2021-2022学年北京市东城区八年级(下)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷

1.  下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是(    )

A. ，，    B. ，，    C. ，，    D. ，，

2.  下列运算正确的是(    )

A.     B.     C.     D. 

3.  下列各式中，是最简二次根式的是(    )

A.     B.     C.     D. 

4.  如图，在▱中，，，则的度数是(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

5.  菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(    )

A. 两组对边分别相等

B. 两组对角分别相等

C. 两条对角线互相平分

D. 每一条对角线平分一组对角

6.  一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

7.  如图，若一次函数为常数，且的图象经过点，，则不等式的解集为(    )

A.     B.     C.     D. 

8.  一次数学测试，某小组名同学的成绩统计如下有两个数据被遮盖：

组员	甲	乙	丙	丁	戊	平均成绩	众数
得分

则被遮盖的两个数据依次是(    )

A. ，    B. ，    C. ，    D. ，

9.  “漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是(    )

A.     B.     C.     D. 

10.  如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是(    )

A.     B.     C.     D. 

11.  二次根式有意义的条件是          ．

12.  如图，在平行四边形中，的平分线交于点，，，则          ．

13.  甲、乙、丙、丁四人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是          填“甲、乙、丙、丁”中的一位．

14.  如图，两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为          ．

15.  如图，分别以数轴的单位长度和为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点为圆心，这个直角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点，则点表示的数为          ．

16.  若点，在一次函数是常数的图象上，则，的大小关系是          填“”“”或“”

17.  如图，平行四边形的对角线与相交于点，且若是边的中点，，，则的长为          ．

18.  如图，菱形的边长为，，点是边上一动点不与，重合，点是边上一动点，，则          ，面积的最小值为          ．

19.  下面是小明设计的“作矩形”的尺规作图过程：

已知：在中，．

求作：矩形．

作法：如图，

分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；

作直线，交于点；

连接并延长至点，使得；

连接，．

则四边形是矩形．

根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：

使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；

完成下面的证明．

证明：连接，，，．

，，

是线段的垂直平分线．

______．

又，

四边形是平行四边形______填推理的依据．

，

四边形是矩形______填推理的依据．

20.  计算：；

．

21.  如图，在▱中，、分别平分、求证：．

22.  已知一次函数的图象经过点和．

求该一次函数的解析式；

在图中画出该函数的图象，并求该图象与坐标轴围成的三角形的面积．

23.  如图是由边长为的小正方形构成的的网格，点，均在格点上．

在图中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上画出一个即可；

在图中画出以为对角线的正方形，且点和点均在格点上．

24.  为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了名学生的竞赛成绩满分分，分及分以上为合格进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

七年级名学生的测试成绩为：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．

八年级名学生的测试成绩条形统计图如图所示：

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：

年级	平均数	众数	中位数
七年级
八年级

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

上表中______，______，______；

根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由写出一条理由即可；

该校八年级共名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数．

25.  已知一次函数为常数，和．

当时，若，求的取值范围；

当时，对于的每一个值，一次函数为常数，的值大于一次函数的值，结合图象，直接写出的取值范围．

26.  某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．

方案一：没有底薪，只付销售提成；

方案二：底薪加销售提成．

如图中的射线、射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资单位：元和单位：元与其当月鲜花销售量单位：千克的函数关系．

直接写出方案二中的底薪是多少元；

求与的函数解析式；

若该公司某销售人员今年月份的鲜花销售量没有超过千克，但其月份的工资超过元．请你判断这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付的月份工资，并说明你的理由．

27.  如图，在正方形中，是边上的一点不与，重合，点关于直线的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．

在图中补全图形，____填“”“”或“”；

猜想和的数量关系，并证明；

用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28.  已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点不重合，则称点为图形关于点的倍点．

如图，在平面直角坐标系中，点，，，．

若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是______；

点的坐标为，若在直线上存在正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围；

点为正方形边上一动点，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故选项A中的三条线段不能构成三角形，故选项A不符合题意；

，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故选项B不符合题意；

，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形，故选项C不符合题意；

，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，故选项D符合题意；

故选：．

根据勾股定理的逆定理和三角形三边满足的关系，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形

或三角形，本题得以解决．

本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．

2.【答案】 

【解析】解：

A、原式，所以选项的计算错误；

B、原式，所以选项的计算错误；

C、原式，所以选项的计算正确；

D、原式，所以选项的计算错误，

故选：．

根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；

根据二次根式的除法法则对进行判断．

本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除法则和加减法则．

3.【答案】 

【解析】解：是小数，含有分母，故选项A不是最简二次根式；

符合最简二次根式的定义，故B是最简二次根式；

，，被开方数里含有能开得尽方的因式数，故选项C、不是最简二次根式．

故选：．

利用最简二次根式的定义，逐个分析得结论．

本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，，

，

四边形是平行四边形，

，

故选：．

由等腰三角形的性质可得，由平行四边形的性质可求解．

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：由菱形性质可知，每一条对角线平分一组对角；

而平行四边形不具备这样的性质；

其他，，均是菱形和平行四边形共有的性质．

故选：．

菱形的对角线垂直和每一条对角线平分一组对角是菱形的重要性质，而平行四边形不具备这样的性质．

本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质特点是解答本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，

此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．

故选：．

先根据一次函数中，判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．

本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，当，时，

函数图象经过一、三、四象限．

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：不等式的解集为：．

故选：．

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确运用数形结合分析是解题关键．

观察图象，即可得解．

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：

分，

则丙的得分是分；

众数是，

故选：．

根据平均数的计算公式先求出丙的得分即可得出答案．

考查了众数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不大．

9.【答案】 

【解析】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，

随的增大而减小，符合函数图象，

故选：．

根据题意，可知随的增大而减小，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，

从而可以解答本题．

本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

10.【答案】 

【解析】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则

，

所以，

所以“数学风车”的周长是：．

故选：．

本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．

11.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义的条件是：，

解得：．

故答案为：．

直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，

，

平分，

，

，

，

．

故答案为：．

在▱中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案．

此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．

13.【答案】丙 

【解析】解：，，，，

，

射击成绩最稳定的是丙，

故答案为：丙．

本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

14.【答案】 

【解析】解：是公路的中点，

，

，

，

，两点间的距离为．

故答案为：．

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可．

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，

直角三角形的斜边，

则，

点是以原点为圆心，为半径作弧与数轴的交点，

点表示的数为．

故答案为：．

根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，也就求出了的长，结合图中点的位置确定点表示的数．

本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边的长度，即确定的长度是解答本题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：，

随的增大而减小，

又点，在一次函数是常数的图象上，且，

．

故答案为：．

由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．

本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，

，，

，

，

是边的中点，是的中点，

，

．

故答案为：．

根据平行四边形的性质得出，，进而利用勾股定理得出的长，利用三角形中位线得出即可．

此题考查平行四边形的性质以及中位线定理，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．

18.【答案】

 

【解析】解：如图，连接，

菱形边长为，；

与为正三角形，

，

，，

，

，

≌，

，，

，

是等边三角形，

当时，的面积最小，此时，

中边上的高为，

面积的最小值为：．

故答案为：．

先证明是等边三角形，再分析出当时面积最小，进而求解．

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

19.【答案】解：如图，四边形为所作；

证明：连接，，，，

，，

是线段的垂直平分线，

，

又，

四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形为平行四边形，

，

四边形是矩形有一个内角为的平行四边形为矩形．

故答案为：；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为的平行四边形为矩形． 

【解析】根据几何语言画出对应的几何图形；

先利用作法得到垂直平分，从而得到，由于，根据平行四边形的判定方法得到四边形是平行四边形，然后加上，则可判断四边形是矩形．

本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质和矩形的判定．

20.【答案】解：原式

；

原式． 

【解析】直接化简二次根式，进而合并得出答案；

直接利用完全平方公式以及二次根式的乘法运算法则化简，进而合并得出答案．

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

21.【答案】证明：四边形是平行四边形

，，，

，

，，

，

在和中，

 

≌，

，

． 

【解析】利用全等三角形的性质证明即可．

本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形

解决问题．

22.【答案】解：将点和代入得，

，解得：，

该一次函数的解析式为：．

图象如图所示：

当时，，与轴交点坐标为，

当时，，与轴交点坐标为，

该图象与坐标轴围成的三角形的面积，

故该图象与坐标轴围成的三角形的面积为． 

【解析】根据函数解析式将已知点代入可得出方程组，解出该方程组即可得到，值及函数解析式．

利用两点法确定函数图象，再求出图象与、轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求解．

本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、两点法确定函数图像；关键在于解出、值以及正确运用三角形面积公式求解．

23.【答案】解：如图中，四边形即为所求；

如图中，正方形即为所求．

 

【解析】根据平行四边形的定义画出图形即可；

根据正方形的定义画出图形即可．

本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

24.【答案】解：分，

七年级名学生成绩中出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是分，即，

将八年级名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为分，

因此中位数是分，即，

故答案为：，，；

八年级的成绩较好，理由：八年级学生成绩的中位数是分，众数是分，都比七年级高；

名，

答：该校八年级共名学生中成绩合格的大约有名． 

【解析】根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；

从中位数、众数的比较得出结论；

求出八年级学生成绩为“合格”的所占的百分比即可．

本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．

25.【答案】解：时，，

根据题意得，

解得；

当时，，

把代入得，

解得，

由图象可知当时，；

故的范围为． 

【解析】解不等式即可；

计算出对应的的函数值，然后根据时，一次函数为常数，的图象在直线的上方确定的范围．

本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

26.【答案】解：由图象可得，方案二中的底薪是元；

设，

根据题意，得，

解得，

与的函数解析式为；

设，

根据题意得，

解得，

；

当时，

；

；

这个公司采用了方案一给这名销售人员付月份的工资． 

【解析】由图象直接得出结论；

由待定系数法就可以求出解析式；

先求出与的解析式，再利用中求出的函数的解析式，把代入求解即可．

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键．

27.【答案】解：补全图形如图，

由对称得，，

，，

四边形是正方形，

，

，

，

故答案为：；

．

证明：四边形是正方形，

，

，

，

，

，，

，

由知，

，

，

；

，

证明：过点作，交的延长线于，

由知，

为等腰直角三角形，

，，，

，

，

≌，

，即，

． 

【解析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

根据题意补全图形，由对称得，，等边对等角可得，根据同角的余角相等可得，等量代换即可得出结论；

根据正方形的性质得，则，等边对等角可得，根据三角形的外角性质及角的和差可得，由知，则，由得；

过点作，交的延长线于，由知，则为等腰直角三角形，可得，证明≌，根据全等三角形的性质可得，即，即可得出结论．

28.【答案】解：设是正方形上一点，则有，

，解得：，

在正方形上，

是正方形关于点的倍点；

同理可得：不满足条件，满足条件，

正方形关于点的倍点为，，

故答案为：，；

设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，

则，解得：，

点在直线上，则，

，

，即，

解得：；

或． 

【解析】根据“倍点”的定义，逐一判断即可；

设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，再根据“倍点”的定义

得出，最后根据，得出结果；

本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式及“倍点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．