补码运算的法则

补码运算的法则要在“微机原理”这门课中讲到，在“数字电子技术”课中不作重点，只需一般了解即可。在数字电子技术教科书中，补码部分是用4位或5位2进制数来讲的，所以本文中也多以4、5位二进制数做例子。

利用补码运算必须确定运算数的位数，这样才能确定补码的模数。

在计算机中，带符号的数的表示方法有3种：原码、补码和移码。本文不讨论移码。

一、计算机中数的表示法

1. 原码

对一个二进制数而言，若用最高位表示数的符号（常以“0”表示正数，“1”表示负数），其余各位表示数的本身，则称为二进制数的原码表示法。例如：

设 A = + 1001 , B = - 0101，则[A]原 = 0 1001，[B]原 = 1 0101。[A]原、[B]原分别是A、B的原码，是符号数值化了的数。符号数值化之前的带符号的数A、B称为是“真值”。

2. 补码

（1）补码的定义：

根据同余的概念

X + NK = X ( mod K )      ………………①

括号中的部分不参加运算，它表示“K是模”。N是任意整数。该式的含义是，数X与该数加上其模的任意整倍数之和相等。例如钟表的表盘，模为12，不论指针转了几圈，3点总是3点。用定义式表示，即

3 + N×12 = 3

在①式中，当N=1时

有 [X]补数 = X + K，[X]补数 称为是X的补数。

当  0 ≤ X ＜ K时，[X]补数 = X   （正数的补码是其本身）

当 - K ≤ X ＜ 0 时，[X]补数 = X + K（负数的补码 = X+K =  模－|X|）

例如表盘 模 = 12

当 X = 3 时，[3]补数 = 3 ，其涵义是表针正着转了3 格；

当 X = -3 时，[-3]补数 = -3+12 = 9 ，其含义就是指针倒着转了3格，就等于正着转了9 格。

（因为X＜ 0  ∴ X+K = 模－|X| ）

模 = “在限定的位数中可表示的最大数”加1 。

在计算机中，一个机器数的字长为n位，它能够表示的最大数为n个“1”，其模为2n。例如4位的机器数中，n = 4，可表示的最大数为1111B（1111B表示是一个二进制数），其模就是 1111B + 1 = 1 0000 = 24。

4位二进制数的模是1 0000，即16；而8位二进制数的模是1 0000 0000，即256。

再例如十进制的模是 10 ，十二进制的模是12。

一个二进制数，若以2n为模（n为二进制数的位数，通常与计算机中计其数的长度一致），它的补码叫做2补码，简称补码。即

当  0 ≤ X ＜ 2 n-2时，[X]补 = X 

当 – 2 n-1 ≤ X ＜ 0 时，[X]补 = 2 n + X =2n - | X | ………②

同理，十进制的补码是10,十二进制的补码是12。再利用钟表的例子：

当 X = 3 时，[3]补 = 3；

当 X = -3 时，[-3]补 = -3+12 = 9 。

所以，正数的补码是它本身，负数的补码是负数加上模。

在二进制中，4位二进制数的时候，n = 4 ，根据 ② 式 ，

-1的补码就是：[-1]补 = 2 4 + （ - 1 ） = 1 0000B – 1 = 1111B 

5位二进制数的时候，n = 5 ，根据 ② 式 ，

-1的补码就是：[-1]补 = 2 5 + （ - 1 ） = 1 00000B – 1 = 11111B 

（2）补码的求法

① 根据定义求：

即上述的办法，显然很不方便。

② 保持符号位不变，数值位求反加1：

例如4位二进制数-001，其原码为[1001]原，则其补码为 [1001]补 =1110 + 1 = 1111。式中的1110即为1001的反码，注意符号位——最高位的1不参加求反。

③ 直接求补：

从最低位起，从右至左，到出现第一个1之前（包括第一个1）原码中的数字不变，以后逐位求反，但符号位不变，即可直接得到补码。

例1：求补： n = 4   X = - 1     [- 1]补 = [1 0 0 1]原 = 1111

例2： n = 8   X= - 1110 0000  [X]原 = 11110 0000  [X]补 = 10010 0000

二、补码的运算法则：

1. 

无论正数还是负数，都是先求补，再相加，其和为补码。如果相加之和是正数，则即为所求之和的原码，但是如果结果是负数，还应再求其补码，方能得到和的原码。

运算法则：

[ X ]补 ± [ Y ]补 = [ X±Y ]补

[ [ X ]补]补 = [ X ]原

例1：96-19

算法：X – Y = [ [X]补+ [Y]补 ]补

[X]补 = [X]原 = 0110 0000B    [Y]补 = [Y]原 = 0001 0011B   [-Y]补 = 1110 1101B    

符号位参加运算。

X – Y = [ [X]补+ [Y]补 ]补 = [ 0110 0000B + 1110 1101B ]补 = [ 0100 1101B ]补 = 0100 1101B

[X-Y]补 = [X-Y]原 = 0100 1101B = +77    

例2： （-56）-（-17）=（-56）+17  

[X]原 = 1011 1000B

[X]补 = 1100 1000B

[Y]原 = 1001 0001B   

[Y]补 = 1110 1111B    

[ - Y ]补 = 0001 0001B    

（-56）-（-17）=[[-56]补 + [17]补 ]补 = [ 1100 1000 + 0001 0001 ]补 = [ 1101 1001B ]补 

[X-Y]原 = [ [X-Y]补]补 = [ 1101 1001]补 = 1010 0111B = -39    

2. 有关0的问题

原码中，+0 = - 0 = 0

补码中 0000 = 0    1000B = - 8，没有-0

3. 例  -1 -1

根据书上P8的例子，假如是5位机器数。

[-1]补 = [1 0001]补 = 1 1111

-1-1=[-1]补 + [-1]补

最高位的1溢出，不计，[ -1 ]补 + [ -1 ]补 = 1 1110

因为结果是负值，所以不等于原码，应再求一次补

-1-1=[1 1110]补 = 1 0010 = - 2