2020年内蒙古通辽中考数学试题及答案

一、选择题(本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑)

1.2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是(　　　)

A.    3万

2.下列说法不正确的是(　　　)

A. 是2个数a的和    B. 是2和数a的积

C. 单项式    D. 是偶数

3.下列事件中是不可能事件的是(　　　)

A. 守株待兔    B. 瓮中捉鳖    C. 水中捞月    D. 百步穿杨

4.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(　　　)

A.     B. 

C.     D. 

5.若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A. k＜1    B. k≤1    C. k＜1且k≠0    D. k≤1且k≠0

6.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是(　　　)

A.     B. 

C.     D. 

7.如图，分别与相切于两点，，则(　　　)

A.     B.     C.     D. 

8.如图，是中线，四边形是平行四边形，增加下列条件，能判断是菱形的是(　　　)

A.     B.     C.     D. 

9.如图，交双曲线于点A，且，若矩形的面积是8，且轴，则k的值是(　　　)

A. 18    B. 50    C. 12    D. 

10.从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是(　　　)

（1）无理数都是无限小数；

（2）因式分解；

（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；

（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是．

A     B.     C.     D. 1

二、填空题(本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上)

11.计算：

（1） ______；（2）______；（3） ______．

12.若数据3，a，3，5，3平均数是3，则这组数据中（1）众数是______；（2）a的值是______；（3）方差是______．

13.如图，点O在直线上，，则的度数是______．

14.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第个正方形比第n个正方形多_____个小正方形．

15.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．

16.如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．

17.如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______．

三、解答题(本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤)

18.解方程：.

19.从A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与楼的水平距离为，若，求这栋楼高．

20.用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．

（1）求；

（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．

21.甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：

（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；

（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．

22.如图，的直径交弦(不是直径)于点P，且．求证：．

23.某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．

24.某服装专卖店计划购进两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．

（1）求型服装的单价；

（2）专卖店要购进两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？

25.中心为O的正六边形的半径为．点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，连接，设运动时间为．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）求矩形的面积与正六边形的面积之比．

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当的面积最大时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

参

1-10  BDCAB  BCAAC

11.   (1). 1    (2).     (3). -1   12.   (1). 3    (2). 1    (3). 1.6   13.   

14.   2n+3   15.   12   16.   PA2+PB2=PQ2   17.  7

18.   .

去分母，得，

去括号，得，

移项，合并同类项，得，

化x的系数为1，得，

经检验，是原方程的根，

∴原方程的解为．

19.   270米

解：在Rt△ABD中，tanα=，

则BD=AD•tanα=90×0.27=24.3，

在Rt△ACD中，tanβ=，

则CD=AD•tanβ=90×2.73=245.7，

∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270，

答：这栋楼高约为270米．

20.   (1)；(2)，图见解析

解：（1）=

=

=

（2）∵，

∴

解得：

将解集表示在数轴上如下：

21.  （1）；（2）

解：画树状图得：

（1）∵共有12种等可能的结果，取出的3个小球上恰好有1个偶数数字的有5种情况，

∴取出的3个小球上只有1个偶数数字的概率是：

（2）∵共有12种等可能的结果，取出的3个小球上全是奇数数字的有2种情况，

∴取出的3个小球上全是奇数数字的概率是.

22.  解：连接AC和BD，

在△PAC和△PBD中，

∠A=∠D，∠C=∠B，

∴△PAC∽△PDB，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴PC=PD，

∵AB为直径，

∴AB⊥CD.

23.  （1）100；（2）见解析；（3）2000

解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%

∴共调查人数为：40÷40%=100

（2）爱好上网的人数所占百分比为10%

∴爱好上网人数为：100×10%=10，

∴爱好阅读人数为：100-40-20-10=30，

补全条形统计图，如图所示，

（3）爱好运动的学生人数所占的百分比为40%，

∴该校共有学生大约有：800÷40%=2000人；

24.  （1）A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；（2）47000

解：（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元，

依题意得：

解得：

答：A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；

（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，

根据题意，得m≥2（60-m），

∴m≥40，

设购买A、B两种型号的女装的总费用为w元，

w=800m+1000×0.75×（60-m）=50m+45000，

∴w随m的增大而增大，

∴当m=40时，w最小=50×40+45000=47000．

答：该专卖店至少需要准备47000元的贷款．

25.  （1）见解析；（2）2：3

解：（1）证明：∵中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，

∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，

∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，

∴AP=DQ=t，PF=QC=6-t，

在△ABP和△DEQ中，

，

∴△ABP≌△DEQ（SAS），

∴BP=EQ，同理可证PE=QB，

∴四边形PEQB是平行四边形；

（2）由（1）可知四边形PEQB是平行四边形

∴当∠BQE=90°时，四边形PEQB是矩形

过点B，点E作BN⊥CD，EM⊥CD，连接OC，OD，过点O作OH⊥CD

∴∠BNQ=∠QME=90°，

∴∠BQN+∠NBQ=90°，∠BQN+∠EQM=90°

∴∠NBQ=∠EQM

∴△NBQ∽△MQE

∴

又∵正六边形ABCDEF的半径为6，

∴正六边形ABCDEF的各边为6，∠BCQ=∠EDQ=120°

∴在Rt△BNC和Rt△EDM中，∠NBC=∠DEM=30°

∴NC=DM=，BN=EM=

∴，解得：

（舍去）

即当P与F重合，Q与C重合时，四边形PEQB是矩形

此时矩形PEQB的面积为

∵在正六边形ABCDEF中，∠COD=60°，OC=OD

∴△OCD是等边三角形，OC=OD=CD=6，OH=

S六边形ABCDEF=

=

=，

∴S矩形PBQE：S六边形ABCDEF=：=2：3

26.  （1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.

解：（1）∵直线过点B，点B在x轴上，

令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，

∴B（6，0），D（0，-6），

∵点C和点D关于x轴对称，

∴C（0，6），

∵抛物线经过点B和点C，代入，

，解得：，

∴抛物线的表达式为：；

（2）设点P坐标（m，0），

则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，m-6），

∴MN=-m+6=，

∴S△BMD=S△MNB+S△MND

=

=

=-3（m-2）2+48

当m=2时，S△BMD最大=48，

此时点P的坐标为（2，0）；

（3）存在，

由（2）可得：M（2，12），N（2，-4），

设点Q的坐标为（0，n），

当∠QMN=90°时，即QM⊥MN，如图，

可得，此时点Q和点M的纵坐标相等，

即Q（0，12）；

当∠QNM=90°时，即QN⊥MN，如图，

可得，此时点Q和点N的纵坐标相等，

即Q（0，-4）；

当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，

分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，

∵∠MQN=90°，

∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，

∴∠NQF=∠QME，

∴△MEQ∽△QFN，

∴，即，

解得：n=或，

∴点Q（0，）或（0，），

综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.