高中数学必修一期末试卷带答案

1．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆高度为（ ）

A．4.25米 ．4.5米 ．3.9米 ．4.05米

2．对于定义域为R的函数，若存在非零实数，使函数在和上与轴都有交点，则称为函数的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是

A． ．

C． ．

3．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当较小时，）

A．1.27 ．1.26 ．1.23 ．1.22

4．已知函数，若，则此函数的单调递增区间是（ ）

A． ． ． ．

5．已知函数是定义在上的单调递增的函数，且满足对任意的实数都有，则的最小值等于（ ）.

A．2 ．4 ．8 ．12

6．函数的单调减区间是（ ）

A． ．和

C． ．和

7．已知函数为偶函数，当时，，则（ ）

A． ． ． ．

8．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果，则不等式的解集为（ ）

A． ． ． ．

9．已知函数，则（ ）

A．2018 ．2019

C．4036 ．4038

10．下列表示正确的个数是（ ）

　（１）；（４）若则

A．０ ．１ ．２ ．３

11．集合则A的真子集个数是（ ）

A．63 ．127 ．255 ．511

12．对于非空实数集A，定义对任意．设非空实数集．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的，恒有．以上命题正确的个数是（ ）

A．1 ．2 ．3 ．4

二、填空题

13．已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为________

14．某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费(万元)与仓库到停车库的距离(公里)成反比，而每月库存货物的运费 (万元)与仓库到停车库的距离(公里)成正比.如果在距停车库公里处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离 ________ 公里.

15．已知且，且，方程组的解为或，则________.

16．已知，则＝_____.

17．已知函数对于任意实数满足条件，若 ，则  _________.

18．已知集合2，，f：为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种

19．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是______．

20．关于的不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是_____.

三、解答题

21．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示．

（Ⅰ）写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式；

（Ⅱ）若记市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/，时间单位：天）．

22．

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为

(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；

(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．

23．已知函数为奇函数.

（1）求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；

（2）求不等式的解集.

24．（1）求满足不等式的的取值集合；

（2）求函数的单调递减区间.

25．已知函数，实数且.

（1）设，判断函数在上的单调性，并说明理由；

（2）设且 时，的定义域和值域都是，求的最大值；

（3）若时不等式恒成立，求实数的取值范围.

26．设集合，.

（1）若时，求；

（2）若，求的取值范围.

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一、选择题

1．D

解析：D

【分析】

可设抛物线的方程为，将代入可得，可得抛物线的方程，再令，求得，计算，可得所求值．

【详解】

解：如右图，设抛物线的方程为，

将点代入抛物线的方程可得，，解得，

即抛物线的方程为，

令，可得，解得，

则通过隧道的车辆高度为（米．

故选：D．

【点睛】

利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题.

2．D

解析：D

【分析】

由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果．

【详解】

选项：令，即，根据与图像如图所示：

可知当时，有与两个交点

当时，有个交点

因此两函数共有个交点，故必有“界点”；

选项：令，可知，方程恒有个不等式根，即必有个零点，故必有“界点”；

选项：令，解得或，即有个零点，故必有“界点”；

选项：令，令，则

又，所以

在上单调递增

又，即只有一个零点，故不存在“界点”．

本题正确选项：

【点睛】

本题属于新定义问题，考查转化化归的数学思想．解题关键在于明确“界点”的定义，从而转化为零点个数问题．

3．B

解析：B

【分析】

把已知数据代入公式计算．

【详解】

由题意，,

∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．

4．C

解析：C

【分析】

由求得，求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间.

【详解】

由题意可得，.

对于函数，，可得，解得.

所以，函数的定义域为.

由于内层函数在区间单调递增，在区间单调递减.

外层函数单调递减，

由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：

（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；

（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；

（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；

（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.

5．B

解析：B

【分析】

根据为定值，可假设，然后计算，并计算的值，然后使用基本不等式，可得结果.

【详解】

由题可知：为定值

故设，即

又，

所以

则

则

当且仅当时，取等号

所以的最小值为：4

故选：B

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于为定值，审清题意，细心计算，属中档题.

6．B

解析：B

【分析】

先分析函数的定义域，然后根据定义域以及复合函数的单调性判断方法确定出的单调递减区间.

【详解】

因为，所以定义域为，

令，在上单调递减，

当时，单调递减，所以单调递增；

当时，单调递增，所以单调递减；

当时，单调递减，所以单调递增；

当时，单调递增，所以单调递减；

综上可知：的单调递减区间为和.

故选：B.

【点睛】

本题考查对数型复合函数的单调区间的求解，难度一般.分析复合函数的单调性，注意利用判断的口诀“同增异减”，当内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，当内外层函数单调性相反时，整个函数为减函数.

7．D

解析：D

【分析】

首先根据函数为偶函数，得到，所以有，结合题中所给的函数解析式，代入求得结果.

【详解】

∵函数为偶函数，

所以图象关于y轴对称，即，

构造，而，

所以.

故选：D.

【点睛】

思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下：

（1）根据函数为偶函数，得到；

（2）根据，得到；

（3）结合当时，，将代入求得结果.

8．C

解析：C

【分析】

根据题意可得在，上为减函数，结合奇偶性以及可得，解出的取值范围，即可得答案．

【详解】

函数是定义在上的偶函数，且函数在，上是减函数，

所以在上是增函数，

由（3），则不等式（3）（3），

解之可得，

故不等式的解集为，．

故选：．

【点睛】

将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.

9．A

解析：A

【分析】

根据函数解析式可验证出，采用倒序相加法可求得结果.

【详解】

，，

令，

则，

两式相加得：，.

故选：.

【点睛】

本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定为常数.

10．D

解析：D

【解析】

选项（1）中元素与空集的关系是不属于，正确；（2）空集是非空集的子集正确；（3）集合前后不相等，一个是方程的根构成的集合，有一个元素，一个是两个实数构成的集合，故不正确；（4）根据集合子集的意义知若则正确.

11．B

解析：B

【分析】

先求得的元素个数,再求真子集个数即可.

【详解】

由,则为正整数.则可能的取值为,

故,故共7个解.即的元素个数为7

故的真子集个数为 

故选：B

【点睛】

本题主要考查集合中元素个数的求解与知识点：元素个数为的集合的真子集有个.

属于基础题型.

12．B

解析：B

【分析】

根据题干新定义对任意，通过分析举例即可判断。

【详解】

（1）对任意，根据题意，对任意，有，因为，所以对任意的，一定有，所以,即，（1）正确；

（2）如，则，但，（2错误；

（3）如，则，但,（3）错误；

（4）首先对任意集合，由定义知一定有最小值，又由（1），设，的最小值分别为，即，只要取 

则对任意的，，即 ，（4）正确；

所以（1）(4)正确

故选：B

【点睛】

本题是新定义概念题，考查集合的性质，需有比较强的理解能力。

二、填空题

13．3【分析】根据题意求得的周期；画出的图象数形结合根据函数图象交点个数即可求得零点个数【详解】当时则此时有∵∴∴函数是周期为2的周期函数令则由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数在

解析：3

【分析】

根据题意，求得的周期；画出的图象，数形结合，根据函数图象交点个数即可求得零点个数.

【详解】

当时，则，

此时有，

∵，∴，

∴函数是周期为2的周期函数.

令，则，

由题意得函数的零点个数

即为函数的图象与函数的图象交点的个数.

在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），

结合图象可得两函数的图象有三个交点，

∴函数的零点个数为3.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数形结合判断函数零点个数的问题，涉及函数周期性的求解，属综合中档题.

14．3【分析】由条件设将条件代入可解得的值可以得到两项费用之和的表达式利用均值不等式可求得答案【详解】设由和分别为万元和万元即时可得则两项费用之和为：所以当且仅当即时取得等号故答案为：3【点睛】本题考查

解析：3

【分析】

由条件设，将条件代入，可解得的值，可以得到两项费用之和的表达式，利用均值不等式可求得答案.

【详解】

设,由和分别为万元和万元.

即时，，可得，.

则两项费用之和为：.

所以，当且仅当，即时取得等号.

故答案为：3

【点睛】

本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式求最值，属于中档题．

15．【分析】利用换底公式得出分别消去和可得出二次方程利用韦达定理可求出和的值进而可计算出的值【详解】由换底公式得由①得代入②并整理得由韦达定理得即则因此故答案为：【点睛】本题考查了对数的换底公式对数的运

解析：

【分析】

利用换底公式得出，分别消去和，可得出二次方程，利用韦达定理可求出和的值，进而可计算出的值.

【详解】

由换底公式得，

由①得，代入②并整理得，

由韦达定理得，即，则，

，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．

16．【分析】根据指数与对数之间的关系求出利用对数的换底公式即可求得答案【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系掌握对数换底公式:是解本题的关键属于基础题

解析：

【分析】

根据指数与对数之间的关系,求出,利用对数的换底公式,即可求得答案.

【详解】

∵，

∴，

∴，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:是解本题的关键.属于基础题.

17．3【分析】根据题意求得函数的周期性得出函数的周期然后利用函数的周期和的值即可求解得到答案【详解】由题意函数对任意实数满足条件则即函数是以4为周期的周期函数又由令则即所以【点睛】本题主要考查了抽象函数

解析：3

【分析】

根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和的值，即可求解，得到答案．

【详解】

由题意，函数对任意实数满足条件，

则，

即函数是以4为周期的周期函数，

又由，令，则，即，

所以．

【点睛】

本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

18．7【分析】根据函数的定义来研究由于函数是一对一或者多对一的对应且在B中的元素可能没有原像故可以按函数对应的方式分类讨论可分为一对一二对一三对一三类进行讨论得答案【详解】由函数的定义知此函数可以分为三

解析：7

【分析】

根据函数的定义来研究，由于函数是一对一或者多对一的对应，且在B中的元素可能没有原像，故可以按函数对应的方式分类讨论可分为一对一，二对一，三对一三类进行讨论得答案．

【详解】

由函数的定义知，此函数可以分为三类来进行研究：

若函数的是三对一的对应，则值域为、、三种情况；

若函数是二对一的对应，、、三种情况；

若函数是一对一的对应，则值域为2，共一种情况．

综上知，函数的值域的不同情况有7种．

故答案为7．

【点睛】

本题考查函数的概念，函数的定义，考查数学的基本思想方法，是中档题．

19．3+∞）【分析】先求出集合再利用交集定义和不等式性质求解【详解】∵集合解得∴实数m的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题注意不等式性质的合理运用是基础题

解析：[3，+∞）

【分析】

先求出集合，再利用交集定义和不等式性质求解．

【详解】

∵集合，，

，

，解得，

∴实数m的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用，是基础题.

20．【分析】对进行分类讨论解出的三种情况再和取公共部分从而求得实数的取值范围【详解】根据题意的解为当时的解为此时与显然有公共部分所以解集不为空集当时的解为此时与显然有公共部分所以解集不为空集当时的解为关

解析：

【分析】

对进行分类讨论，解出的三种情况，再和取公共部分，从而求得实数的取值范围.

【详解】

根据题意，的解为，

当时，的解为，

此时与显然有公共部分，所以解集不为空集.

当时，的解为，

此时与显然有公共部分，所以解集不为空集.

当时，的解为，

关于的不等式组的解集不是空集，

，即，解得.

综上所述的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查一元一次不等式组的求解，考查分类论论思想的运用，注意对进行分类讨论后，把求得的范围进行整合.

三、解答题

21．（Ⅰ），；（Ⅱ）从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大.

【分析】

（Ⅰ）根据图①的图象可知：是由一次函数构成的分段函数由点写出函数解析式；根据图②的图象是二次函数；由顶点和过点，写出函数解析式；

（Ⅱ）设纯收益为h，市场售价减去种植成本为纯收益，得到求解.

【详解】

（Ⅰ）当时，设，

则，解得，

所以.

当时，设，

则，解得，

所以.

综上市场售价与时间的函数关系式；

设，则，解得，

所以种植成本与时间的函数关系式；

（Ⅱ）设纯收益为h，因为 若记市场售价减去种植成本为纯收益，

所以，

当时，，

所以当时，纯收益h取得最大值100；

当时，

当时，纯收益h取得最大值，

因为，

所以当即从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大.

【点睛】

结论点睛：函数模型的应用一般分为三类：

（1）已知函数的图象，可根据图象得到函数类型利用待定系数法建立模型；

（2）已知函数有关数表，可根据数据分析函数类型利用待定系数法建立模型；

（3）已知函数模型的定义，可根据其定义建立模型.

22．(1)见解析（2）即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为.

(3) 不存在满足条件的、的值

【解析】

本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分．

(1)

当时，,

, =

（2）当时，

由，

故当即时，

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为．

（3）（方法一）由（2）知：=

由得：，

令则，即：．

同理，由得：

另一方面，

当且仅当，即=时，取等号．

所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立．

23．（1）；证明见解析；（2）.

【分析】

（1）根据为奇函数求得的值.利用函数单调性的定义证得在上是增函数；

（2）利用的奇偶性和单调性化简不等式，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.

【详解】

（1）由已知，

∴，

∴，

解得.

∴.

证明：，且，

则，

∵，

∴，∴，又，，

∴，

∴，

故函数在上是增函数.

（2）∵，

∴，

而为奇函数，

∴，

∵为上单调递增函数，

∴，

∴，

∴，

∴原不等式的解集为.

【点睛】

关键点点睛：根据奇函数的定义求出a，利用定义证明函数为增函数，可将转化，脱去“f”，建立不等式求解，考查了转化思想，属于中档题.

24．（1）或 （2）

【分析】

（1）先使得,再由的单调性求解即可；

（2）先求定义域,再根据复合函数单调性的“同增异减”原则求解即可.

【详解】

解:（1）因为,且,所以,

因为在上单调递增,所以,解得或,

则满足不等式的的取值集合为或

（2）由题,,解得或,则定义域为,

设,,

因为单调递减,若求的递减区间,则求的递增区间,

因为的对称轴为,所以在上单调递增,

所以函数的单调减区间为

【点睛】

本题考查解指数不等式,考查复合函数的单调区间.

25．（1）单调递增，理由见解析；（2）；（3）且.

【分析】

（1）根据函数单调性的定义先设，然后化简判断的正负，即可判断单调性；

（2）由函数单调性可得是方程的不相等的两个正数根，利用韦达定理可求出的范围，进而求出的最大值；

（3）不等式等价于对恒成立，求出最小值和

的最大值即可解出.

【详解】

（1）设，

则，

，，

，故在上单调递增；

（2）由（1）可得时，在上单调递增，

的定义域和值域都是，

，

则是方程的不相等的两个正数根，

即有两个不相等的正数根，

则，解得，

，

，时，最大值为；

（3），则不等式对恒成立，

即，即对恒成立，

令，则在单调递增，，

令，则在单调递减，，

，解得且.

【点睛】

关键点睛：由函数单调性得出是方程的不相等的两个正数根，利用韦达定理可求出的范围是解决第二问的关键，第三问不等式的恒成立问题需要分离参数求最值.

26．（1）；（2）

【分析】

(1)先求出A，代入，求出集合B，然后直接求出即可.

(2)由题意得，，可得，然后分类讨论：①当；②当；然后直接

【详解】

（1）由题意得， 

因为a=2，所以 

则

（2）因为，所以 

①当时，由题意得9-4a＜0.解得； 

②当时，由题意得 

解得. 

综上，a的取值范围为.

【点睛】

本题考查含参集合的交集和并集运算，难点在于不要遗漏空集情况的考虑，属于难题.