2.3等差数列前n项和学案

2.3等差数列的前n项和

一、【课标要求】

  1、掌握等差数列前n项和公式；

  2、能运用公式解决简单问题。

二、【知识梳理】

  1、等差数列前n项和与通项an的关系

  2、等差数列前n项和的性质

三、【基础练习】

[例1]在小于100的正整数有多少个数被3除余2？这些数的和是多少？

[例2]求等差数列13，15，17，…，81的各项的和。

四、【方法归纳】

 [例1]己知两个等差数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为Sn，Sn′，   

  思路分析：充分运用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题。

  解：因为{an}，{bn}均为等差数列，所以2a9=a1+a17，2b9=b1+b17，

      ∴S17=17a9，S′17=17b9，

 总结升华：解题过程中体现了化归思想。

 [例2]从1到200的所有整数中，既不是2的倍数，又不是3的倍数的所有整数和是多少？

  思路分析：

  从1到200的整数中，所有2的倍数是首项为a1=2、公差d=2的等差数列，是3的部数且不是2的倍数依次

  组成以3为首项，6为公差的等差数列，求出这两个数列的和再从总数和中减去即可。

  解：

  ∴满足条件的所有的数的和为20100-10100-3267=6733.

  总结升华：解数列问题也要善于将问题进行转化，进行逆向思考。 

[例3]等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )

  A、130   B、170    C、210   D、260

  思路分析：

  设前m项和为V1，第m+1到2m项之和为V2，第2m+1项到3m项之和为V3，则V1，V2，V3也成等差数列。

  解：于是V1=30，V2=100－30=70，公差d=70－30=40，

      ∴V3=V2+d=70+40=110。

      ∴前3m项之和S3m=V1+V2+V3=210。

  答案：C

  总结升华：如果等差数列共有3m项，那么它的前m项之和V1，中间m项之和V2与后m项之和V3仍成等差数列，

五、【高考链接】

1、(2011·北京海淀期中)已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若a1＝2，S3＝12，则S4＝(　　)

A．10　 　　    B．16　 　　

C．20　 　　    D．24

2、(2011·江西八校联考)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为(　　)

A．22      B．21  

C．20      D．19

3．(2011·郑州一测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　)

A.       B. 

C.                                 D. 

答案与解析

基础练习

[例1]  思路分析：被3除余2的正整数可以写成3n+2(n∈N)的形式。

解：由3n+2<100得 ，即0，1，2，3，…，31，32，所以在小于100的正整数有33个数

  被3除余2。把这些数从小到大排列出来就是2，5，8，…98，它们组成一个等差数列{an}，其中a1=2，

  a33=98，n=33，因此它们的和为  

  说明：本题运用等差数列通项公式和前n项和公式解题。

[例2]求等差数列13，15，17，…，81的各项的和。

  思路分析：创造条件，使用等差数列前n项和公式。

  解：在这个等差数列中a1=13，d=2，an=81，

      由81=13+(n－1)×2，得n=35。

  说明：此题知道等差数列的首项、末项，要求和必须先计算出项数n。 

高考链接

1、[答案]　C

[解析]　S3＝3a2，又S3＝12，∴a2＝4，∴d＝a2－a1＝2，∴a4＝a1＋3d＝8，S4＝＝20，故选C.

2、[答案]　C

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则有3d＝93－99＝－6，∴d＝－2；∴a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝3a1－18＝99，∴a1＝39，∴an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n.令an＝41－2n>0得n<20.5，即在数列{an}中，前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此在其前n项和中，S20最大．依题意得知，满足题意的k值是20，选C.    

3、[答案]　D

[解析]　设a1＋a2＋a3＋a4＝A1，a5＋a6＋a7＋a8＝A2，a9＋a10＋a11＋a12＝A3，a13＋a14＋a15＋a16＝A4，∵数列{an}为等差数列，∴A1、A2、A3、A4也成等差数列，＝＝，不妨设A1＝1，则A2＝2，A3＝3，A4＝4，＝＝＝，故选D.