2021-2022年高三数学立体几何专题复习教案

①转化为用向量证明线线平行、线面平行问题。②证明两个平面的法向量共线。

问题四：  证明线线垂直

1．证明线线垂直，若两条直线在同一平面内，可用平面几何中证明两条直线垂直的方法来证明它们垂直。立体几何一般有以下几种证明方法：

①根据定义

②如果直线//直线，直线直线，则

③如果直线平面，则

④三垂线定理及其逆定理

⑤根据二面角的平面角的定义

2．向量方法：证明向量相互垂直。

问题五：  证明线面垂直

1．传统几何方法：

①如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线，则这条直线和这个平面垂直

②线面垂直的判定定理

③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这条直线也与另一个平面垂直

④两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面

⑤面面垂直的性质定理

2．向量方法：

①转化为证明向量垂直。

②证明向量与平面的法向量共线。

问题六：  证明面面垂直

1．传统几何方法：

①根据面面垂直的定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直

②根据面面垂直的判定定理

③利用结论：如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它垂直于另一个平面

2 ．向量方法：

①转化为用向量证明线线垂直、线面垂直问题。  ②证明两个平面的法向量相互垂直。                

1．传统几何方法：先判断这个角是否是直角，如果是直角可直接证明并得出结论，一般求角的步骤是：

（1）利用平移作出要计算的角；

（2）构造含该角的三角形；

（3）解三角形求角        

2．异面直线所成的角作法：

①定义。在具体问题中异面直线的给出是异面线段形式表示的，因此由异面直线所成角的定义我们可以选择两条线段的四个端点，过其中一个端点作另外一条线段的平行线，选择点的原则是过这点作另外一条线段的平行线要容易作（往往是这点和另外一条线段在一个三角形中且这点在三角形的一边上，或这点和另外一条线段在已知一个平面内且作平行线要好作）

②利用中位法。如给出异面直线AB和CD，连接AC、AD、BC，然后再分别取这三条线段的中点E、F、G，连接EF、EG、FG得到△EFG，则∠FEG就是所求角或所求角的补角。这种方法优点是作异面直线所成角比较容易，但缺点是△EFG中有一边GF的长度不容易求。

3．向量方法：

转化成求两个向量的夹角（即等于所求的异面直线所成的角或其补角的大小）  

问题八：  求平面的斜线与平面所成角

1．传统几何方法：

①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。

②利用三面角定理（即最小角定理）求。

2．向量方法：设为平面的法向量，直线与平面所成的角为，则

1．作出二面角的平面角并通过解三角形计算。作平面角常用方法如下：

①先确定二面角的棱，在棱上找一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为平面角。

②垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，两交线所成的角即为平面角。

③三垂线定理及其逆定理：过一个半平面内一点作另一半平面的垂线，过垂足在另一个半平面内作棱的垂线得棱上一点（即斜足），斜足与面上一点的连线和斜足与垂足连线所成角为平面角。

④利用特殊图形的垂直关系直接作出平面角。此类问题的特征是图形中一般有二面角的平面角，只须利用前面三种方法进行判断即可找到二面角的平面角。

2．求二面角的大小有时也可不必作平面角，只须判断出二面角与某个线面角或线线角相等，求出即可。

①用射影面积公式：  

（其中为斜面面积，为射影面积，为斜面与其射影面所成的二面角的平面角）。此法适用于棱未给出或平面角难以作出的情形。

②公式法：如利用两条异面直线上两点间的距离公式可求出二面角，公式为：

③向量方法：

只要在两个半平面内各有棱的垂线、（不必相交），则向量、所成的角的大小等于所求二面角或其补角的大小。

另法：设、分别为两个半平面的法向量，则它们所成的角的大小等于所求二面角或其补角的大小。

对于棱未给出的二面角的求法可通过“作平行线”法或“找公共点”法寻求棱。

1．立体几何主要研究以下八种距离：点点距、点线距、点面距、线线距（平行线间距离与异面直线间的距离）、线面距、面面距及球面上两点间的距离（课本9.10）。

（1）无论哪种距离，其定义原则有以下两条：一是惟一性，二是最短原则。

（2）以上距离之间有些可以互相转化，如两平行线间距离可以转化成点线距，线面距与面面距都可转化成点面距，再转化成点线距。（3）关于点线距问题经常用到三垂线定理或其逆定理来作出距离，其关键是垂足位置的确定。

（4）点线距、点面距为重点，异面直线间的距离是难点。

2．求点到平面的距离，主要有以下方法：

①作出垂线段，直接求垂线段的长度。

②若点在一个平面上，而此平面又垂直于已知平面，利用面面垂直必推出线面垂直，得出表示距离的垂线段。

（若上述平面难以找到，可以转化为与所求距离等价的另一个平面、直线或点到已知平面的距离）

③垂足不易确定时，可转化为三棱锥的高，再利用等积法求点面距离。

④向量方法：

若平面的一法向量为，直线AB与平面交于点A，点B到平面的距离为h，

则  

3．求异面直线间的距离的方法：

①求公垂线段的长度

②可把距离看作某图形的高，转化为其他距离问题。例如转化成其中一条异面直线（a）到过另一条异面直线（b）且与这条直线（a）平行的平面的距离。

③转化为求线段长函数的最小值。

④公式法：(见课本49页)

设为两异面直线公垂线的方向向量，E、F分别为这两条直线上各一点，则在的单位向量上的正射影的长度即为所求的距离，即所求距离 

结合图形理解：

附：平面图形的翻折问题：

（1）将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转。

（2）求解翻折问题的基本方法是：先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立几问题。

（3）把平面图形翻折成空间图形后的有关计算问题，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些不变，特别要抓住不变量。一般地，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及到两个半平面内的几何元素之间的关系是变的。