安徽卷,高考数学理科卷

科数学（安徽卷）

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的.

1.(2010安徽,理1)i 是虚数单位,

i

3i

+=A.

41-i 12

3 B.

41+i 12

3 C.

21+i 6

3 D.

21-i 6

3答案:B

2.(2010安徽,理2)若集合A ={x |2

1log x ≥

2

1},则R

A =

A.(-∞,0)∪(

22

,+∞) B.(

22

,+∞)C.(-∞,0)∪［2

2

,+∞］ D.［

2

2

,+∞］答案:A

3.(2010安徽,理3)设向量a =(1,0),b =(

21,2

1

),则下列结论中正确的是A.|a |=|b | B.a ·b =

2

2 C.a -b 与b 垂直

D.a ∥b

答案:C

4.(2010安徽,理4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数,且满足f (1)=1,f (2)=2,则f (3)-f (4)=A.-1 B.1 C.-2 D.2答案:A

5.(2010安徽,理5)双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为

A.(

2

2,0) B.(

2

5,0) C.(

2

6,0)D.(3,0)

答案:C

6.(2010安徽,理6)设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c

的图象可能是

C D

答案:D

7.(2010安徽,理7)设曲线C 的参数方程为⎩

⎨

⎧+−=+=θθ

sin 31cos 32y x (θ为参数),直线l 的方程为

x -3y +2=0,则曲线C 上到直线l 距离为

10

10

7的点的个数为A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

8.(2010安徽,理8)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为

正(主)视图 侧(左)视图

俯视图

A.280

B.292

C.360

D.372

答案:C

9.(2010安徽,理9)动点A (x ,y )在圆x 2+y 2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转

一周.已知时间t =0时,点A 的坐标是(

21,2

3),则当0≤t ≤12时,动点A 的纵坐标y 关于t (单位:秒)的函数的单调递增区间是

A.［0,1］

B.［1,7］

C.［7,12］

D.［0,1］和［7,12］

答案:D

10.(2010安徽,理10)设{a n }是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为

X ,Y ,Z ,则下列等式中恒成立的是A.X +Z =2Y

B.Y (Y -X )=Z (Z -X )

C.Y 2

=XZ D.Y (Y -X )=X (Z -X )

答案:D

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2010安徽,理11)命题“对任何x ∈R ,|x -2|+|x -4|>3”的否定是_________.答案:存在x ∈R ,|x -2|+|x -4|≤312.(2010安徽,理12)(y x -x

y )6

的展开式中,x 3的系数等于________.

答案:15

13.(2010安徽,理13)设x ,y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥≤−−≥+−,0,00480

22y x y x y x 若目标函数z =abx +y (a >0,b >0)的

最大值为8,则a +b 的最小值为________.答案:4

14.(2010安徽,理14)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值x =________.

答案:12

15.(2010安徽,理15)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是_______(写出所有正确结论的编号).①P (B )=

52;②P (B |A 1)=

11

5;③事件B 与事件A 1相互;④A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件;

⑤P (B )的值不能确定,因为它与A 1,A 2,A 3中究竟哪一个发生有关.

答案:②④

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

16.(2010安徽,理16)设△ABC 是锐角三角形,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 所对边长,并且sin 2A =sin(

3π+B )sin(3

π

-B )+sin 2B .(1)求角A 的值;

(2)若AB ·AC =12,a =27,求b ,c(其中b 1

sin B )+sin 2B =

43cos 2B -41sin 2B +sin 2B =4

3

,所以sin A =±

2

3

.又A 为锐角,所以A =

3

π.(2)由AB ·AC =12,可得cb cos A =12.

①由(1)知A =

3

π

,所以cb =24.②

由余弦定理知a 2=c 2+b 2-2cb cos A ,将a =27及①代入,得c 2+b 2=52,③

③+②×2,得(c+b )2=100,所以c +b =10.

因此c ,b 是一元二次方程t 2-10t +24=0的两个根.解此方程并由c >b 知c =6,b =4.

17.(2010安徽,理17)设a 为实数,函数f (x )=e x -2x +2a ,x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值;

(2)求证:当a >ln2-1且x >0时,e 2>x 2-2ax +1.(1)解:由f (x )=e x -2x +2a ,x ∈R 知f ′(x )=e x -2,x ∈R .令f ′(x )=0,得x =ln2.

于是当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:

x (-∞,ln2)ln2(ln2,+∞)

f ′(x )-0+

f (x )单调递减↘2(1-ln2+a )

单调递增↗

故f (x )的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),

f (x )在x =ln2处取得极小值,极小值为f (ln2)=e 2ln -2ln2+2a =2(1-ln2+a ).

(2)证明:设g (x )=e x -x 2+2ax -1,x ∈R .于是g ′(x )=e x -2x +2a ,x ∈R .由(1)知当a >ln2-1时,g ′(x )最小值为g ′(ln2)=2(1-ln2+a )>0.于是对任意x ∈R ,都有g ′(x )>0,所以g (x )在R 内单调递增.

于是当a >ln2-1时,对任意x ∈(0,+∞),都有g (x )>g (0).而g (0)=0,从而对任意x ∈(0,+∞),g (x )>0,即e x -x 2+2ax -1>0,故e x >x 2-2ax +1.

18.(2010安徽,理18)如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,EF ∥AB ,EF ⊥FB ,AB =2EF ,∠BFC =90°,BF =FC ,H 为BC 的中点

.

(1)求证:FH ∥平面EDB ;(2)求证:AC ⊥平面EDB ;(3)求二面角B -DE -C 的大小.解法一:(综合法)

(1)证明:设AC 与BD 交于点G ,则G 为AC 的中点,连接EG 、GH ,

又H 为BC 的中点,∴GH 2

1AB .又EF

2

1

AB ,∴EF GH .

∴四边形EFHG 为平行四边形.∴EG ∥FH .而EG ⊂平面EDB .∴FH ∥平面EDB .

(2)证明:由四边形ABCD 为正方形,有AB ⊥BC .又EF ∥AB ,∴EF ⊥BC .

而EF ⊥FB ,∴EF ⊥平面BFC .∴EF ⊥FH .∴AB ⊥FH .

又BF =FC ,H 为BC 的中点,∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABCD .∴FH ⊥AC .又FH ∥EG ,∴AC ⊥EG .

又AC ⊥BD ,EG ∩BD =G ,∴AC ⊥平面EDB .(3)解:EF ⊥FB ,∠BFC =90°,∴BF ⊥平面CDEF .

在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE 交DE 的延长线于K ,则∠FKB 为二面角B -DE -C 的一个平面角.

设EF =1,则AB =2,FC =2,DE =3.又EF ∥DC ,∴∠KEF =∠EDC .∴sin ∠EDC =sin ∠KEF =

3

2.∴FK =EF sin ∠KEF =

3

2

,tan ∠FKB =FK BF =3.

∴∠FKB =60°.∴二面角B -DE -C 为60°.

解法二:(向量法)∵四边形ABCD 为正方形,∴AB ⊥BC .又EF ∥AB ,∴EF ⊥BC .

又EF ⊥FB ,∴EF ⊥平面BFC .∴EF ⊥FH .∴AB ⊥FH .又BF =FC ,H 为BC 的中点,∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABC .

以H 为坐标原点,HB 为x 轴正向,HF 为z 轴正向,建立如图所示坐标系.

设BH =1,则A (1,-2,0),B (1,0,0),C (-1,0,0),D (-1,-2,0),E (0,-1,1),F (0,0,1).(1)证明:设AC 与BD 的交点为G ,连接GE ,GH ,则G (0,-1,0),∴GE =(0,0,1).又=(0,0,1),∴∥GE .

GE ⊂平面EDB ,HF 不在平面EDB 内,∴FH ∥平面EBD .

(2)证明:AC =(-2,2,0),GE =(0,0,1),AC ·GE =0,∴AC ⊥GE .又AC ⊥BD ,EG ∩BD =G ,∴AC ⊥平面EDB .

(3)解:=(-1,-1,1),=(-2,-2,0).设平面BDE 的法向量为n 1=(1,y 1,z 1),则·n 1=-1-y 1+z 1=0,·n 1=-2-2y 1=0,

∴y 1=-1,z 1=0,即n 1=(1,-1,0).CD =(0,-2,0),CE =(1,-1,1).设平面CDE 的法向量为n 2=(1,y 2,z 2),

则n 2·=0,y 2=0,n 2·CE =0,1-y 2+z 2=0,z 2=-1,故n 2=(1,0,-1),cos 〈n 1,n 2〉=

||||2121n n n n ⋅⋅=2

1

221=⋅,

∴〈n 1,n 2〉=60°,即二面角B-DE-C 为60°.

19.(2010安徽,理19)已知椭圆E 经过点A (2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e =

2

1

.(1)求椭圆E 的方程;

(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程;

(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.

解:(1)设椭圆E 的方程为22

22b

y a x +=1,

由e =

21,即a c =2

1

,a =2c ,得b 2=a 2-c 2=3c 2.∴椭圆方程具有形式22

2234c

y c x +=1.

将A (2,3)代入上式,得

2

23

1c c +=1,解得c =2,∴椭圆E 的方程为12

162

2y x +=1.

(2)解法一:由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0),∴直线AF 1的方程为y =

4

3

(x +2),即3x -4y +6=0.直线AF 2的方程为x =2.

由点A 在椭圆E 上的位置知,直线l 的斜率为正数.设P (x ,y)为l 上任一点,则

5

3|

y x |+−=|x -2|.

若3x -4y +6=5x -10,得x +2y -8=0(因其斜率为负,舍去).于是,由3x -4y +6=-5x +10得2x -y -1=0,所以直线l 的方程为2x -y -1=0.解法二:∵A (2,3),F 1(-2,0),F 2(2,0),∴1AF =(-4,-3),2AF =(0,-3).|

AF ||AF |2211+=51

(-4,-3)+31(0,-3)=-54(1,2).

∴k l =2.∴l :y -3=2(x -1),即2x -y -1=0.

(3)解法一:假设存在这样的两个不同的点B (x 1,y 1)和C (x 2,y 2),

∵BC ⊥l ,∴k BC =

2

1121

2−=−−x x y y .

设BC 的中点为M (x 0,y 0),则x 0=

221x x +,y 0=2

21y y +,由于M 在l 上,故2x 0-y 0-1=0.

①

又B ,C 在椭圆上,所以有112

16112162

22

22

12

1=+=+y

x y x 与.

两式相减,得012162

1222122=−+−y y x x ,即0

12

)

)((16))((12211221=−++−+y y y y x x x x 将该式写为

81·221x x ++1212x x y y −−·61·2

21y y +=0,并将直线BC 的斜率k BC 和线段BC 的中点表示代入该表达式中,得

81x 0-12

1

y 0=0,即

3x 0-2y 0=0.

②①×2-②得x 0=2,y 0=3,即BC 的中点为点A ,而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的点B 和C .

解法二:假设存在B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)两点关于直线l 对称,则l ⊥BC ,∴k BC =-

2

1.设直线BC 的方程为y =-21x +m ,将其代入椭圆方程12

162

2y x +

=1,得一元二次方程3x 2+4(-

2

1

x +m )2=48,即x 2-mx +m 2-12=0.则x 1与x 2是该方程的两个根.由韦达定理得x 1+x 2=m ,

于是y 1+y 2=-21(x 1+x 2)+2m =2

3m ,∴B ,C 的中点坐标为(4

32m

,m ).

又线段BC 的中点在直线y =2x -1上,∴

4

3m

=m -1,得m =4,即B ,C 的中点坐标为(2,3),与点A 重合,矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.

20.(2010安徽,理20)设数列a 1,a 2,…,a n ,…中的每一项都不为0.证明:{a n }为等差数列的充分必要条件是:对任何n ∈N +,都有

322111a a a a ++…+1

111++=n n n a a n a a .

证明:先证必要性.

设数列{a n }的公差为d .

若d =0,则所述等式显然成立.若d ≠0,则

322111a a a a ++…+1

1+n n a a =

d 1(32232112a a a a a a a a −+−+…+11++−n n n

n a a a a )=

d 1［(11a -21a )+(21a -31a )+…+(n a 1-11+n a )］

=

d 1(11a -11+n a )=d 1·1111++−n n a a a a =1

1+n a a n .

再证充分性.

证法一:(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N +都成立.

首先,在等式

322111a a a a +=3

12a a ①

两端同乘a 1a 2a 3,即得a 1+a 3=2a 2,

所以a 1,a 2,a 3成等差数列,记公差为d ,则a 2=a 1+d .

假设a k =a 1+(k -1)d ,当n =k +1时,观察如下二等式

322111a a a a ++…+k k a a 11−=k

a a k 11−,②

3

2211

1a a a a ++…+

1

111

+−+

k k k

k a a a a =

1

1+k a a k ,

③

将②代入③,得

1

11111++=+−k k k k a a k

a a a a k ,在该式两端同乘a 1a k a k +1,得(k -1)a k +1+a 1=ka k .将a k =a 1+(k -1)d 代入其中,整理后,得a k +1=a 1+kd .

由数学归纳法原理知,对一切n ∈N +,都有a n =a 1+(n -1)d .所以{an }是公差为d 的等差数列.证法二:(直接证法)依题意有

322111a a a a ++…+=+11n n a a 1

1+n a a n ,

①

322111a a a a ++…+2

12111

11+++++=+n n n n n a a n a a a a .②

②-①得

1

1212111++++−+=n n n n a a n

a a n a a ,

在上式两端同乘a 1a n +1a n +2,

得a 1=(n +1)a n +1-na n +2.

③

同理可得a 1=na n -(n -1)a n +1.

④

③-④得2na n +1=n (a n +2+a n ),即a n +2-a n +1=a n +1-a n ,所以{a n }是等差数列.

21.(2010安徽,理21)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这n 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.

现设n =4,分别以a 1,a 2,a 3,a 4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号,并令X =|1-a 1|+|2-a 2|+|3-a 3|+|4-a 4|,则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述.

(1)写出X 的可能值集合;

(2)假设a 1,a 2,a 3,a 4等可能地为1,2,3,4的各种排列,求X 的分布列;(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有X ≤2,

①试按(2)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互);②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.解:(1)X 的可能值集合为{0,2,4,6,8}.在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个,

所以a 2,a 4中的奇数个数等于a 1,a 3中的偶数个数,因此|1-a 1|+|3-a 3|与|2-a 2|+|4-a 4|的奇偶性相同,从而X =(|1-a 1|+|3-a 3|)+(|2-a 2|+|4-a 4|)必为偶数.X 的值非负,且易知其值不大于8.

容易举出使得X 的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.

(2)可用列表或树状图列出1,2,3,4的一共24种排列,计算每种排列下的X 值,在等可能的假定下,得到

0 2 4 6 8 X P 1 24 4 24

9 247 243 24(3)①首先P (X ≤2)=P (X =0)+P (X =2)=244=6

1

,将三轮测试都有X ≤2的概率记做p ,由上述结果和性假设,

得P =

216

1

613

=.

②由于P =

2161<000

15是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X ≤2的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能,不是靠随机猜测.