浙江省宁波市镇海区七校联考2020-2021学年八年级(上)期末数学试卷(含解析)

八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）

1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B．    

C． D．

2．已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．下列说法中正确的是（　　）

A．使式子有意义的是x＞﹣3    

B．使是正整数的最小整数n是3    

C．若正方形的边长为3cm，则面积为30cm2    

D．计算3÷×的结果是3

4．若点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上，则点P一定不在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．如图，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪一个条件可以推证△ABC≌△DEF（　　）

A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．∠B＝∠DEF

6．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．40° B．45° C．47.5° D．50°

7．关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）

A．﹣5＜a＜﹣3 B．﹣5≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣3

8．已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（ab≠0且a≠b），这两个函数的图象可能是（　　）

A． B．    

C． D．

9．如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A5A6，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（　　）

A．（）100 B．（3）100 C．3×4199 D．3×2395

10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．命题“对顶角相等”的逆命题是　   　．

12．一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　   　．

13．将点P（﹣2，﹣3）向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是　   　．

14．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为　   　．

15．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A′B′C，设A′C交AB边于D，连结AA′，若△AA'D是等腰三角形，则旋转角α的度数为　   　．

16．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点A′，连接AC′，若AD＝AC′＝4，BD＝6，则点D到BC的距离为　   　．

三、解答题（本题有8小题，共80分）

17．解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解．

．

18．计算：

（1）×；

（2）已知|﹣a|+＝0，求a2﹣2+2+b2的值．

19．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O

（1）求证：OB＝OC；

（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．

20．如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．

（1）请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（﹣4，4），

（﹣1，3），并写出点B的坐标为　   　；

（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；

（3）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．

21．镇海制米厂接到加工大米的任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务．乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1所示；未加工大米w（吨）与甲加工时间x（天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：

（1）甲车间每天加工大米　   　吨，a＝　   　；

（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式；

（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好第二节车厢和第三节车厢都装满？

22．某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：

（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案．

（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．

23．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．

●特例感知

①等腰直角三角形　   　勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；

②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．

●深入探究

如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；

●推广应用

如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．

24．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA．

（1）求B点坐标为　   　；线段OA的长为　   　；

（2）确定直线CD解析式，求出点D坐标；

（3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．

①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明；

②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积．

2020-2021学年浙江省宁波市镇海区七校联考八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B．    

C． D．

【分析】利用轴对称图形的定义对各选项进行判断．

【解答】解：A选项和D选项中的图形既不是中心对称也不是轴对称图形，B选项中的图形为中心对称图形，C选项中的图形既是中心对称也是轴对称图．

故选：C．

2．已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后根据若x为正整数，即可选择答案．

【解答】解：∵10﹣2＝8，10+2＝12，

∴8＜x＜12，

∵若x为正整数，

∴x的可能取值是9，10，11，故这样的三角形共有3个．

故选：C．

3．下列说法中正确的是（　　）

A．使式子有意义的是x＞﹣3    

B．使是正整数的最小整数n是3    

C．若正方形的边长为3cm，则面积为30cm2    

D．计算3÷×的结果是3

【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、使式子有意义的是x≥﹣3，故此选项错误；

B、使是正整数的最小整数n是3，故此选项正确；

C、若正方形的边长为3cm，则面积为90cm2，故此选项错误；

D、3÷×的结果是1，故此选项错误；

故选：B．

4．若点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上，则点P一定不在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y＝﹣x+4的图象经过第一、二、四象限，此题得解．

【解答】解：∵﹣1＜0，4＞0，

∴一次函数y＝﹣x+4的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．

∵点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上，

∴点P一定不在第三象限．

故选：C．

5．如图，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪一个条件可以推证△ABC≌△DEF（　　）

A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．∠B＝∠DEF

【分析】根据题目中的条件，可以得到BC＝EF，AB＝DE，然后即可判断各个选项中添加的条件是否能使得△ABC≌△DEF，从而可以解答本题．

【解答】解：∵BE＝CF，

∴BE+EC＝CF+EC，

∴BC＝EF，

又∵AB＝DE，

∴添加条件BC＝EF，不能判断△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意；

添加条件∠A＝∠D，不能判断△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；

添加条件AC∥DF，可以得到∠ACB＝∠F，不能判断△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；

添加条件∠B＝∠DEF，可以得到△ABC≌△DEF（SAS），故选项D符合题意；

故选：D．

6．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．40° B．45° C．47.5° D．50°

【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，求得AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．

【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，

∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，

∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，

∴AB＝BE，

∴AF＝EF，

∴AD＝ED，

∴∠DAF＝∠DEF，

∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°，

∴∠BED＝∠BAD＝95°，

∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，

故选：B．

7．关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）

A．﹣5＜a＜﹣3 B．﹣5≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣3

【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值．

【解答】解：解不等式2x+a≤1得：x≤，

不等式有两个正整数解，一定是1和2，

根据题意得：2≤＜3，

解得：﹣5＜a≤﹣3．

故选：C．

8．已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（ab≠0且a≠b），这两个函数的图象可能是（　　）

A． B．    

C． D．

【分析】根据题意和一次函数的性质，可以判断各个选项中的图象是否正确，本题得以解决．

【解答】解：当a＞0，b＞0时，一次函数y1＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，y2＝bx+a的图象经过第一、二、三象限，故选项A错误，选项B错误，选项D正确；

当a＜0，b＞0时，一次函数y1＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，y2＝bx+a的图象经过第一、三、四象限，故选项C错误；

故选：D．

9．如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A5A6，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（　　）

A．（）100 B．（3）100 C．3×4199 D．3×2395

【分析】本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn＝2n，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S100．

【解答】解：∵点A0的坐标是（0，1），

∴OA0＝1，

∵点A1在直线y＝x上，

∴OA1＝2，A0A1＝，

∴OA2＝4，

∴OA3＝8，

∴OA4＝16，

得出OAn＝2n，

∴AnAn+1＝2n•，

∴OA198＝2198，A198A199＝2198•，

∵S1＝（4﹣1）•＝，

∵A2A1∥A200A199，

∴△A0A1A2∽△A198A199A200，

∴＝（）2，

∴S＝2396•＝3×2395

故选：D．

10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．

【分析】根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAM＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，解方程组得到3AB2＝57，于是得到结论．

【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，

∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，

∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，

∴∠FAC＝∠ABC，

在△FAM与△ABN中，

，

∴△FAM≌△ABN（AAS），

∴S△FAM＝S△ABN，

∴S△ABC＝S四边形FNCM，

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，

∴AC2+BC2＝AB2，

∵AC+BC＝6，

∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，

∴AB2+2AC•BC＝36，

∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，

∴AB2﹣AC•BC＝10.5，

∴3AB2＝57，

解得AB＝或﹣（负值舍去）．

故选：B．

二．填空题（共6小题）

11．命题“对顶角相等”的逆命题是　相等的角为对顶角　．

【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．

【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．

故答案为：相等的角为对顶角．

12．一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　m＜3　．

【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式2m﹣6＜0，然后解不等式即可．

【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，

∴2m﹣6＜0，

解得，m＜3；

故答案是：m＜3．

13．将点P（﹣2，﹣3）向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是　（﹣5，﹣1）　．

【分析】让P的横坐标减3，纵坐标加2即可得到点Q的坐标．

【解答】解：根据题意，点Q的横坐标为：﹣2﹣3＝﹣5；纵坐标为﹣3+2＝﹣1；

即点Q的坐标是（﹣5，﹣1）．

故答案为：（﹣5，﹣1）．

14．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为　x＜2　．

【分析】直接利用图象把（﹣6，0）代入，进而得出k，b之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．

【解答】解：∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，

则b＝6k，

故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，

∵k＜0，

∴x﹣2＜0，

解得：x＜2．

故答案为：x＜2．

15．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A′B′C，设A′C交AB边于D，连结AA′，若△AA'D是等腰三角形，则旋转角α的度数为　20°或40°　．

【分析】根据旋转的性质可得AC＝CA'，根据等腰三角形的两底角相等求出∠AA'C＝∠CAA'，再表示出∠DAA'，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADA'，然后分①∠AA'C＝∠DAA'，②∠AA'C＝∠ADA'，③∠DAA'＝∠ADA'三种情况讨论求解．

【解答】解：∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△A'B'C，

∴AC＝CA'，

∴∠AA'C＝∠CAA'＝（180°﹣α），

∴∠DAA'＝∠CAA'﹣∠BAC＝（180°﹣α）﹣30°，

根据三角形的外角性质，∠ADA'＝∠BAC+∠ACA'＝30°+α，

△ADA'是等腰三角形，分三种情况讨论，

①∠AA'C＝∠DAA'时，（180°﹣α）＝（180°﹣α）﹣30°，无解，

②∠AA'C＝∠ADA'时，（180°﹣α）＝30°+α，

解得α＝40°，

③∠DAA'＝∠ADA'时，（180°﹣α）﹣30°＝30°+α，

解得α＝20°，

综上所述，旋转角α度数为20°或40°．

故答案为：20°或40°．

16．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点A′，连接AC′，若AD＝AC′＝4，BD＝6，则点D到BC的距离为　　．

【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝2，C'M＝DM＝2，BM＝4，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．

【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，

∵AD＝AC′＝4，D是AC边上的中点，

∴DC＝AD＝4，

由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，

∴DC＝DC'＝4，BC＝BC'，CM＝C'M，

∴AD＝AC′＝DC'＝4，

∴△ADC'为等边三角形，

∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，

∵DC＝DC'，

∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，

在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝4，

∴DM＝2，C'M＝DM＝2，

∴BM＝BD﹣DM＝6﹣2＝4，

在Rt△BMC'中，

BC'＝＝＝2，

∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•C'M，

∴2×DH＝6×2，

∴DH＝，

∵∠DCB＝∠DBC'，

∴点D到BC的距离为．

故答案为：．

三．解答题

17．解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解．

．

【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可．

【解答】解：，

解不等式①得x＞﹣1；

解不等式②得x≤2；

∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，

∴原不等式组的所有非负整数解为0，1，2．

18．计算：

（1）×；

（2）已知|﹣a|+＝0，求a2﹣2+2+b2的值．

【分析】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题；

（2）根据|﹣a|+＝0，可以得到a、b的值，然后将所求式子变形，再将a、b的值代入即可解答本题．

【解答】解：（1）×

＝4÷﹣+2

＝4﹣+2

＝4+；

（2）∵|﹣a|+＝0，

∴﹣a＝0，b﹣2＝0，

∴a＝，b＝2，

∴a2﹣2+2+b2

＝（a﹣）2+b2

＝（﹣）2+22

＝02+4

＝0+4

＝4．

19．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O

（1）求证：OB＝OC；

（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．

【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB＝∠DBC，从而得证；

（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD、CE是△ABC的两条高线，

∴∠BEC＝∠BDC＝90°

∴△BEC≌△CDB

∴∠DBC＝∠ECB，BE＝CD

在△BOE和△COD中

∵∠BOE＝∠COD，BE＝CD，∠BEC＝∠BDE＝90°

∴△BOE≌△COD，

∴OB＝OC；

（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，

∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，

∴∠DOE+∠A＝180°

∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．

20．如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．

（1）请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（﹣4，4），

（﹣1，3），并写出点B的坐标为　（﹣2，1）　；

（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；

（3）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．

【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点作出坐标系，写出点B的坐标；

（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点，然后顺次连接，写出B1点的坐标；

（3）作点B关于y轴的对称点，连接AB1，与y轴的交点即为点P．

【解答】解：（1）所作图形如图所示：

B（﹣2，1）；

（2）所作图形如图所示：

B1（2，1）；

（3）所作的点如图所示，

P（0，2）．

故答案为：（﹣2，1）．

21．镇海制米厂接到加工大米的任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务．乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1所示；未加工大米w（吨）与甲加工时间x（天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：

（1）甲车间每天加工大米　20　吨，a＝　15　；

（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式；

（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好第二节车厢和第三节车厢都装满？

【分析】（1）根据题意，由图2得出两个车间同时加工和甲单独加工的速度；

（2）用待定系数法解决问题；

（3）求出两个车间每天加工速度分别计算两个55吨完成的时间．

【解答】解：（1）由图象可知，第一天甲乙共加工220﹣185＝35吨，第二天，乙停止工作，甲单独加工185﹣165＝20吨，

则乙一天加工35﹣20＝15吨．a＝15，

故答案为：20，15；

（2）设y＝kx+b，

把（2，15），（5，120）代入，

，

解得，

∴y＝35x﹣55；

（3）由图2可知，

当w＝220﹣55＝165时，恰好是第二天加工结束．

当2≤x≤5时，两个车间每天加工速度为＝55（吨），

∴再加工2天装满第二节车厢和第三节车厢．

22．某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：

（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案．

（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．

【分析】（1）因为公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售，设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，则装运丙特产的车辆数为（20﹣x﹣y），且8x+6y+5（20﹣x﹣y）＝120，整理即得y与x之间的函数关系式．

（2）因为装运每种土特产的车辆都不少于3辆，所以x≥3，y≥3，20﹣x﹣y≥3，结合（1）的答案，就可得到关于x的不等式组，又因x是正整数，从而可求x的取值，进而确定方案．

（3）可设此次销售利润为W百元，由表格可得W＝8x•12+6（20﹣3x）•16+5[20﹣x﹣（20﹣3x）]•10＝﹣92x+1920，根据y随x的变化规律，结合（2）中所求，就可确定使利润最大的方案．

【解答】解：（1）∵8x+6y+5（20﹣x﹣y）＝120，

∴y＝20﹣3x．

∴y与x之间的函数关系式为y＝20﹣3x．                              （3分）

（2）由x≥3，y＝20﹣3x≥3，即20﹣3x≥3可得3≤x≤5，

又∵x为正整数，

∴x＝3，4，5．                                    （5分）

故车辆的安排有三种方案，即：

方案一：甲种3辆乙种11辆丙种6辆；

方案二：甲种4辆乙种8辆丙种8辆；

方案三：甲种5辆乙种5辆丙种10辆．                                 （7分）

（3）设此次销售利润为W百元，

W＝8x•12+6（20﹣3x）•16+5[20﹣x﹣（20﹣3x）]•10＝﹣92x+1920．

∵W随x的增大而减小，又x＝3，4，5

∴当x＝3时，W最大＝14（百元）＝16.44万元．

答：要使此次销售获利最大，应采用（2）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元．（10分）

23．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．

●特例感知

①等腰直角三角形　是　勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；

②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．

●深入探究

如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；

●推广应用

如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．

【分析】●特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断；

②如图1，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，即可解决问题；

●深入探究：由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，即可推出AD2＝CB2；

●推广应用：过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明△AGD≌△CDB（AAS），即可解决问题；

【解答】解：●特例感知：

① 等腰直角三角形是勾股高三角形．

故答案为是．

②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，

于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，

∴CD＝．

●深入探究：

如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，

∴AD2＝CB2，

即AD＝CB；

●推广应用：

过点A向ED引垂线，垂足为G，

∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，

∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．

又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．

而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，

∴△AGD≌△CDB（AAS），

∴DG＝BD．

易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，

根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．

又AB＝AC，AD＝AE，

∴BD＝EC＝a，

∴ED＝2a．

24．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA．

（1）求B点坐标为　（0，4）　；线段OA的长为　3　；

（2）确定直线CD解析式，求出点D坐标；

（3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．

①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明；

②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积．

【分析】（1）根据直线y＝﹣x+4交坐标轴于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，可以求得点B的坐标和OA的长；

（2）根据△COE≌△BOA，可以得到OE＝OA，再根据点A的坐标可以的大点E的坐标即可求得直线CE的解析式，然后与直线y＝﹣x+4联立方程组，即可求得点D的坐标；

（3）①根据题目中的条件，可以证明△OME≌△ONA，即可得到OM和ON的数量关系；

②要求△OMN面积最小值，由OM＝ON，OM⊥ON，可知当OM取得最小值时即可，当OM⊥CE时，OM取得最小值，然后根据勾股定理和等积法可以求得OM的长，即可求得点M的坐标，本题得以解决．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4交坐标轴于A、B两点，

∴当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝4，

∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），

∴OA＝3；

故答案为：（0，4），3；

（2）∵过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA，

∴OC＝4，OC＝OB，OE＝OA，

∵点A（3，0），

∴OA＝3，

∴OE＝3，

∴点E的坐标为（0，3），

设过点C（﹣4，0），点E（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，

，得，

∴直线CE的解析式为y＝x+3，

即直线CD的解析式为y＝x+3，

由，得，

即点D的坐标为（，）；

（3）①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变，

证明：∵△COE≌△BOA，

∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN，

∵∠BOA＝90°，ON⊥OM，

∴∠MON＝∠BOA＝90°，

∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA，

∴∠MOE＝∠NOA，

在△MOE和△NOA中，

，

∴△MOE≌△NOA（ASA），

∴OM＝ON，

即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变；

②由①知OM＝ON，

∵OM⊥ON，

∴△OMN面积是：＝，

∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，

∵OC＝4，OE＝3，∠COE＝90°，

∴CE＝5，

∵当OM⊥CE时，OM取得最小值，

∴，

∴，

解得，OM＝，

∴△OMN面积取得最小值是：＝，

当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为（a，a+3），

∴＝，

解得，a＝﹣，

∴a+3＝，

∴点M的坐标为（，），

由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是（，）和△OMN面积是