大”或“小”）值是            ．

5. 每件商品的利润P =        －        ；商品的总利润Q =      ×       .

◆典例精析

例1（2009年重庆市江津区）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y轴的交点为C。

（1）求一次函数解析式；

（2）求C点的坐标；

（3）求△AOC的面积。

解析：（1）确定一次函数的的关系式的关键是求出点A、点B的坐标，分别把A（m，2），B（-2，n）代入反比例函数的关系式易求出m=1、n=-1，由待定系数法确定出一次函数关系式为的值；

（2）令关系式中的x为0求出y=1，所以C（0，1）；

（3）△AOC的面积等于×OC×1=.

解：由题意：把A（m，2），B（-2，n）代入

中得

∴A（1，2）   B（-2，-1）

将A.B代入中得    

∴一次函数解析式为： 

（2）C（0，1）

（3）

例2（2009年内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．

（1）求一次函数的表达式；

（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．

解析：（1）利用待定系数法确定出一次函数的表达式；

（2）利润=每件的利润×销售件数，得W，根据二次函数的最值问题确定单价为90元，最大利润为900元；

（3）令W=500，即，解得，因为，故单价定为70元.

解：（1）根据题意得解得．

所求一次函数的表达式为．

（2）

       ，

抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，

而，

当时，．

当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是1元．

（3）由，得，

整理得，，解得，．

由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是．

例3（2009年山东烟台） 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

   （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

   （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

   （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

【解析】（1）利润=单价×销售件数，单价为（2400-2000-x），销售件数为；

（2）令y=4800，即，解方程得，老百姓要想得到实惠，所以取；

（3）利用二次函数的最值解决.

解：（1）根据题意，得，    

即． 

（2）由题意，得．

整理，得． 

解这个方程，得． 

要使百姓得到实惠，取．所以，每台冰箱应降价200元． 

（3）对于，

当时， 

．

所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．     

◆迎考精炼

一、选择题

1.（2009年四川凉山州）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ）

2．（2009年黑龙江佳木斯）若关于ｘ的一元一次方程无实数根，则一次函数的图像不经过（　　　）

A.第一象限　　B. 第二象限　　C. 第三象限　　D. 第四象限　　

二、填空题

1．（2009年湖北十堰）已知函数的图象与轴、y轴分别交于点C.B，与双曲线交于点A.D, 若AB+CD= BC，则k的值为         ．

2．（2009年内蒙古包头）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，与轴相交于点轴于点，的面积为1，则的长为         （保留根号）

． 

3．（2009年青海）如图，函数与的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于轴，垂足为C，则的面积为         ．

三、解答题

1.（2009年河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.    

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

    (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD

向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E

    ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?

请直接写出相应的t值.

2.(2009年贵州安顺)已知一次函数和反比例函数的图象交于点A(1，1)

（1）求两个函数的解析式；

（2）若点B是轴上一点，且△AOB是直角三角形，求B点的坐标。

3．（2009年重庆綦江）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A.B两点．

（1）根据图象，分别写出点A.B的坐标；

（2）求出这两个函数的解析式．

4.（2009年辽宁锦州）某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%.其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数.

　　(1)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

　　(2)设该公司获得的总利润(总利润=总销售额-总成本)为w元，求w与x之间的函数关系式.当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？

5．（2009年安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．

（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． 

（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．

6.（2009年山东威海）一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接．

（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：

①；

②．

（2）若点分别在反比例函数

的图象的不同分支上，如图2，则与

还相等吗？试证明你的结论．

7.（2009年山东泰安）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线

（1）求点E的坐标；

（2）求过 A.O、E三点的抛物线解析式；

（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A.E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值。

8．（2009年湖北黄石）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行补贴．规定每购买一台彩电，补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数（台）与补贴款额（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益（元）会相应降低且与之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

（1）在未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？

（2）在补贴实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益与补贴款额之间的函数关系式；

（3）要使该商场销售彩电的总收益（元）最大，应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值．

9.（2009年内蒙古包头）已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与

以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．

10.(2009年四川成都)已知一次函数与反比例函数，其中一次函数的图象经过点P(，5)．

    (1)试确定反比例函数的表达式；

(2)若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．

【参】

一、选择题

1.B   2.Ｃ

二、填空题

1.   2.   3.4

三、解答题

1.(1)点A的坐标为（4，8）              

     将A(4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx

             8=16a+4b

        得                           

         0=a+8b

        解 得a=-,b=4

∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=

∴PE=AP=t．PB=8-t．

∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.

∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4（4+t）=-t2+8.

∴EG=-t2+8-(8-t)

    =-t2+t.

∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.

②共有三个时刻.

t1=，  t2=，t3=．

2.（1）∵点A（1，1）在反比例函数的图象上,

∴k=2．∴反比例函数的解析式为：．

一次函数的解析式为：．

∵点A（1，1）在一次函数的图象上 ∴．

∴一次函数的解析式为 

（2）∵点A（1，1）   ∴∠AOB=45o．

∵△AOB是直角三角形  ∴点B只能在x轴正半轴上． 

①  当∠OB1A=90 o时，即B1A⊥OB1. 

∵∠AOB1=45o   ∴B1A= OB1 ．    ∴B1（1，0）．

②  当∠O A B2=90 o时，∠AOB2=∠AB2O=45o,

∴B1 是OB2中点,  ∴B2（2，0）．     

综上可知，B点坐标为（1，0）或（2，0）．

3.（1）解：由图象知，点的坐标为，

点的坐标为（3，2）

（2）∵反比例函数的图象经过点，

∴，即．

∴所求的反比例函数解析式为．

∵一次函数的图象经过、两点，

∴

解这个方程组，得

∴所求的一次函数解析式为．

4.解(1) 最高销售单价为50(1+40%)=70(元).

根据题意，设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0). 

　　∵函数图象经过点(60，400)和(70，300)，

　　∴ 

　　解得

　　∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+1000，

　　x的取值范围是50≤x≤70. 

　　(2)根据题意，w=(x-50)(-10x+1000)， 

　　W=-10x2+1500x-50000,w=-10(x-75)2+6250. 

　　∵a=-10 ，∴抛物线开口向下.

　　又∵对称轴是x=75，自变量x的取值范围是50≤x≤70 ， 

　　∴y随x的增大而增大.

　　∴当x=70时，w最大值=-10(70-75)2+6250=6000(元).

　　∴当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元. 

5.（1）解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，

可按5元/kg批发；……3分

图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．

（2）解：由题意得：，函数图象如图所示．

由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可

批发到较多数量的该种水果．

（3）解法一：

设当日零售价为x元，由图可得日最高销量

当m＞60时，x＜6.5

由题意，销售利润为

当x＝6时，，此时m＝80

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，

当日可获得最大利润160元．

解法二：

设日最高销售量为xkg（x＞60）

则由图②日零售价p满足：，于是

销售利润

当x＝80时，，此时p＝6

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．

6.（1）①轴，轴，

四边形为矩形．

轴，轴，

四边形为矩形．

轴，轴，

四边形均为矩形．

，

，

．

．

，

   ，

．

②由（1）知．

．

．

，

．

．

．

轴，

四边形是平行四边形．

．

同理．

．

（2）与仍然相等．

，

，

又，

．

．

．

，

．

．

．

轴，

∴四边形是平行四边形．

∴．

同理．

∴．

7.解：（1）作AF⊥x轴与F

∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=

∴点A（1，）

代入直线解析式，得，∴m=

∴

当y=0时， 

得x=4，   ∴点E（4，0）

（2）

设过A.O、E三点抛物线的解析式为

∵抛物线过原点

∴c=0

∴                                     

∴

∴抛物线的解析式为

（3）作PG⊥x轴于G，设

当

8.解：（1）该商场销售家电的总收益为（元）

（2）依题意可设

， 

有，，

解得．

所以，．

（3）

应将每台补贴款额定为100元，总收益有最大值．

其最大值为元．

9.解析：本题考查二次函数关系式求法、坐标系中有关线段的长度与点的坐标之间的关系，探究三角形相似的条件和判定四边形为平行四边形的条件，涉及到一元二次方程的解法等综合性较强，稍有疏忽就容易失分。

解：(1)根据题意，得 ，解得  ∴。

  (2)当ΔEDB∽ΔAOC时，得或。

∵AO=1，CO=2，BD=m-2，当时，得，

∴。

∵点E在第四象限， ∴，当时，得，∴，∵点E在第四象限， ∴。

(3)假设抛物线上存在一点这P，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=1，点F的横坐标为m-1,当点的坐标为时，点的坐标为，

∵点在抛物线的图象上， ∴，

∴， ∴ ∴(舍去)

∴， ∴。

当点的坐标为时，点的坐标为，

∵点F2在抛物线的图象 上， ∴

∴   ∴   ∴(舍去)， 

 ∴   ∴

　　点拨：（2）中讨论ΔEDB与ΔAOC相似的条件时，题目中未用相似符号连接应按不同的对应关系分情况讨论，否则易漏解。在由线段的长度求E点坐标时要注意点的坐标的符号。

（3）中在求是否存在点E问题，应先假设存在，列得关系式如果有解，并且符合题意就存在；如果无解或解得的结果不符合题意，就不存在.

10.（1）∵一次函数y=x+2的图像经过点P

            ∴5=k+2

             ∴k=3

             ∴反比例函数解析式为y=

(2)由，解得或

∵点Q在第三象限

∴Q(-3，-1)